張志明

[摘 要] “釘子板上的多邊形”是蘇教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)（上）108～109頁的內(nèi)容. 筆者在教學(xué)中的四個(gè)主要片斷是：巧用前置，觸碰規(guī)律；巧借猜想，探索規(guī)律；巧作驗(yàn)證，完善規(guī)律；巧設(shè)拓展，應(yīng)用規(guī)律.

[關(guān)鍵詞] 釘子板；多邊形；觸碰；探索；完善；應(yīng)用；規(guī)律

筆者執(zhí)教的一堂數(shù)學(xué)研究課的課題是“釘子板上的多邊形”，現(xiàn)將研究課中的四個(gè)主要教學(xué)片斷和簡(jiǎn)析整理如下.

巧用前置，觸碰規(guī)律

師：（揭示課題）同學(xué)們，今天我們研究的課題是（板書）“釘子板上的多邊形”.

（生齊讀課題）

（屏幕上顯示《預(yù)習(xí)單》）

1. 數(shù)一數(shù)、算一算、填一填

根據(jù)圖1填下列表格：

2. 在釘子圖上畫兩個(gè)多邊形

師：昨天，大家已完成《預(yù)習(xí)單》，咱們一起將《預(yù)習(xí)單》中的相關(guān)數(shù)據(jù)解讀一下. ①②③④號(hào)圖形的面積數(shù)分別是2，3，3.5，4，②號(hào)圖形的面積數(shù)3，怎么得到的？

生（齊）：算出來的，（上底+下底）×高÷2=（1+2）×2÷2=3.

師：③號(hào)圖形的面積數(shù)是3.5，是怎么想的？

生1：分成上下（或左右）兩部分，用梯形的面積加上長(zhǎng)方形的面積.

生2：先補(bǔ)上一個(gè)三角形，用正方形的面積減去補(bǔ)上的三角形的面積.

生3：直接數(shù)格子.

師：行！釘子板上多邊形的面積，既可以用學(xué)過的公式計(jì)算，也可以直接數(shù)格子. 下面請(qǐng)報(bào)告一下，①②③④號(hào)圖形邊上的釘子數(shù)分別是4，6，7，8，為什么都少數(shù)了一枚釘子？

生（齊）：因?yàn)槎加幸幻夺斪硬辉诙噙呅蔚倪吷?

師（追問）：它在多邊形的哪里？

生（齊）：在多邊形里面.

師：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積就越大.

生5：多邊形的面積數(shù)是多邊形邊上釘子數(shù)的一半.

生6：多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積數(shù)的2倍.

師：其實(shí)，這些不同的說法都是告訴我們（板書）S=n÷2，能舉例表述嗎？

生7：多邊形邊上的釘子數(shù)是4，多邊形的面積數(shù)就是4÷2=2.

生8：多邊形邊上的釘子數(shù)是8，多邊形的面積數(shù)就是8÷2=4.

生9：多邊形邊上的釘子數(shù)是10，多邊形的面積數(shù)就是10÷2=5.

師：大家還在《預(yù)習(xí)單》中畫了兩個(gè)多邊形，這里有3位同學(xué)的作品（屏幕上顯示圖2），這六個(gè)多邊形都存在S=n÷2的規(guī)律嗎？

生10：有兩個(gè)多邊形存在S=n÷2的規(guī)律，有4個(gè)多邊形不存在S=n÷2的規(guī)律.

師：為什么呢？

生11：有兩個(gè)多邊形的里面都是1枚釘子.

師：你再說一遍.

生11：有兩個(gè)多邊形的里面都是1枚釘子.

師：噢，真的！它們的里面都是1枚釘子. 然而，4個(gè)多邊形不存在S=n÷2的規(guī)律，它們的里面是幾枚釘子呢？

生11：它們的里面有2枚的、4枚的、6枚的，還有一個(gè)多邊形里面沒有釘子.

師：里面不是1枚釘子的多邊形，面積與邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢？讓我們一起進(jìn)入活動(dòng)1，研究里面有2枚釘子的多邊形.

簡(jiǎn)析？搖 “釘子板上的多邊形”是蘇教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)（上）中安排的實(shí)踐活動(dòng). 這一實(shí)踐活動(dòng)，既要引領(lǐng)學(xué)生得出結(jié)論，又要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的過程，更要引領(lǐng)學(xué)生積累數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，善于發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)眼光，歸納概括的數(shù)學(xué)能力. 對(duì)此，想在一個(gè)課時(shí)內(nèi)完成教學(xué)目標(biāo)，只能是教師帶著學(xué)生蜻蜓點(diǎn)水、走馬觀花，既不可能完整體驗(yàn)知識(shí)的生長(zhǎng)過程，也不可能完整經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展過程. 為了解決這一難題，考慮到學(xué)生針對(duì)“多邊形里面有1枚釘子”時(shí)，很容易發(fā)現(xiàn)面積數(shù)和釘子數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，這一內(nèi)容完全可以前置，讓學(xué)生通過完成《預(yù)習(xí)單》而觸碰規(guī)律. 這樣的話，就可以為新課的開始部分打開“綠色通道”，還可以把節(jié)省下來的寶貴時(shí)間用在探索后面更復(fù)雜的規(guī)律上.

巧借猜想，探索規(guī)律

（屏幕上顯示《活動(dòng)單1》）

（生讀活動(dòng)單1中“畫一畫，填一填”的要求后，各學(xué)習(xí)小組合作學(xué)習(xí)）

師：請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組交流合作學(xué)習(xí)的成果（下面的n表示多邊形邊上的釘子總數(shù)）.

A學(xué)習(xí)小組：我們發(fā)現(xiàn)多邊形里面有2枚釘子時(shí)，面積數(shù)是多邊形邊上的釘子數(shù)除以2再加上1.

B學(xué)習(xí)小組：我們發(fā)現(xiàn)a=2時(shí)，S=n÷2+1.

C學(xué)習(xí)小組：我們發(fā)現(xiàn)多邊形里面有2枚釘子時(shí)，它的面積數(shù)是用邊上釘子數(shù)與里面釘子數(shù)的和除以2.

D學(xué)習(xí)小組：我們發(fā)現(xiàn)a=2時(shí)，S=（n+2）÷2.

師（邊講邊板演）：S=（n+2）÷2，用n與2的和除以2，如果把括號(hào)去掉，先用n除以2，那括號(hào)里的2也要除以2，S=（n+2）÷2=n÷2+2÷2=n÷2+1，盡管表達(dá)式不一樣，但意思是一樣的. 同學(xué)們，剛才我們研究了當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2；當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1. 現(xiàn)在，很多同學(xué)肯定有了大膽的猜想：當(dāng)a=3時(shí)，S=？

生（齊）：n÷2+2.

（師板書：當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2）

師（追問）：那當(dāng)a=4時(shí)，S=？

生（齊）：n÷2+3.

（師板書：當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3）

師（追問）：當(dāng)多邊形里面一枚釘子也沒有，也就是a=0時(shí)呢？

（寂靜片刻后，一學(xué)生說出了自己的猜想）

（師板書：當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2-1）

這些都只是我們的猜想，還需要我們驗(yàn)證. 讓我們一起進(jìn)入活動(dòng)2，親自動(dòng)手驗(yàn)證一下這3個(gè)偉大的猜想吧！endprint

簡(jiǎn)析？搖 此教學(xué)片斷，重點(diǎn)突破了“當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1”后，“趁熱打鐵”，讓學(xué)生大膽猜想“當(dāng)a=3時(shí)，S=？”“當(dāng)a=4時(shí)，S=？”“當(dāng)a=0時(shí)，S=？”. 猜想既是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種手段，也是讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一種策略. 培養(yǎng)和提高學(xué)生的猜想能力，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、直覺思維、創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的推理能力，而且有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性，促使學(xué)生主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí). “沒有大膽的猜想，就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn). ”人們通常把數(shù)學(xué)譽(yù)為科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇冠，數(shù)學(xué)皇冠上有一顆明珠，就是著名的哥德巴赫猜想. 總而言之，在此教學(xué)環(huán)節(jié)，巧借猜想，探索規(guī)律，恰到好處.

巧作驗(yàn)證，完善規(guī)律

（屏幕上顯示《活動(dòng)單2》）

（生讀活動(dòng)單2的要求后，各學(xué)習(xí)小組合作學(xué)習(xí)）

師：請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組交流合作學(xué)習(xí)的成果.

A學(xué)習(xí)小組：我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2.

B學(xué)習(xí)小組：我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3.

C學(xué)習(xí)小組：我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形里面沒有釘子時(shí)，它的面積數(shù)是邊上釘子數(shù)除以2再減去1，即當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2-1.

師：同意這些發(fā)現(xiàn)的同學(xué)請(qǐng)舉手！

（生紛紛舉手）

師：那好！老師來考考大家，如果a=5，S=？

生（齊）：n÷2+4.

師：a=6，S=？

生（齊）：n÷2+5.

師：a=25呢？

生（齊）：n÷2+24.

師：a=100呢？

生（齊）：n÷2+99.

師：當(dāng)多邊形內(nèi)有a枚釘子時(shí)，S=？

生（齊）：n÷2+a-1.

（師板書）

師：老師真誠(chéng)地為大家喝彩，因?yàn)榇蠹野l(fā)現(xiàn)了“有史以來‘最重要的100個(gè)定理之一”. （播放錄音：奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，并進(jìn)行了證明. 這個(gè)規(guī)律被稱為“皮克定理”，這個(gè)定理被譽(yù)為有史以來“最重要的100個(gè)定理”之一）

簡(jiǎn)析？搖 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留于猜想，重要的是驗(yàn)證. 此教學(xué)片斷，在學(xué)生親自動(dòng)手驗(yàn)證了3個(gè)偉大的猜想后，“一路高歌”，依次找到：a=5時(shí)，S=n÷2+4；a=6時(shí)，S=n÷2+5；a=25時(shí)，S=n÷2+24；a=100時(shí)，S=n÷2+99；一直找到“有史以來‘最重要的100個(gè)定理之一”的“皮克定理”（S=n÷2+a-1）. 此時(shí)，師生之間、生生之間，除了喜悅，還是喜悅；除了高興，還是高興；除了快樂，還是快樂. 這是因?yàn)?，通過驗(yàn)證，說明那3個(gè)偉大猜想是合理的、正確的、科學(xué)的. 加之驗(yàn)證后的舉一反三，學(xué)生對(duì)規(guī)律一目了然、一清二楚、一通百通. 特別是教師的真誠(chéng)喝彩和播放錄音，更是讓學(xué)生沉浸在成功的歡樂氣氛之中.

巧設(shè)拓展，應(yīng)用規(guī)律

1. 出示智力沖浪A，即圖3

圖3中給大家提供了哪些信息？大家有什么想法？

生1：四角星的面積是：10÷2+5-1=9（平方分米），皇冠的面積是：10÷2+6-1=10（平方分米），皇冠的面積大.

生2：不計(jì)算也能比較，多邊形邊上的釘子數(shù)相等時(shí)，里面的釘子數(shù)越多，面積就越大.

2. 出示智力沖浪B，即圖4

圖4給大家提供了哪些信息？大家有什么想法？同座之間交流一下.

（同座之間交流）

師：請(qǐng)全班交流.

生1：哥哥覺得妹妹的面積大，是因?yàn)楦绺缈吹闹皇嵌噙呅芜吷系臉?

生2：妹妹覺得哥哥的面積大，是因?yàn)槊妹每吹闹皇嵌噙呅卫锩娴臉?

生3：哥哥的面積是15÷2+17-1=23.5（平方米），妹妹的面積是17÷2+16-1=23.5（平方米），哥哥和妹妹的面積一樣大.

生4：在釘子板上看多邊形面積的大小，既要看邊上的釘子數(shù)，也要看里面的釘子數(shù).

師：說得真好！請(qǐng)你再說一遍！

生4：在釘子板上看多邊形面積的大小，既要看邊上的釘子數(shù)，也要看里面的釘子數(shù).

師：請(qǐng)大家復(fù)述一下.

生（齊）：在釘子板上看多邊形面積的大小，既要看邊上的釘子數(shù)，也要看里面的釘子數(shù).

簡(jiǎn)析？搖 通常情況下，拓展是以智能活動(dòng)引發(fā)出的認(rèn)知活動(dòng)、意志活動(dòng)、情感活動(dòng)和交往活動(dòng)，需要學(xué)生全情投入，向自己的能力極限挑戰(zhàn). 此教學(xué)片斷，教師兩次引領(lǐng)學(xué)生投入智力沖浪，讓學(xué)生在沖浪中應(yīng)用規(guī)律. 沖浪A中，四角星的面積S=n÷2+a-1=10÷2+5-1=9（平方分米），皇冠的面積S=n÷2+a-1=10÷2+6-1=10（平方分米），皇冠的面積大. 沖浪B中，哥哥的面積S=n÷2+a-1=15÷2+17-1=23.5（平方米），妹妹的面積S=n÷2+a-1=17÷2+16-1=23.5（平方米），哥哥和妹妹的面積一樣大. 這使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：求釘子板上的多邊形面積，既要找多邊形邊上的釘子數(shù)，也要找多邊形里面的釘子數(shù). 通過這樣的拓展，既能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，又能提高學(xué)生分析問題的能力，更能提高學(xué)生解決問題的能力.endprint