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      多元函數(shù)的極值與最值

      2015-09-10 04:46:09徐秋倉
      考試周刊 2015年76期
      關(guān)鍵詞:駐點(diǎn)極值最值

      徐秋倉

      摘 ? ?要: 本文通過幾個(gè)例子的討論說明求多元函數(shù)的極值與最值比求一元函數(shù)極值與最值要復(fù)雜得多,某些一元函數(shù)求極值與最值的方法及結(jié)論對(duì)多元函數(shù)并不適用,因此在解題時(shí)要特別注意.

      關(guān)鍵詞: 駐點(diǎn) ? ?極值 ? ?最值

      我們?cè)趯W(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí)知道,討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用時(shí)以二元函數(shù)為主,因二元以上的函數(shù)的微分理論可以由二元函數(shù)的微分理論直接類推.一元函數(shù)到二元函數(shù)則不同,有些知識(shí)可以由一元函數(shù)的理論直接類推得到,但有些知識(shí)從一元函數(shù)類推到多元函數(shù)會(huì)產(chǎn)生新的問題.因而如果用一元函數(shù)的一些結(jié)論解決多元函數(shù)的問題,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).本文就關(guān)于求多元函數(shù)的極值與最值問題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)做了探討.

      判斷一元函數(shù)極值點(diǎn)的一般方法是:首先找出函數(shù)的駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).其次由極值存在的第一充分條件來判斷,若某點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反,該點(diǎn)一定是極值點(diǎn).最后再具體判斷出是極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn),從而求出函數(shù)的極值.

      求可導(dǎo)的一元函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的一般方法是:首先找出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一切駐點(diǎn)(即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)),然后求出這些駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,再進(jìn)行比較,最大者即為函數(shù)的最大值,最小者即為函數(shù)的最小值.

      關(guān)于一元函數(shù)的極大值與極小值和最大值與最小值,我們有這樣的命題.

      命題一:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I(有限或無窮,開或閉)上連續(xù),若y=f(x)在I內(nèi)兩點(diǎn)x,x(x

      命題二:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I(有限或無窮,開或閉)上可微,又在I內(nèi)有唯一駐點(diǎn)x且為極值點(diǎn),則x就是y=f(x)在區(qū)間I上的最值點(diǎn).

      這兩個(gè)命題的幾何意義非常明顯,且很容易證明.因此,在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極值和最值的過程中,如果也按一元函數(shù)的理論理解上述兩個(gè)命題,就很容易產(chǎn)生以下錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

      (1)若函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D內(nèi)可微且有多于兩個(gè)極大值(或極小值)點(diǎn),那么在D內(nèi),函數(shù)在閉區(qū)域D內(nèi)至少存在一個(gè)極小值(極大值)點(diǎn).

      (2)若函數(shù)z=f(x,y)在有界閉區(qū)域D內(nèi)可微且有唯一的駐點(diǎn)(x,y)(f(x,y)=f(x,y)=0)且是函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)),則該點(diǎn)必是函數(shù)的最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn)).

      以上結(jié)論對(duì)多元函數(shù)都不成立.

      對(duì)于錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)(1),我們有這樣的例子.

      例1:討論函數(shù)z=f(x,y)=(1+e)cosx-ye的極值.

      解:函數(shù)的定義區(qū)域是整個(gè)平面.

      求駐點(diǎn),解方程組

      f(x,y)=-(1+e)sinx=0f(x,y)=e(cosx-1-y)=0

      得無數(shù)個(gè)駐點(diǎn)(kπ,(-1)-1) ? ?k∈Z,

      由f(x,y)=-(1+e)cosx,f(x,y)=-esinx,f(x,y)=e(cosx-2-y)

      可知在點(diǎn)(2kπ,0)處:

      在點(diǎn)((2k-1)π,-2)處:

      f((2k-1)π,-2)-f((2k-1)π,-2)·f((2k-1)π,-2)=e(1+e)>0,函數(shù)無極值.

      故可知此函數(shù)在全平面上有無窮多個(gè)極大值,但沒有極小值.考察此函數(shù)的曲面形態(tài),我們會(huì)發(fā)現(xiàn),函數(shù)在全平面上的無數(shù)個(gè)極大點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上無數(shù)個(gè)小“山包”,任意兩“山包”之間有溝,這些溝都有“斜坡”向下,不能形成“盆地”,故函數(shù)沒有極小值.

      對(duì)于錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)(2),我們討論下例.

      例2:設(shè)z=f(x,y)=8x+y-xy-8x,D:|x|≤,|y|≤.

      解:求駐點(diǎn),解方程組

      f(x,y)=16x-y-24x=0f(x,y)=y-x=0

      得兩個(gè)駐點(diǎn)(0,0)和,2.但,2不在D內(nèi),故在D內(nèi)僅有唯一駐點(diǎn)(0,0).

      f(x,y)=16-48x ? ?f(x,y)=-1 ? ? f(x,y)=

      在(0,0)點(diǎn)處,由f(0,0)-f(0,0)·f(0,0)=-3<0,f(0,0)=16>0,可以判定(0,0)為f(x,y)在D內(nèi)的唯一極小值點(diǎn).但可以求出f(x,y)在邊界點(diǎn),處取得最小值,f,=π-π<0,因此f(0,0)=0并非最小值.

      由例2可知z=g(u,v)在全平面上僅有一個(gè)駐點(diǎn)(0,0)且在該點(diǎn)處由

      g(0,0)=16,g(0,0)=-1,g(0,0)=,

      g(0,0)-g(0,0)·g(0,0)<0,g(0,0)=16>0,

      可以判定(0,0)為z=g(u,v)在全平面內(nèi)的唯一極小值點(diǎn),g(0,0)=0是極小值.但它并不是最小值,如z=g(tan1,tan1)=8-1-8=-<0.顯然函數(shù)的最小值不存在,因?yàn)槿矫媸情_區(qū)域,若有最小值,則一定是內(nèi)點(diǎn),是域內(nèi)的極值點(diǎn),但前面已證明域內(nèi)極小值點(diǎn)不是最小值點(diǎn).觀察這樣函數(shù)的曲面模型,我們可以看到顯然在極小值點(diǎn)處可以形成“盆地”,但在它周圍的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方,若區(qū)域有界,則最低點(diǎn)就在邊界上.

      由以上討論可以看出,多元函數(shù)的極值和最值問題要比一元函數(shù)的情況復(fù)雜得多.即便在有界閉區(qū)域的邊界上有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值都大于區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值,也不能做出區(qū)域內(nèi)必有極小值點(diǎn)的判斷,更不能得出最小值一定在區(qū)域內(nèi)的結(jié)論.對(duì)極大值也是如此.所以對(duì)一般多元函數(shù)求最值的方法是首先找出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)和邊界上的最值點(diǎn),然后比較它們的函數(shù)值確定函數(shù)的最值點(diǎn).在解決具體的實(shí)際問題中,如果根據(jù)問題的性質(zhì),我們確實(shí)可以肯定函數(shù)是在區(qū)域內(nèi)部取得最值時(shí),才能利用域內(nèi)有唯一駐點(diǎn)且是極值點(diǎn)而得出此點(diǎn)即為最值點(diǎn)的結(jié)論.

      參考文獻(xiàn):

      [1]高等數(shù)學(xué).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等教研出版社,1982.

      [2]錢吉林,等.數(shù)學(xué)分析題解精粹.崇文書局,2003.

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