宋健泳 范新林

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是要幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維能力。這里所說(shuō)的思維經(jīng)驗(yàn)，主要是指思維活動(dòng)中所獲得的過(guò)程性體驗(yàn)?？梢?jiàn)，思維經(jīng)驗(yàn)的積累與學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維參與程度密切相關(guān)，思維介入越積極，所獲得的體驗(yàn)也就越深刻。那么在具體的教學(xué)實(shí)踐中，思維經(jīng)驗(yàn)該如何體現(xiàn)？教師又應(yīng)該如何幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)？筆者將結(jié)合“平面圖形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)作一些探討。

“平面圖形的認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的平面圖形包括：線(xiàn)和角、三角形、四邊形、圓和扇形等。一般來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)圖形的特征需要經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)包括描繪、抽象、分類(lèi)等。因此，在設(shè)計(jì)和開(kāi)展這些數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)該具有明確的目標(biāo)意識(shí)和過(guò)程意識(shí)，這是有效積累思維經(jīng)驗(yàn)的前提。

一、在圖形的描繪中提取思維的元素

思維的元素是指思維活動(dòng)的基本構(gòu)成單位，如概念、命題等。在圖形認(rèn)知的思維活動(dòng)中，基本的思維元素是點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，教師可以通過(guò)圖形的描繪認(rèn)識(shí)這些基礎(chǔ)的幾何概念。

事實(shí)上人們對(duì)圖形的抽象就是從描繪物體的外部形象開(kāi)始的，也就是將三維空間的物體用線(xiàn)條描繪在二維平面。同樣，小學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形首先也要經(jīng)歷描繪圖形的過(guò)程。教材中針對(duì)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，一般將生活中的三維物體處理成圖片的形式呈現(xiàn)（如圖1，“角的初步認(rèn)識(shí)”人教版二上第39頁(yè)），從而簡(jiǎn)化了抽象的過(guò)程。

教材中的圖片是靜態(tài)呈現(xiàn)的，描繪圖形則是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程。這就需要教師在教學(xué)中改變圖片的呈現(xiàn)方式，使學(xué)生借助觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)歷從實(shí)物圖片中描繪、勾勒數(shù)學(xué)圖形的過(guò)程，從而積累思維經(jīng)驗(yàn)。

圖1

1.出示課本實(shí)物，找一找課本封面的角在哪里？學(xué)生大都指向角的頂點(diǎn)。

2.多媒體呈現(xiàn)課本圖片，并動(dòng)態(tài)演示（隱去原圖，留下一個(gè)點(diǎn)，如圖2）。請(qǐng)學(xué)生判斷是不是角。

學(xué)生都認(rèn)為這只是一個(gè)點(diǎn)，不是角。

3.進(jìn)一步思考，怎樣畫(huà)才能形成一個(gè)角？學(xué)生認(rèn)為還要畫(huà)上兩條邊（動(dòng)態(tài)演示，圖3）。

4.用水彩筆描出右面圖中（圖4）的角。

5.反饋后多媒體動(dòng)態(tài)演示（圖5）。

6.說(shuō)一說(shuō)數(shù)學(xué)中的角是什么樣的。

從上述教學(xué)活動(dòng)中可以看到，盡管“點(diǎn)、線(xiàn)、面、體”這些概念非常抽象，學(xué)生卻可以通過(guò)描繪和勾勒在自然而然的狀態(tài)下提煉出來(lái)?？梢?jiàn)，描繪對(duì)于圖形的抽象是極其重要的，這是從生活到數(shù)學(xué)的抽象，因而是最直接、也是最本源的思維經(jīng)驗(yàn)。除此以外，在教學(xué)活動(dòng)中還拓寬了學(xué)生的思維視角。如一開(kāi)始學(xué)生只關(guān)注局部，他們把物體“尖尖的部分”看成是角，這是源于生活中對(duì)桌角、墻角等的認(rèn)識(shí)，與作為幾何圖形的“角”是不同的。但是，錯(cuò)誤也是一種經(jīng)驗(yàn)。在動(dòng)態(tài)演示（舍去實(shí)物的圖片背景）中，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到“尖尖的部分”只是一個(gè)點(diǎn)，只是“角”的一個(gè)部分。要完整地表示一個(gè)“角”，需要關(guān)注圖形的整體，即還要在“點(diǎn)”的基礎(chǔ)上輔上兩條邊。顯然，這樣的認(rèn)識(shí)是直觀的，也是深刻的。

二、在圖形的抽象中實(shí)現(xiàn)思維的聚焦

經(jīng)歷圖形的描繪過(guò)程使學(xué)生認(rèn)識(shí)了平面圖形的構(gòu)造方式——點(diǎn)和線(xiàn)的組合。但要深入了解圖形，還需要進(jìn)一步抽象圖形的基本特征。所謂抽象，就是“對(duì)同類(lèi)事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征，舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過(guò)程”。這個(gè)取舍的過(guò)程從思維的角度講就是一個(gè)聚焦的過(guò)程。以“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)為例，過(guò)程如下：

1.呈現(xiàn)用各種顏色彩紙剪成的四邊形（圖6），從中找出長(zhǎng)方形。

圖6

學(xué)生一致認(rèn)為圖①、圖③和圖⑦是長(zhǎng)方形，對(duì)圖④是不是長(zhǎng)方形有爭(zhēng)議，大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為它是正方形而不是長(zhǎng)方形。

2.討論：圖①、圖③和圖⑦顏色不同、大小不同，為什么它們都是長(zhǎng)方形？你們是怎么判斷的？

討論后學(xué)生的意見(jiàn)趨于一致，即兩條標(biāo)準(zhǔn)：四個(gè)角都是直角、相對(duì)的邊相等。

3.對(duì)圖①、圖③和圖⑦進(jìn)行操作驗(yàn)證（量一量、折一折）。

4.進(jìn)一步討論：圖④是一個(gè)正方形，如果用長(zhǎng)方形的標(biāo)準(zhǔn)去判斷，它符合要求嗎？

經(jīng)過(guò)充分討論和思辨，學(xué)生開(kāi)始認(rèn)可圖④也是一個(gè)長(zhǎng)方形。

5.思考：正方形是特殊的長(zhǎng)方形，特殊在哪里？

從本質(zhì)上講，圖形的抽象就是舍去顏色、質(zhì)地等物理屬性，研究形狀、大小、位置關(guān)系等數(shù)學(xué)屬性。對(duì)于長(zhǎng)方形和正方形，學(xué)生在一年級(jí)時(shí)已有了初步認(rèn)識(shí)（圖7）。這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的特征，其中難點(diǎn)在于理解和接受“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”這一具有從屬關(guān)系的概念。為此，一方面教學(xué)中有意識(shí)地設(shè)置了一些干擾因素，如不同的顏色、不同的大小、擺放的角度，還包括長(zhǎng)方形的形狀也有所區(qū)別。這樣設(shè)計(jì)的意圖在于延長(zhǎng)思維聚焦的體驗(yàn)過(guò)程，即擺脫一些非本質(zhì)因素的影響，有選擇地將思維關(guān)注點(diǎn)逐步聚焦于決定圖形特征的兩個(gè)要素：邊和角?；蛘哒f(shuō)，讓學(xué)生充分理解只要符合對(duì)邊相等、四個(gè)角都是直角的四邊形，不管是什么顏色、多少大小、長(zhǎng)的、扁的、正著放、斜著放都叫長(zhǎng)方形;同樣，判斷一個(gè)四邊形是不是正方形也只要看是不是符合四個(gè)直角、四邊相等就可以了，與其他因素?zé)o關(guān)。另一方面，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生還學(xué)會(huì)了用一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)去進(jìn)行判斷，并以此認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形之間的從屬關(guān)系，突破了教學(xué)難點(diǎn)。判斷是一種較高層次的思維形式，在這里也可以理解為是一種思維經(jīng)驗(yàn)的具體體現(xiàn)。

三、在圖形的分類(lèi)中梳理思維的脈絡(luò)

分類(lèi)是認(rèn)識(shí)事物的一種重要的方法。分類(lèi)的基礎(chǔ)是比較，在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)中分類(lèi)的過(guò)程就是通過(guò)比較不斷尋找圖形之間共性和差異的思維過(guò)程，也是對(duì)圖形本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)不斷深化的過(guò)程。如果從思維的角度看，分類(lèi)活動(dòng)包含了思維的起點(diǎn)、“拐”點(diǎn)、條理和層次等，我們稱(chēng)之為思維的“脈絡(luò)”。如三角形的分類(lèi)：

1.出示下圖（圖8），給圖中的三角形分一分類(lèi)。

圖8

反饋：

方案一：圖④、圖⑦為一類(lèi);圖①、圖②、圖③、圖⑤、圖⑥為一類(lèi);

理由：有直角的分一類(lèi)，沒(méi)有直角的分一類(lèi);

方案二：圖④、圖⑦為一類(lèi);圖③、圖⑥為一類(lèi);圖①、圖②、圖⑤為一類(lèi);

理由：有直角的分一類(lèi);有鈍角的分一類(lèi);都是銳角的分一類(lèi);

方案三：圖②、圖⑥、圖⑦為一類(lèi);圖①、圖③、圖④為一類(lèi);圖⑤為一類(lèi);

理由：有兩條邊一樣長(zhǎng)的分一類(lèi);三條邊都一樣長(zhǎng)的分一類(lèi)。

2.比較這四種不同的分法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生討論后得出：前兩種方案都是根據(jù)三角形的“角”來(lái)分類(lèi)的，方案三則是根據(jù)“邊”的長(zhǎng)度來(lái)分類(lèi)的。

3.揭示：如果按“角”分，一般分為三類(lèi)：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。想一想，一個(gè)三角形會(huì)不會(huì)既是直角三角形又是銳角三角形？

生：有可能，因?yàn)橹苯侨切卫镆灿袖J角。

生：不可能。任何一個(gè)三角形里都有銳角的，銳角三角形必須三個(gè)都是銳角。所以直角三角形不可能是銳角三角形。

師：也就是說(shuō)如果按“角”分類(lèi)，那么一個(gè)三角形不可能同時(shí)具備兩類(lèi)不同的特征。這樣的關(guān)系我們可以用一幅圖來(lái)表示。（呈現(xiàn)圖9）

4. 揭示：如果按“邊”分，有兩類(lèi)特殊的三角形：等腰三角形、等邊三角形。想一想，等邊三角形是不是等腰三角形？

生：是的。只要兩條邊長(zhǎng)度相等就是等腰三角形，等邊三角形三條邊的長(zhǎng)度都相等，當(dāng)然也是等腰三角形。

師：我們可以把等邊三角形看作是特殊的等腰三角形。它們的關(guān)系也可以用怎樣的圖來(lái)表示呢？（呈現(xiàn)圖10）

分類(lèi)時(shí)首先要考慮的是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，這是思維的起點(diǎn)。對(duì)于平面圖形來(lái)說(shuō)，分類(lèi)的主要標(biāo)準(zhǔn)是“邊” 和“角”。其中，按“邊”分類(lèi)主要考慮的是條數(shù)、長(zhǎng)度和位置關(guān)系（如對(duì)邊是否平行）;按“角”分類(lèi)則主要考慮直角，如有沒(méi)有直角（本質(zhì)上還是邊的位置關(guān)系——鄰邊是否垂直）或者以直角為“分水嶺”。這樣的經(jīng)驗(yàn)在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生其實(shí)已經(jīng)有所感悟，因而在上述案例中可以看作是思維經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用。教學(xué)中要求學(xué)生陳述分類(lèi)的理由，分享分類(lèi)的經(jīng)驗(yàn)，這是幫助學(xué)生體驗(yàn)思維邏輯性和條理性：思維的起點(diǎn)（分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)）不同，所得到的結(jié)論迥然相異。進(jìn)一步，教師還要引導(dǎo)學(xué)生感悟思維的層次性，即按照這兩種標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)后，各類(lèi)三角形相互之間的關(guān)系是不一樣的。按角分類(lèi)重點(diǎn)關(guān)注的是“差異性”，所分得的三類(lèi)三角形是“互不兼容”的并列關(guān)系;按邊分除了關(guān)注差異還要關(guān)注“共性”，如等邊三角形既然三條邊都相等，則必然其中有兩條邊相等，也就是具備了等腰三角形的特征，這是一種從屬關(guān)系（包含關(guān)系）。這種思維經(jīng)驗(yàn)的積累將為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中研究圖形之間的關(guān)系打下良好的基礎(chǔ)。

綜上，可以看到思維經(jīng)驗(yàn)是一種基于主觀的、富有感性特征的過(guò)程性體驗(yàn)。盡管它是一種隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但在教學(xué)中幫助學(xué)生有效積累思維的經(jīng)驗(yàn)也并非無(wú)跡可循。只要教師有意識(shí)地展開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，積極引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思維活動(dòng)，那么思維層面的體驗(yàn)與感悟?qū)⒉粩嘭S富、不斷積淀，最終會(huì)形成特有的數(shù)學(xué)思維方式，并逐步建立一定的數(shù)學(xué)直觀。

（浙江省湖州市鳳凰小學(xué) ?313000

浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) ?313000）