探索發(fā)現(xiàn)型問題的解題策略

洪三球

1.引言

初中數(shù)學(xué)中的“探索發(fā)現(xiàn)”型試題是需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明的命題，它不像傳統(tǒng)的解答題或證明題，定型于“條件—演繹—結(jié)論”這樣一個封閉的模式中。由于命題中缺少一定的題設(shè)或未給出明確的結(jié)論，因此必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由條件去探索不明確的結(jié)論;或由結(jié)論去探索未給予的條件;也或者去探索存在的各種可能性及發(fā)現(xiàn)所形成的客觀規(guī)律.

在近幾年的中考試題中，探索性問題屢屢出現(xiàn)，出題的角度越來越新穎，考察的能力要求越來越高，深受關(guān)注.但是，數(shù)學(xué)探索性問題的出現(xiàn)在一定程度上給學(xué)生的解題帶來了諸多困難，也給教師的教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)，為此，筆者現(xiàn)就數(shù)學(xué)探索性問題的解題策略作探討.

2.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的解題方法

此類問題由于題型新穎、綜合性強、結(jié)構(gòu)獨特等，一般并無固定解題思路模式，但是可以從以下幾個角度考慮.

2.1利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律.

2.2反演推理法，即先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.

2.3分類討論法.當命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況，分門別類加以討論求解.

2.4類比猜想法，即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴密論證.

以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用.

3.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的分類及知識運用舉例

3.1條件探索型：這類題結(jié)論明確，需要去探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件.

對應(yīng)的解題策略有：

（1）模仿分析法.將原的題設(shè)和結(jié)論視為已知條件，分別進行演繹再有機地結(jié)合起來，推導(dǎo)出所需尋求的條件.

（2）設(shè)出題目中指定的探索條件，將此假設(shè)為已知，結(jié)合題設(shè)條件列出滿足結(jié)論的等量或不等量關(guān)系，通過解方程或不等式，求出所需尋找的條件.

例1：已知，如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，（1）當點O與AB有怎樣的位置關(guān)系時，∠ACB是直角？（2）在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有什么樣的關(guān)系時，△ABC∽△CBD∽△ACD？（3）畫出符合（1）、（2）題意的兩種圖形，使圖形的CD=2cm.

解析：（1）當點O在AB上（即O為AB的中點）時，∠ACB是直角;

（2）∵∠ACB是直角，∴當CD⊥AB時，△ABC∽△CBD∽△ACD;

（3）作直徑AB為5的⊙O，在AB上取一點D，使AD=1，BD=4，過D點作CD⊥AB交⊙O于C點，連接AC、BC，即為所求（如圖所示）.

評注：本題是一個簡單的幾何條件探索題，它突破了過去“假設(shè)—求證”的封閉式論證，而是給出問題的結(jié)論，逆求結(jié)論成立的條件，強化了對學(xué)生通過觀察、分析、猜想、推理、判斷等探索活動的要求.看似平常，實際上非常精彩.

3.2結(jié)論探索型：這類題條件已知但無明確結(jié)論或結(jié)論不唯一，需要探索與條件相對應(yīng)的結(jié)論.

對應(yīng)的解題策略有：

（1）運用定義或定理直接導(dǎo)出結(jié)論;（2）通過具體到抽象，特殊到一般的歸納獲得結(jié)論，再給出嚴格證明;（3）通過類比，聯(lián)想，猜測出結(jié)論，再加以證明.

例2：（2007北京市改編）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱;

（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.

解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）.

（2）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE.

如圖1，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點.

因為∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，

所以△BCF≌△CBG.所以BF=CG.

因為∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC.

可證△BDF≌△CEG.所以BD=CE.

所以四邊形DBCE是等邊四邊形.

評注：這是一道以探索結(jié)論為目的的開放型試題，它不限結(jié)論，而是讓考生根據(jù)條件去探索結(jié)論.因此，這類考題對開闊視野、啟迪智慧、培養(yǎng)發(fā)散思維能力大有好處。

3.3存在探索型：這類問題是指在某種題設(shè)條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在.

解題的策略與方法：先假設(shè)數(shù)學(xué)對象存在，以此為條件進行運算或推理.若無矛盾，說明假設(shè)正確，由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對象存在;否則，說明不存在.

例3：（2005年湖北省黃岡改編）如圖在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四邊形OABC是梯形.點P、Q同時從原點出發(fā)，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動.

（1）求出直線OC的解析式.

（2）設(shè)從出發(fā)起運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請求出的值;如不可能，請說明理由.

分析與解答：（1）設(shè)OC的解析式為y=kx，將C（8，6）代入，得k=，∴yx.

（2）易得梯形的周長為44.

①如圖當Q點在OC上時，P運動的路程為，則Q運動的路程為（22-t）.

過Q作QM⊥OA于M，則QM=（22-t）×.

∴S（18+10）×6=84.

假設(shè)存在t值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積，

則有t（22-t）×=84×，即t-22t+140=0.

∵△=22-4×140<0，∴這樣的t不存在.

②如圖，當Q點在BC上時，Q走過的路程為（22-t），故CQ的長為：22-t-10=12-t.

∴S=（CQ+OP）AB=×（12-t+t）×6=36≠84×，

∴這樣的t也不存在.

綜上所述，不存在這樣的值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積.

3.4規(guī)律探索型：是指在一定的條件下，探索有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的題目.

解題的策略與方法：根據(jù)已知條件或所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的本質(zhì)規(guī)律與特征.

例4.（2007四川樂山）如圖（15），在直角坐標系中，已知點P的坐標為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP;又將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為O的2倍，得到線段OP;如此下去，得到線段OP，OP，…，OP（n為正整數(shù)）.（1）求點P的坐標;（2）求△POP的面積;（3）我們規(guī)定：把點P（x，y）（n=0，1，2，3…）的橫坐標x、縱坐標y都取絕對值后得到的新坐標（|x|，|y|）稱之為點P的“絕對坐標”.根據(jù)圖中點P的分布規(guī)律，請你猜想點P的“絕對坐標”，并寫出來.

解：（1）（2）略.

（3）由題意知，OP旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點P分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點P的坐標可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，

①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點P落在x軸上，此時，點P的絕對坐標為（2，0）;

②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點P落在各象限的平分線上，此時，點P的絕對坐標為（2，2;

③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點P落在y軸上，此時，點的絕對坐標為（0，2）.

評注：本題從特殊情形入手，通過圖形的變換，尋找數(shù)量上的內(nèi)在規(guī)律，頗具新意.

以上四個方面舉例，較全面地討論了開放性與探索性問題求解的基本思路與方法，但由于這類問題的條件或結(jié)論的不確定性，使我們解答過程中不能僅從一個思維層面上思考，應(yīng)該運用發(fā)散思維思考問題，探索要從特殊到一般，從感性到理性角度看問題，猜測要大膽，在確定解題思路方向的前提下，敢于采用所學(xué)習過的各種數(shù)學(xué)方法去嘗試，只要這樣訓(xùn)練，才能適應(yīng)新中考命題中不斷創(chuàng)新的試題的考試要求.