徐　立，鄭培亮，李　倩，黃振宇

叉指狀微小力裝置力學特性的數(shù)值模擬與分析

徐立1，2，鄭培亮1，2，李倩2，黃振宇1，2

（1.廣東省現(xiàn)代幾何與力學計量重點實驗室，廣東廣州510405；2.廣東省計量科學研究院，廣東廣州510405）

針對電容式微小力裝置極板間距測量誤差對輸出結果影響較大問題，采用理論分析與數(shù)值模擬相結合，分析一種能大幅減小極板間距測量不確定度對輸出微小力影響的新型叉指狀微小力裝置。重點探討不同叉指重疊長度、加載電壓、間距和厚度等條件下，裝置輸出微小力特性。結果表明：叉指參數(shù)滿足一定關系，叉指重疊長度變化對輸出微小力幾乎無影響；輸出微小力與加載電壓平方以及叉指厚度成正比；隨著叉指間隙增大，輸出微小力迅速減小。該裝置對簡化電容式微小力源裝置極板間距測量與位置控制附加機構、微小力源裝置設計均具有參考價值。

叉指電容；力學特性；數(shù)值模擬；微小力

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2015.09.026

0引言

力是最基本的物理量之一，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，國內外已建立起比較完善的計量溯源體系。目前建立的計量標準包括大力值（1～20MN）和中小力值（10N～1MN）；對小力和微力的計量目前尚未建立相應量值溯源體系，應用中一般以標準砝碼重力來衡量［1-3］。對微小力測量與量值溯源技術，各國計量科研機構均在進行研究。美國國家標準技術研究院（NIST）基于電力學原理，利用靜電力方式獲得微小標準力，其標稱范圍可達10nN～10mN，通過與1mg、10mg標準砝碼自重相比較，相對誤差為10-4量級［4］。德國國家物理技術研究院（PTB）同樣采用靜電力原理，研制小于10μN電容式微小力測試系統(tǒng)，其分辨率可達10-12N［5］。英國國家物理實驗室（NPL）也采用靜電力平衡原理，通過平面鏡差分干涉儀測量電介體受外力時在電容兩極間移動距離，來測量1nN～1μN微小力［6］。中國計量科學研究院采用圓柱狀電容結合柔性鉸鏈方式，對微小力量值溯源進行研究［7］。然而，世界各國對微小力計量溯源體系建立相對滯后，微小力測量并無統(tǒng)一、可靠的量值溯源方法［8-9］。

目前，各國科研機構在微小力量值溯源研究中均采用基于靜電力的電容式裝置。由于電容裝置極板間距對輸出結果影響較大，為保證輸出微小力準確性，需對極板位置進行精確控制且對極板間距進行準確測量，因此這類裝置均配備高準確度極板位置控制系統(tǒng)與間距測量系統(tǒng)，裝置結構復雜，且成本較高［10-11］。

針對這一問題，本文采用理論分析與數(shù)值模擬相結合，提出一種能大幅減小極板間距離控制及測量不確定度對輸出微小力影響的新型叉指狀微小力裝置，其叉指重疊長度對輸出微小力值影響小，無需配備高準確度位置控制系統(tǒng)與間距測量系統(tǒng)便能得到準確微小力輸出。為微小力量值溯源中簡化微小力源測量和位置控制附加裝置設計提供理論依據(jù)。

1　新型叉指狀微小力發(fā)生裝置結構

1.1叉指電容器結構

如圖1所示，新型叉指狀電容結構由相互交叉的兩叉指狀電容構成（A與B叉指）。每個叉指電容包含有若干金屬叉指（圖中為5根），每根叉指都被固定于絕緣樹脂材料底座上，并呈平行排列，各金屬叉指之間通過底座中導線聯(lián)通。

當叉指狀電容A和B上施加電壓U時，各根金屬叉指將產生一個靜電場，從而相互產生靜電力作用，對外表現(xiàn)為兩叉指狀電容器（A和B）間的相互吸引靜電力。該結構加工簡單，且在兩叉指之間能產生微小靜電力。

圖1　新型叉指裝置結構示意圖

1.2靜電力分析簡化模型

根據(jù)叉指電容結構，A、B叉指狀電容器分別由5根尺寸相同矩形金屬叉指組成。A、B間施加電壓時，每根叉指均產生相應靜電場，且叉指電容器間發(fā)生相對運動時，還將產生磁場力作用。為降低問題分析難度，將圖1結構簡化，由于A、B叉指電容器有周期對稱性，可選其中一個單元（圖2中虛線框內）進行分析，根據(jù)該單元金屬叉指間靜電力特性便能獲得整個裝置靜電力分布情況。叉指電容器各部分參數(shù)如圖2所示。

圖2　裝置簡化模型及尺寸參數(shù)

2　新型叉指裝置的靜電力理論分析

根據(jù)Johnson W A等［12］分析，兩組叉指間參數(shù)滿足關系c=d=g時，兩組叉指間微小靜電力為

叉指為圖2所示位置時，x0/g＞Δ+，式（1）簡化為

式（2）表明：叉指間整體靜電力僅與加載電壓U、介電常數(shù)ε0及叉指間位置參數(shù)g、x0有關。叉指間位置參數(shù)g、x0與叉指安裝準確度相關，只要保證安裝準確度，便能輸出微小力準確度。此外，若g、x0滿足1.0245-g/（πx0）趨近于1，則輸出微小力僅與加載電壓U和介電常數(shù)ε0相關。

3　叉指狀電容裝置靜電力數(shù)值模擬分析

本文借助有限元分析中高階有限元方法研究新型叉指電容裝置力學特性，主要針對裝置間整體微小靜電力進行分析。采用高階有限元方法逼近真實解的優(yōu)點是無需用戶嚴格控制網(wǎng)格大小，即可獲得要求準確度，且該方法自適應細分網(wǎng)格提供的誤差估計比其他靜電場分析方法更為準確，最重要一點是該方法能計算局部和總體場情況，并得到所需準確度結果，是計算本文所研究叉指間輸出整體靜電力最佳途徑。

3.1有限元模型的建立與網(wǎng)格劃分

為便于與理論計算值進行分析，同時節(jié)省計算時間并提高模型計算準確度，數(shù)值模擬時，選擇圖2的簡化模型進行分析。

圖3（a）為裝置簡化模型有限元建模及網(wǎng)格劃分圖，外圍圓形區(qū)域為圍繞在叉指電容器周圍遠場空氣域。圖3（b）為圍繞在叉指電容附近及叉指間空氣域，由于應用中關注叉指電容間靜電力，因此將叉指周圍空氣域進行分層網(wǎng)格化和局部細化。同時，為模擬叉指頂端實際情況，建模時對頂端進行圓弧倒角與局部網(wǎng)格加密細化處理（如圖3（c）所示）。

3.2叉指狀微小力裝置力學特性分析

重疊長度2x0、加載電壓U、叉指間隙2 g、叉指厚度2 d等參數(shù)對叉指狀微小力裝置力學特性影響分析如下：

1）重疊長度2x0對裝置力學特性影響

叉指狀電容裝置重疊長度2x0類似于平行板電容器極板間距離，其變化對裝置輸出微小力的影響直接關系到該裝置在微小力量值溯源中的應用。圖4為裝置輸出微小力隨叉指重疊長度變化情況。重疊長度較大時（2x0>4mm），輸出微小靜電力隨重疊長度變化較小。叉指重疊長度由4mm變到16mm時，根據(jù)式（2）計算出微小靜電力變化為5.0%，而數(shù)值模擬結果輸出靜電力變化僅為0.8%。若重疊長度由8mm變化到12mm時，理論計算出微小力變化1.3%，數(shù)值模擬結果顯示微小力變僅為0.8%。由此可見，采用叉指狀電容裝置，叉指重疊長度在一定范圍內，即使重疊長度出現(xiàn)一定變化，裝置輸出微小力仍能保持不變。

圖3　模型的建立與網(wǎng)格的劃分

因此，叉指重疊長度在一定范圍內，裝置輸出微小力不隨重疊長度的變化而變化。由于重疊長度對輸出微小力影響很小，測量重疊長度時，采用一般儀器得到誤差較大的數(shù)據(jù)也能準確計算輸出微小力；在位置控制時，采用一般調節(jié)裝置即使重疊長度出現(xiàn)微小變化，其輸出微小力仍保持不變。若該裝置應用于微小力源中，則無需借助復雜精密儀器獲得高準確度叉指重疊距離，也能準確計算出輸出微小力；同時，無需采用超高準確度位置調節(jié)裝置對叉指間重疊長度進行準確調節(jié)，便可得到準確微小力輸出值。該結構這一特性極大地降低了極板間距離測量和位置控制不確定度對輸出微小力的影響。

從圖中還可以看出，叉指重疊長度較小（2x0＜4mm），裝置輸出微小力將急速下降。因此，在設計和使用過程中，叉指重疊長度不能太小，一般情況下滿足x0/g＞1.5時，則可認為重疊長度對輸出微小力的影響較小。

圖4　重疊長度2x0對輸出微小力影響

圖5　加載電壓U對輸出微小力影響

2）加載電壓U對裝置力學特性影響

根據(jù)理論分析，叉指狀微小力裝置其他結構參數(shù)保持不變，裝置輸出微小靜電力與加載電壓的平方成正比。圖5為改變加載電壓，經(jīng)理論計算與數(shù)值模擬的裝置輸出微小力特性。由圖可知，輸出微小靜電力理論計算值為一條二次曲線，隨加載電壓增加，輸出微小靜電力不斷增大。數(shù)值模擬結果與理論計算值分布趨勢完全相同，數(shù)值也吻合較好，數(shù)值模擬結果略小于理論分析值。在所分析加載電壓區(qū)間內（50～1000V）兩者最大誤差＜0.9%。通過圖5也驗證了理論式（2）的可靠性。

圖6　叉指間隙2g對輸出微小力影響

圖7　輸出微小力與叉指厚度間關系

3）叉指間隙2g對裝置力學特性影響

圖6為叉指間隙變化時裝置的微小力輸出值。為便于與式（2）計算結果比較，先分析滿足式（2）參數(shù)要求（c=d=g）時，裝置輸出微小力隨叉指間隙變化情況。因要求c=d=g，故數(shù)值模擬時，在改變叉指間隙2 g同時改變叉指尺寸。

根據(jù)式（2），叉指間距增大，1.0245-g/（πx0）逐漸減小，但減小幅度非常微小，此時輸出微小力幾乎不變。圖6中也可看出這一特性：理論計算結果與數(shù)值模擬結果均呈水平直線分布，叉指間隙由0.6mm增加到1.4mm，理論計算結果得到輸出微小力降低幅度僅為2.5%；而根據(jù)數(shù)值模擬，其輸出微小靜電力變化幅度僅為1.8%。由此表明，滿足式（2）參數(shù)要求（c=d=g）時，叉指間隙對裝置輸出微小力影響很小。從圖中還可看出，數(shù)值模擬結果與理論計算結果非常接近，其最大誤差在±1.1%以內，再次證明了理論公式（2）的有效性。

僅改變叉指間隙，其他參數(shù)不變，此時叉指參數(shù)已不滿足式（2）要求，無法通過式（2）計算理論值，只能借助數(shù)值模擬方法計算裝置輸出微小力（圖6方點所示）。由圖可見，叉指間隙增大，裝置輸出微小力不斷降低；在0.4～1.0mm區(qū)間內，輸出微小力迅速降低，當叉指間隙＞1.0mm，輸出微小力降低幅度逐漸減緩。結果表明，叉指間隙越小，間隙變化對輸出微小力影響越明顯，要獲得較大力值，須減小叉指間隙。當叉指間隙增大到一定程度時，間隙變化對輸出微小力影響明顯減小。因此在設計中，叉指間隙不宜太小，否則間隙的微小變化將導致裝置輸出微小力大幅改變，且當加載電壓較高時，間隙太小易造成尖端放電現(xiàn)象，導致叉指擊穿損壞。

4）叉指厚度2 d對裝置力學特性影響

叉指厚度2 d對于裝置力學特性影響如圖7所示。隨著叉指厚度增加，輸出微小靜電力不斷上升，數(shù)值模擬結果顯示叉指厚度與輸出微小力間的擬合曲線為一條直線，表明靜電力與叉指厚度成正比，在裝置設計時，可根據(jù)所需輸出靜電力大小，通過增加叉指厚度成比例增加裝置微小靜電力輸出。

4　結束語

本文運用數(shù)值模擬與理論分析相結合的方法，對一種叉指狀微小力裝置力學特性進行分析。結果表明：

1）叉指參數(shù)滿足一定關系時，重疊長度2x0對輸出微小力影響非常小，作為微小力源時，能大幅減小極板間距離控制及測量不確定度對輸出微小力的影響。

2）輸出微小力與加載電壓U的平方以及叉指厚度2 d均成正比。

3）隨著叉指間隙增大，輸出微小力迅速減小。叉指間隙越小，間隙變化對輸出微小力影響越明顯；當叉指間隙增大到一定程度時，間隙變化對輸出微小力影響明顯減小。

4）本文對簡化電容式微小力源裝置極板間距測量與位置控制附加機構以及微小力源裝置的設計均具有較大實際意義。

［1］Kim M，Pratt J R.SI traceability：Current status and future trends for forces below 10 micro newtons［J］. Measurement，2010，43（2）：169-182.

［2］Chen S J，Pan S S.A force measurement system based on an electrostatic sensing and actuating technique for calibrating force in a micro newton range with a resolution of nano-newton scale［J］.Measurement Science and Technology，2011，22（4）：45-104.

［3］Stefǎnescu D M，Anghel M A.Electrical methods for force measurement-A brief survey［J］.Measurement，2013，46（2）：：949-959.

［4］Pratt J R，Kramar J A.SI realization of small forces using an electrostatic force balance［C］∥Proc.XVIII IMEKO World Congress on Metrology for a Sustainable Development，2006：109.

［5］Physikalisch T，Bundesanstalt B，Berlin B.Facility and methods for the measurement of micro and nano forces in the range below 10-5N with a resolution of 10-12N （development concept）［J］.Measurement Science and Technology，2007（18）：360-366.

［6］Chen S J，Pan S S，Lin Y C.Comparison of milligram scale deadweights to electrostatic forces［J］.Acta Imeko，2014，3（3）：68-72.

［7］Hu G，Song L，Meng F，et al.Research and development of small force standards at NIM［C］∥International Journal of Modern Physics：Conference Series.World Scientific Publishing Company，2013（24）：1360020.

［8］劉明，林玉池，鄭葉龍，等.利用靜電場原理復現(xiàn)微小力值的實驗研究［J］.傳感技術學報，2012，25（1）：33-37.

［9］齊永岳，劉明，林玉池，等.可溯源至質量的靜電力復現(xiàn)與測量技術［J］.儀器儀表學報，2011，32（5）：1063-1068.

［10］Kim M S，Pratt J R，Brand U，et al.Report on the first international comparison of small force facilities：a pilot study at the micro Newton level［J］.Metrologia，2012，49（1）：70.

［11］Muntwyler S，Beyeler F，Nelson B J.Three-axis micro force sensor with tunable force range and sub micro newton measurement uncertainty［C］∥Robotics and Automation（ICRA），2010 IEEE International Conference on IEEE，2010：3165-3170.

［12］Johnson W A，Warne L K.Electrophysics of micromechanical comb actuators［J］.Microelectro-mechanical Systems，Journal，1995，4（1）：49-59.

Numerical simulation analysis on mechanical characteristics of finger structure m icro-force devices

XU Li1，2，ZHENG Peiliang1，2，LI Qian2，HUANG Zhenyu1，2
（1.Guangdong Provincial Key Laboratory of Modern Geometric and Mechanical Metrology Technology，Guangzhou 510405，China；2.Guangdong Provincial Institute of Metrology，Guangzhou 510405，China）

The problem existing in micro-force device is that the measurement errors in capacity plate distance have great impacts on the output of micro-force.A new finger structure micro-force device，which can significantly reduce the measurement uncertainty in micro-force output，has been designed through theoretical analysis and numerical simulation.The mechanical characteristics of the finger structure under different conditions，such as overlapping length，loading voltage，spacing，and thickness have been studied in this paper.The results show that the overlapping length almost has no influence on the output of micro-force，and the parameters of the finger structure meet a certain relationship.The micro-force output is proportional to the square of loading voltage and the thickness of the finger structure.The micro-force output decreases rapidly when the finger structure increases in spacing.It has a practical in simplifying plate distance measurement and position control mechanism，and in designing micro-force source devices.

finger structure capacitor；mechanical characteristics；numerical simulation；micro-force

A

1674-5124（2015）09-0115-05

2015-03-20；

2015-05-10

國家質檢總局科技計劃項目（2013QK259）；廣東省公益研究與能力建設專項資金項目（2014A040401044）

徐立（1983-），男，湖南長沙市人，工程師，博士，主要從事力學計量與測試研究工作。