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      基于學(xué)生需求,借助直觀突顯核心概念

      2015-09-10 07:22:44陳新華于萍
      關(guān)鍵詞:被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)除數(shù)

      陳新華 于萍

      一、教學(xué)背景

      1.教學(xué)內(nèi)容

      “整數(shù)除以整數(shù),商是小數(shù)”是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中的一種類型。之前學(xué)習(xí)的“整數(shù)除法”與“小數(shù)的意義”是本課學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ),“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的算理、算法都與整數(shù)除法基本相同,是根據(jù)小數(shù)的意義將整數(shù)部分的運(yùn)算向小數(shù)部分拓展。

      人教版教材中“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”共安排了3個(gè)例題:例1是小數(shù)除以整數(shù),除到被除數(shù)的末尾沒有余數(shù);例2是整數(shù)除以整數(shù),除到被除數(shù)末尾仍有余數(shù),需要添0繼續(xù)除;例3是被除數(shù)比除數(shù)小,整數(shù)部分不夠商1的情況。

      2.學(xué)生情況

      本單元教學(xué)之前,筆者安排學(xué)生對(duì)整個(gè)“小數(shù)除法”單元的計(jì)算部分進(jìn)行了預(yù)習(xí),關(guān)于“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”學(xué)生提出了如下一些問題:

      (1)為什么商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊?為什么不數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)呢?

      (2)小數(shù)除法第一步看不看小數(shù)點(diǎn)?

      (3)列豎式計(jì)算的過程中,商的小數(shù)點(diǎn)什么時(shí)候點(diǎn)?

      (4)被除數(shù)位數(shù)不夠時(shí)為什么能添0繼續(xù)除?

      ……

      從這些提問中可以分析出,學(xué)生不太能接受小數(shù)除法沒能像乘法那樣“先當(dāng)成整數(shù)算,最后再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)”的計(jì)算方法,也不理解“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)對(duì)齊”“添0繼續(xù)除”等算法背后的算理。

      基于此,本次教學(xué)調(diào)整了教材中例題的順序,先教學(xué)例2“整數(shù)除以整數(shù),商是小數(shù)的情況”。先教學(xué)這類小數(shù)除法,可以從有余數(shù)的整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法,這樣更有利于算理的理解、算法的遷移,同時(shí)也有利于學(xué)生更深刻地理解小數(shù)的意義——小數(shù)是比整數(shù)更精確的數(shù)。

      二、教學(xué)目標(biāo)

      1.探究整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法,掌握計(jì)算方法。在觀察、比較等活動(dòng)中,豐富學(xué)生對(duì)除法的認(rèn)識(shí),深化對(duì)小數(shù)的意義的理解。

      2.借助實(shí)物直觀和圖形直觀,理解“添0繼續(xù)除”“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的道理,能正確地計(jì)算整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法。

      3.在分析方法、遷移運(yùn)用的過程中,學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光分析問題的意識(shí)和能力。

      4.初步養(yǎng)成樂于思考、言必有據(jù)的良好品質(zhì)。

      三、教學(xué)過程

      1.引入

      ①回答問題并列出算式

      師:將7支鋼筆平均分給2人,怎么分?用算式表示。

      生:7支鋼筆平均分給2人,每人3支還余1支。算式是7÷2=3……1。

      師:將7元錢平均分給2人,怎么分?用算式表示。

      生:7元錢平均分給2人,每人可以先分到3元,剩下的1元換成10角,每人就可以得到3元5角,也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。(課件演示分的過程,教師板書:7÷2=3……1;7÷2=3.5)

      ②對(duì)比兩題,引出課題

      師:為什么都是7÷2,商卻不同?

      生:因?yàn)榉值臇|西不一樣。

      生:分鋼筆,剩下1支就不能再分了;分錢,剩下的1元可以換成10角繼續(xù)分。

      師:對(duì)于分鋼筆的問題,可以用以前學(xué)過的有余數(shù)除法來解決,而分錢的問題則要用到新知識(shí)——小數(shù)除法來解決。這節(jié)課我們就來研究小數(shù)除法,體會(huì)一下今天學(xué)習(xí)的小數(shù)除法與之前學(xué)習(xí)的整數(shù)除法有什么聯(lián)系和區(qū)別。(板書課題:小數(shù)除法)

      (點(diǎn)評(píng):在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中,“除法”與“平均分”有著密切的聯(lián)系。在本課學(xué)習(xí)之前學(xué)生有比較豐富的整數(shù)除法運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。知道“平均分”的結(jié)果有“恰好分完”和“分完有剩余”兩種情況,這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。同時(shí),學(xué)生們又知道貨幣可以“化整為零”,平均分完剩余“1元”,可以換成“10角”繼續(xù)分,這是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。上面兩個(gè)例子均使用了實(shí)物直觀,其價(jià)值在于充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn),為基于經(jīng)驗(yàn)的遷移探究奠定了基礎(chǔ),也初步回答了學(xué)生課前的疑問。)

      2.新課

      (1)研究算法,追問算理

      ①學(xué)生嘗試寫豎式

      師:將7元錢平均分成2份,經(jīng)過了分—換—再分的過程,想一想,怎樣用豎式表示出這些過程?

      學(xué)生嘗試寫豎式;同桌交流豎式中的哪些部分分別表示了分、換、再分的過程。

      ②分析豎式,追問算理

      學(xué)生展示豎式的不同寫法,并說明豎式表示的分的過程。

      師:大家寫的豎式有很多相同點(diǎn),比如都在余1的后面添了一個(gè)0,為什么要添0呢?

      生:添0后,1就變成10了。

      生:1除以2不夠除,10除以2就夠除了。

      生:不對(duì),應(yīng)該說添0后,1就變成1.0了,就相當(dāng)于把1元換成了10角。

      師:這個(gè)0能添嗎?

      生:當(dāng)然能添了,這是小數(shù)末尾的0,小數(shù)末尾添多少個(gè)0都行!

      師:商5的前面為什么要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)呢?

      生:因?yàn)?代表的不是5個(gè)1,而是5個(gè)0.1。

      生:5是10除以2算出來的,10角平均分成2份,每份是5角,是0.5元。

      ③板演豎式,規(guī)范寫法

      教師演示豎式的書寫過程,說明計(jì)算過程中的小數(shù)點(diǎn)可以省略。

      (點(diǎn)評(píng):教師通過引導(dǎo)學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融合,平均分硬幣的直觀模型有助于幫助學(xué)生將“分—換—再分”這一平均分的過程,與豎式運(yùn)算中的“除—添‘0’—再除”的過程建立起聯(lián)系?!疤?”就是“換錢”,就是化小計(jì)數(shù)單位?!按髥挝弧辈粔蚍謺r(shí)可以“化小”計(jì)數(shù)單位(增加計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)),“夠分了”再繼續(xù)分。讓學(xué)生嘗試寫豎式,也是將探究與思考的機(jī)會(huì)留給了學(xué)生,自主探尋課前的問題。學(xué)生通過試寫、對(duì)比和分析逐步聚焦問題,抓住計(jì)數(shù)本質(zhì)分析計(jì)算方法。實(shí)物直觀模型較好地突顯了除法中的“添0”就是“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”這一核心。)

      (2)鞏固算法,深究算理

      ①鞏固算法,嘗試計(jì)算11÷4

      師:(板書11÷4)這個(gè)算式表示什么意思?

      生:把11平均分成4份,每份是多少。

      師:11個(gè)1怎樣平均分成4份呢?請(qǐng)你結(jié)合分的過程也可以模仿7÷2的豎式,嘗試寫一寫11÷4的豎式。(學(xué)生獨(dú)立思考,嘗試寫豎式計(jì)算11÷4,一生板演)

      ②解讀豎式,演示分的過程

      學(xué)生解讀豎式的每個(gè)步驟,教師用課件演示平均分的過程。

      ③深入分析算理

      師:為什么計(jì)算11÷4時(shí),要添兩個(gè)0?

      生:個(gè)位余3,需要在十分位上添0繼續(xù)除;十分位上又余2,就需要在百分位上添0繼續(xù)除。

      師:除到末尾有余數(shù)就在后面添0,添0是在改變什么?

      生:添0,就讓余數(shù)“變碎”了,變成了更小的單位。

      生:計(jì)數(shù)單位小了,計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)就增多了,就夠除了。(教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)言,再次演示課件)

      ④總結(jié)算法

      師:比較一下,計(jì)算7÷2與11÷4時(shí),有什么共同點(diǎn)?

      生:都是整數(shù)除以整數(shù),商是小數(shù)。

      生:除到最后有余數(shù),需要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn),添上0繼續(xù)往下除。(教師補(bǔ)充課題:整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù))

      師:對(duì)比一下,今天我們學(xué)習(xí)的小數(shù)除法與之前學(xué)過的被除數(shù)末尾有0的整數(shù)除法相比,有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎?(出示如右豎式)

      生:我覺得今天學(xué)的小數(shù)除法與整數(shù)除法差不多,只不過需要自己先補(bǔ)0再落下來繼續(xù)除。

      生:我補(bǔ)充,在添0之前要先添上小數(shù)點(diǎn),商也要對(duì)應(yīng)著點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。

      (點(diǎn)評(píng):在學(xué)生對(duì)這類小數(shù)除法有了初步感悟的基礎(chǔ)上,再借助幾何直觀的演示,有利于幫助學(xué)生逐步形成對(duì)算法的抽象理解,并有助于形成對(duì)這一類計(jì)算的普遍性認(rèn)識(shí)。從直觀形式來看,執(zhí)教老師所選用的方格圖是學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)常見的直觀模型,因此使用它對(duì)于學(xué)生理解計(jì)算過程中每一步所得到的結(jié)果以及數(shù)的變化有支撐作用。從直觀的使用時(shí)機(jī)來看,是在學(xué)生嘗試計(jì)算之后再進(jìn)行幾何直觀的演示,這樣的安排使直觀模型發(fā)揮了驗(yàn)證結(jié)論和揭示過程的作用,有助于學(xué)生完成兩個(gè)對(duì)接,即平均分的過程與豎式書寫對(duì)接,理解直觀與理解運(yùn)算對(duì)接。)

      (3)拓展延伸

      ①嘗試計(jì)算5÷25

      師:這里還有一道整數(shù)除以整數(shù)的題目,大家嘗試用豎式計(jì)算一下。(學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算)

      ②討論:商是5、0.5還是0.2?

      師:我看到大家的計(jì)算結(jié)果有5、0.5和0.2,哪個(gè)不對(duì),為什么?

      生:不可能是5,5除以25表示把5平均分成25份,每份連1都分不到,所以不可能是5。

      生:0.5也不對(duì),0.5乘25不等于5。

      ③交流自主探究中的疑問

      師:得出這些錯(cuò)誤的商,是因?yàn)樵谟?jì)算過程中同學(xué)們有一些疑問,我們一起來交流一下。首先第一個(gè)問題就是5和25,哪個(gè)數(shù)寫在里面,哪個(gè)數(shù)寫在外面?

      生:5是被除數(shù),5寫在里面,25寫在外面。

      生:無論什么數(shù),都應(yīng)該將被除數(shù)寫在里面,除數(shù)寫在外面。

      生:我是這么寫的,可是我不知道怎么用5除以25,5比25小?。?/p>

      生:5不夠除,可以添0啊,50除以25就夠除了!

      生:不能只是添0,也要添小數(shù)點(diǎn),而且寫商時(shí)也要先寫上0,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn),商的2是2個(gè)0.1。

      結(jié)合學(xué)生發(fā)言,教師演示課件如下:

      ④對(duì)比,補(bǔ)充算法

      師:同樣是整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù),這道題卻有些不同,哪兒不一樣?

      生:被除數(shù)比除數(shù)還要小。

      師:在整數(shù)除法中,除了0作被除數(shù),我們從沒有遇到過這種情況。被除數(shù)比除數(shù)小,商最明顯的特點(diǎn)是什么?

      生:商一定是小數(shù)。

      生:商一定小于1!因?yàn)楸怀龜?shù)比除數(shù)小,每份一定不夠1。

      生:商肯定是零點(diǎn)幾,被除數(shù)不夠除,需要添上0和小數(shù)點(diǎn)才能除!

      ⑤鞏固練習(xí):3÷8

      (點(diǎn)評(píng):計(jì)算學(xué)習(xí)通常都是發(fā)現(xiàn)一個(gè)又一個(gè)“新情況”,并根據(jù)數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算意義“破解”一個(gè)又一個(gè)“新情況”的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)有兩個(gè)重要的生長(zhǎng)點(diǎn):第一是“個(gè)位剩余可以繼續(xù)分”,在前面的新課環(huán)節(jié)已經(jīng)重點(diǎn)探討。第二是“較小數(shù)除以較大數(shù)”的情況,這既是學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn),也是本課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師在引導(dǎo)學(xué)生借助估算初步感知結(jié)果范圍的基礎(chǔ)上,再次使用幾何直觀幫助學(xué)生認(rèn)可結(jié)果,并深入理解“先添小數(shù)點(diǎn),再添繼續(xù)除”的道理。)

      3.總結(jié)質(zhì)疑

      師:這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么?在原來學(xué)習(xí)整數(shù)除法的基礎(chǔ)上,研究了哪些新問題?

      生:研究了怎樣將有余數(shù)的整數(shù)除法繼續(xù)除下去。

      生:研究了如果被除數(shù)比除數(shù)小怎么除。

      師:你還有什么疑問嗎?

      生:是不是不斷添0除下去,就一定能除盡?

      生:不一定,我知道還有循環(huán)小數(shù)。

      生:比如1÷3,3乘幾也不可能得幾十,那就總會(huì)有余數(shù),怎么補(bǔ)0也除不盡!

      ……

      四、教學(xué)點(diǎn)評(píng)

      陳老師基于學(xué)情分析,對(duì)教學(xué)內(nèi)容的順序進(jìn)行了調(diào)整,本課被作為“小數(shù)除法”單元的起始課。這樣的安排,充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)除法意義以及小數(shù)意義的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)遷移、方法遷移、認(rèn)知遷移,在自主探究、對(duì)比和反思中探尋方法,辨析解惑,推廣經(jīng)驗(yàn)。整數(shù)除法中有關(guān)“平均分”的經(jīng)驗(yàn)可以遷移到小數(shù)除法,整數(shù)除法中“從高位開始,一位一位地平均分”的方法可以遷移到小數(shù)除法,學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)知可以遷移到小數(shù)的運(yùn)算中,即“如何算”(方法)取決于“數(shù)是什么樣的”(本質(zhì))。這次嘗試,也是充分考慮了學(xué)生的基礎(chǔ)和需求,從實(shí)施效果來看是被學(xué)生接受的。并且能夠?qū)訉由钊氲卣归_思考,對(duì)計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)逐漸清晰而完善。同時(shí),本課的收獲又為接下來繼續(xù)研究“小數(shù)÷整數(shù)”“小數(shù)÷小數(shù)”奠定了新的認(rèn)知基礎(chǔ)。

      小數(shù)除法是計(jì)算教學(xué)中難點(diǎn)比較集中的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)其方法也常存有困惑,這些都是教師在教學(xué)中應(yīng)全面了解并給予充分關(guān)注和準(zhǔn)確回應(yīng)的。歸納起來,學(xué)生的困惑主要集中在“如何處理小數(shù)點(diǎn)”和“如何處理0”上。在本課設(shè)計(jì)中,陳老師重點(diǎn)借助“三次直觀”突破認(rèn)知難點(diǎn),又通過“三次對(duì)比”不斷突顯核心概念。

      1.三次直觀:推動(dòng)認(rèn)知發(fā)展

      直觀模型能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)和運(yùn)算更有“感覺”。在計(jì)算中,運(yùn)用直觀首先是一種“算法”,可以讓學(xué)生直觀地“看到”結(jié)果,進(jìn)而認(rèn)可豎式計(jì)算的結(jié)論。同時(shí)還能幫助學(xué)生理解計(jì)算過程,進(jìn)而抽象計(jì)算(豎式書寫)方法的重要支撐。本課中教師先后使用了三次直觀模型。第一次是新課引入時(shí)的實(shí)物直觀模型(“分鋼筆”和“分硬幣”),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有時(shí)分完有剩余可以“換一換”再繼續(xù)分的現(xiàn)象。第二次是初步探索計(jì)算方法后使用的幾何直觀模型(方格圖),充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。每個(gè)正方形代表“一”,平均分成10份,每份(一小條)就是;將一小份(一小條)再平均分成10份,每份(一個(gè)小正方形)就是……將認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)所使用的直觀模型應(yīng)用在計(jì)算過程中,有助于學(xué)生認(rèn)可每一步的運(yùn)算結(jié)果,并形象地理解計(jì)算過程中每一步的含義。第三次是計(jì)算5÷25(較小數(shù)÷較大數(shù))這一難點(diǎn)時(shí)使用了幾何直觀模型,其價(jià)值首先在于讓學(xué)生認(rèn)定結(jié)果,其次是理解平均分的過程??傊?,三次直觀模型的使用價(jià)值,都基于學(xué)生的認(rèn)知需求,有效推動(dòng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。其形式不同,價(jià)值也不盡相同。

      2.三次對(duì)比:突顯核心概念

      “數(shù)”與“運(yùn)算”是緊密相連的教學(xué)內(nèi)容,計(jì)算教學(xué)中算法和算理的溝通離不開 “計(jì)數(shù)單位”這一核心概念。但是核心概念是抽象的,不容易被學(xué)生感悟、理解和運(yùn)用。因此教學(xué)中,教師需要設(shè)計(jì)有效的活動(dòng),促使學(xué)生不斷形成對(duì)核心概念的深入理解。本課中,陳老師通過“三次對(duì)比”不斷突顯了核心概念的價(jià)值。第一次是對(duì)比兩個(gè)“7÷2”的結(jié)果,平均分7支鋼筆剩余1支就不能再分了;而平均分7元錢剩余1元還可以換成10角繼續(xù)分。這次對(duì)比讓學(xué)生自然而然地接受了“換小單位可以繼續(xù)分”,雖然此時(shí)還是實(shí)際情境,但已為學(xué)生把握核心概念奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第二次是對(duì)比小數(shù)除法與整數(shù)除法。小數(shù)除法中的“添0繼續(xù)除”與整數(shù)除法中的“落0繼續(xù)除”很相似,這種感受有助于學(xué)生算法遷移,同時(shí)又讓學(xué)生感受到整數(shù)除法中“落完了”也就除完了。而小數(shù)除法只要需要就可以不停地“添0”繼續(xù)除,這正是小數(shù)的性質(zhì)所決定的。這次對(duì)比既突顯了除法運(yùn)算中“不斷化小計(jì)數(shù)單位繼續(xù)除”的“通法”,又突顯了小數(shù)“沒有最小計(jì)數(shù)單位”的核心概念,這些有助于提升學(xué)生運(yùn)算能力。第三次是對(duì)比兩類“整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù)”的除法,一種是“被除數(shù)>除數(shù)”,另一種是“被除數(shù)<除數(shù)”,這組對(duì)比使學(xué)生主動(dòng)地將估算與精算相結(jié)合,并進(jìn)一步聚焦了“處理0”的難點(diǎn)問題?!霸摬辉撎?”“0該添在哪兒”等問題都指向于學(xué)生對(duì)“計(jì)數(shù)單位”“數(shù)位”等概念的深入理解。

      總之,面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)困難的內(nèi)容,教師更要深入地分析學(xué)生需求,并緊緊地抓住核心概念開展教學(xué),這有助于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,讓每一個(gè)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是已有知識(shí)的發(fā)展點(diǎn),同時(shí)也都能成為繼續(xù)探究的新起點(diǎn)。

      (北京小學(xué) ? 100053)

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