林革

大家都知道，《幾何原本》是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典之作。幾乎所有的人都堅(jiān)信，歐幾里得幾何是物理空間的正確抽象，歐幾里得的公設(shè)是不證自明的真理;有些數(shù)學(xué)家卻不這么看，甚至還有點(diǎn)苛刻和較真。他們習(xí)慣于用懷疑的眼光去打量這些真理。對(duì)于歐幾里得幾何中的第五公設(shè)，即平行公設(shè)（如果一條線段與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于1800，那么這兩條直線在不斷延伸后，會(huì)在內(nèi)角和小于1800的一側(cè)相交），這些數(shù)學(xué)家更是疑慮重重，由于第五公設(shè)的真理性不像其他的公設(shè)那樣明顯，所以缺乏絕對(duì)的說服力，必須加以證明。

歐幾里得

非歐幾何的誕生，就始于人們努力消除對(duì)歐幾里得平行公設(shè)的懷疑這一過程中。

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，第五公設(shè)如果不作為公理，就應(yīng)該作為定理可以從其他公理中推證出來。所以，從希臘時(shí)代到公元1800年的2000多年里，許多著名的數(shù)學(xué)家都加入到了證明第五公設(shè)的大軍中。他們嘔心瀝血，試圖證明該公設(shè)的正確性，但都徒勞無功。其中有不少數(shù)學(xué)家興高采烈地宣布，自己已經(jīng)證明了第五公設(shè);但沒過多久，就被他人指出其中的錯(cuò)誤，使得結(jié)論無法成立。以至于1759年法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾把平行公設(shè)問題稱為“幾何原理中的家丑”。

第一位從證明第五公設(shè)大軍中覺醒的，是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯。高斯是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，也是數(shù)學(xué)史上最負(fù)盛名的大師之一。他在數(shù)學(xué)上的非凡造詣和杰出成就，使其享有“歐洲數(shù)學(xué)之王”的美譽(yù)。作為廣受尊敬和稱贊的數(shù)學(xué)巨匠，高斯一生中唯一為人所詬病的正是他參與求證第五公設(shè)后的表現(xiàn)。

當(dāng)時(shí)，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到第五公設(shè)和平行公理是等價(jià)的。平行公理是：“過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線和給定的直線平行。”所謂等價(jià)，就是說，如果把第五公設(shè)作為公理，那么平行公理就可以由第五公設(shè)推證出來，這時(shí)平行公理就成了定理;反過來，如果把平行公理當(dāng)成公理，同樣可以把第五公設(shè)作為定理證明出來。由于平行公理的敘述比第五公設(shè)簡(jiǎn)單、明確，因此，證明第五公設(shè)實(shí)則上就是證明平行公理。后來，數(shù)學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，平行公理和“三角形內(nèi)角之和等于1800”也是等價(jià)的，如果能證明出“三角形內(nèi)角之和等于1800”，也就等于證出了平行公理和第五公設(shè)，所以，大家又轉(zhuǎn)向證明這個(gè)結(jié)論。

高斯起初也在這樣的思維軌道上努力;可當(dāng)他竭盡全力仍一籌莫展時(shí)，逐漸意識(shí)到平行公理是不可證明的。1817年，高斯在寫給朋友的信中已經(jīng)提到這個(gè)猜想;而且，更可貴的是，高斯在“不能證出”思路的啟發(fā)下繼續(xù)研究，竟發(fā)現(xiàn)了一種前所未有可謂驚人的新幾何學(xué)。1824年，47歲的高斯給朋友寫信時(shí)提到：“三角形內(nèi)角之和小于1800，這個(gè)假定引向一種特殊的、和我們的幾何學(xué)完全不相同的幾何，這種幾何是完全相容的，當(dāng)我發(fā)現(xiàn)它的時(shí)候，結(jié)果完全令人滿意。”

最初，他把這種新幾何稱為“反歐幾何”;后來，改稱“星空幾何”;最后，稱其為“非歐幾何”。

遺憾的是，高斯終生也沒有公開發(fā)表這種與歐氏幾何迥然相異的新幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)。因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)，康德的唯心主義空間理論占據(jù)著統(tǒng)治地位。這種理論認(rèn)為，人生下來就有空間觀念，這個(gè)空間就是歐幾里得空間，它是唯一的空間。所有的人包括數(shù)學(xué)家對(duì)此都深信不疑。高斯擔(dān)心，自己石破天驚的發(fā)現(xiàn)會(huì)引發(fā)世俗的驚異和譏諷，令自己有丟失名譽(yù)的風(fēng)險(xiǎn)，所以一直不敢把研究結(jié)果公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫在日記和書信中，直到他死后才被披露出來。

當(dāng)高斯保持緘默時(shí)，一位匈牙利數(shù)學(xué)天才小波約伊卻率先提出了這一新幾何學(xué)。

“數(shù)學(xué)王子”高斯

說起來，高斯與小波約伊二人獨(dú)立研究的不謀而合似乎在冥冥之中早已注定。因?yàn)樾〔s伊的父親老波約伊是高斯的同窗好友，這位數(shù)學(xué)家的畢生心血都傾注在平行公理的證明上，但是沒有成功。當(dāng)小波約伊知道父親一生未果的事業(yè)是證明平行公理時(shí)，天生的基因、家庭的熏陶和強(qiáng)烈的好奇也把小波約伊吸引到證明平行公理的行列。老波約伊知道兒子的所為后非常緊張，害怕他也和自己一樣，搭上一生求證，到頭來竹籃打水一場(chǎng)空。所以，老波約伊不停地寫信，勸阻小波約伊退出這一領(lǐng)域。

可父親的苦口婆心并沒有使小波約伊停下探索研究的腳步，天賦異稟的他很快就得出了與高斯相同的結(jié)果。他于1823年激動(dòng)地把自己的發(fā)現(xiàn)寫信告訴父親，并決定發(fā)表自己的研究成果。當(dāng)時(shí)的小波約伊只有21歲。

1832年，老波約伊出版了一本幾何著作，這本書以附錄的形式發(fā)表了小波約伊的一篇題為《關(guān)于一個(gè)與歐幾里得的平行公理無關(guān)的空間的絕對(duì)真實(shí)性的學(xué)說》的論文，雖然全文只有24頁，但其中關(guān)于非歐幾何的觀點(diǎn)已經(jīng)非常清楚。

不過，這并非小波約伊的最終目的，他非常希望自己的觀點(diǎn)能得到數(shù)學(xué)權(quán)威高斯的支持，所以他給高斯寫信征求意見;可高斯在回信中只是贊揚(yáng)他有數(shù)學(xué)天分，并沒有對(duì)小波約伊提出的新幾何學(xué)給予熱情支持。這讓小波約伊頗為失望，研究的熱情受到極大挫傷。

到1848年，當(dāng)他驚奇地讀到羅巴切夫斯基的德文譯著時(shí)，才發(fā)現(xiàn)，這位俄國(guó)數(shù)學(xué)家和自己幾乎是同時(shí)發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。看到如出一轍的詳盡內(nèi)容和理解被公之于眾，小波約伊失落痛苦的心情可想而知，他對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)沒有得到應(yīng)有的認(rèn)可非常惱怒，繼而變得十分消沉沮喪，從此放棄了對(duì)數(shù)學(xué)的研究。

一個(gè)非凡的數(shù)學(xué)天才就此被無情埋沒，不免令人惋惜。

1826年，在喀山大學(xué)的一次物理學(xué)會(huì)議上，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文，其中稀奇古怪的內(nèi)容和命題讓與會(huì)的數(shù)學(xué)家目瞪口呆。諸如，三角形的內(nèi)角和小于1800，銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。

1829年，羅巴切夫斯基又撰寫發(fā)表了一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重申了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展，宣告了非歐幾何的創(chuàng)立。

因?yàn)榱_氏幾何動(dòng)搖了舊的傳統(tǒng)空間觀念，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離;所以，羅巴切夫斯基遭遇到高斯當(dāng)初所擔(dān)心的一切：嘲笑譏諷、歪曲貶低、非難謾罵、人身攻擊。學(xué)術(shù)界也持不屑一顧和冷漠否定的態(tài)度，以至于彼得堡科學(xué)院對(duì)其著作給出的鑒定是：“看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。顯然，他達(dá)到了自己的目的……這部著作謬誤連篇，荒誕不經(jīng)，因而可以忽略不計(jì)。”

令人嘆息的是，在這個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻，高斯并沒有挺身而出，他再次選擇了沉默。

客觀地說，當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》時(shí)，內(nèi)心是極其矛盾的：一方面，他私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國(guó)最卓越的數(shù)學(xué)家之一”，并下決心學(xué)習(xí)俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作;另一方面，他又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對(duì)非歐幾何的認(rèn)可，也從不以任何形式對(duì)羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評(píng)論。他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學(xué)院通訊院士;可是，在評(píng)選會(huì)和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，對(duì)羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)——?jiǎng)?chuàng)立非歐幾何避而不談。

憑著高斯當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，只要他振臂一呼，公開支持非歐幾何，至少會(huì)改變學(xué)術(shù)界一邊倒的局面，不讓羅巴切夫斯基在冷漠輕慢和苦悶抑郁中走完生命最后一段坎坷的歷程。然而，在頑固的保守勢(shì)力面前，高斯喪失了堅(jiān)持真理的勇氣，僅僅為了自身的利益和地位，選擇了沉默和觀望。高斯的表現(xiàn)不僅斷送了他成為非歐幾何創(chuàng)始人的可能，而且客觀上也助長(zhǎng)了保守勢(shì)力對(duì)羅巴切夫斯基的攻擊，導(dǎo)致了羅氏幾何遲遲不被公認(rèn)，實(shí)際上阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

非歐幾何創(chuàng)始人羅巴切夫斯基

俗話說，真金不怕火煉。歷史是公允的，非歐幾何最終得到了學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。這是人類認(rèn)識(shí)史上一個(gè)富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立不僅帶來了近百年來數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，而且對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)以及人類時(shí)空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

雖然高斯、小波約伊和羅巴切夫斯基都是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)者，但只有羅巴切夫斯基公開發(fā)表了他的研究成果;所以，人們把這種新幾何稱為“羅氏幾何”，羅巴切夫斯基亦被贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

盡管這是姍姍來遲的肯定，對(duì)于歷經(jīng)磨難的羅巴切夫斯基來說，也還算是幸運(yùn)的。相比較而言，被軟弱和沉默所埋沒的小波約伊，無疑是令人婉惜的;幸免于難的高斯則是不幸的，因?yàn)樗o自己留下了永遠(yuǎn)不能彌補(bǔ)的缺憾。

【責(zé)任編輯】趙 菲