吳艷華

摘 要： 《折三角形的三線》是七年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》上的第四個(gè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際操作時(shí)學(xué)生還是有困難的。首先如何引導(dǎo)學(xué)生折三角形的三線，其次學(xué)生要在會(huì)折的基礎(chǔ)上能簡(jiǎn)單地說(shuō)理。特別是在折鈍角三角形的高線時(shí)，教材只是簡(jiǎn)單地說(shuō)明了鈍角三角形只能折出一條高線，并沒(méi)有進(jìn)一步探究。而本節(jié)課對(duì)這部分進(jìn)行了深入探究，讓學(xué)生自己想辦法折出鈍角三角形的三條高線。

關(guān)鍵詞： 折三角形“三線” 角平分線 高線 中線

一、教學(xué)內(nèi)容

《折三角形的“三線”》是蘇科版七年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》上的第四個(gè)實(shí)驗(yàn)。

二、設(shè)計(jì)思路

在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的角平分線、高線、中線的定義及性質(zhì)，本節(jié)課的內(nèi)容則是側(cè)重于讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手“折”，重新認(rèn)識(shí)三角形的“三線”。所以首要任務(wù)是讓學(xué)生“會(huì)折”，要給學(xué)生充分的動(dòng)手操作時(shí)間。而“會(huì)折”的前提是學(xué)生能夠聯(lián)系前面所學(xué)的“三線”、簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱知識(shí)，進(jìn)一步內(nèi)化，所以在一開(kāi)始引入時(shí)，我們就從認(rèn)識(shí)三角形的“三線”開(kāi)始。考慮到難度要逐層遞增，所以我們從最簡(jiǎn)單的角平分線開(kāi)始，然后是中線，最后是高線，對(duì)教材的順序做了調(diào)整，難度依次遞增。在折三角形的高線時(shí)，學(xué)生能很快折出銳角三角形的三條高線，對(duì)于直角三角形學(xué)生能很快認(rèn)識(shí)到它只能折出一條斜邊上的高線，另外兩條高線就是它的兩條直角邊，所以在設(shè)計(jì)時(shí)就簡(jiǎn)單展示了一下。但對(duì)于折鈍角三角形的高線，書上并沒(méi)有要求折出它的三條高線，很多學(xué)生也認(rèn)為只能折出一條，實(shí)際上鈍角三角形的三條高線是可以折出來(lái)的，我們?cè)鲈O(shè)了如何折鈍角三角形的三條高線這一環(huán)節(jié)是對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的考驗(yàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：能夠在不借助任何工具的情況下，會(huì)折出三角形的“三線”。在動(dòng)手操作中重新認(rèn)識(shí)三角形的“三線”（所在的直線）相交于一點(diǎn)及該點(diǎn)的位置。

2.過(guò)程與方法：經(jīng)歷折三角形的角平分線、中線、高線的過(guò)程，加深對(duì)這“三線”的認(rèn)識(shí)。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：在小組合作、交流中讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

四、教學(xué)重點(diǎn)

會(huì)動(dòng)手折三角形的“三線”，通過(guò)實(shí)驗(yàn)感知三角形三條角平分線、三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。三角形的三條高線（延長(zhǎng)線）相交于一點(diǎn)，以及點(diǎn)的位置。

五、教學(xué)難點(diǎn)

用折紙的方法找出鈍角三角形的三條高線，并進(jìn)一步體會(huì)銳角三角形的三條高線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形的三條高線交于直角所在的頂點(diǎn)，鈍角三角形的三條高線的延長(zhǎng)線交于三角形外一點(diǎn)。

六、教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

片斷一：引入

師：同學(xué)們，在三角形中有三條非常重要的線段，你們知道嗎？請(qǐng)看投影儀。在△ABC中，線段AD我們稱之為三角形的什么？

生：角平分線。

師：你是怎么看出來(lái)的？

生：因?yàn)锳D平分了∠BAC。

師：是的，因?yàn)锳D是過(guò)∠BAC的頂點(diǎn)并且平分了∠BAC。

師：那線段AE我們稱之為三角形的什么？

生：高線。

師：你是怎么看出來(lái)的？

生：因?yàn)锳E⊥BC。

師：對(duì)的，因?yàn)锳E是過(guò)A點(diǎn)并且垂直于BC的。

師：那AF我們稱之為三角形的什么？

生：中線，因?yàn)樗瞧椒諦C邊的。

師：很好，因?yàn)锳F是連接頂點(diǎn)和對(duì)邊的中點(diǎn)的線段。

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)能夠借助于直尺、三角板、量角器等工具畫出三角形的“三線”，那今天這節(jié)課就是要在不利用任何工具的情況下折出三角形的“三線”。

【評(píng)析】雖說(shuō)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是沒(méi)有復(fù)習(xí)舊知這一環(huán)節(jié)的，但筆者在設(shè)計(jì)時(shí)覺(jué)得，學(xué)生動(dòng)手折三角形“三線”的前提是在能夠?qū)ⅰ叭€”的定義、性質(zhì)內(nèi)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而且在提問(wèn)時(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)三角形的“三線”是一定過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的。一來(lái)為后面的動(dòng)手操作服務(wù)，二來(lái)當(dāng)組內(nèi)有成員能折出“三線”時(shí)，其他組員可以進(jìn)行評(píng)判操作是否正確，有了判斷的依據(jù)。

片斷二：折三角形的三條角平分線

師：那我們就從三角形的角平分開(kāi)始，請(qǐng)同學(xué)們看清活動(dòng)要求：以小組為單位，在不利用任何工具的情況下，在①號(hào)三角形（每個(gè)小組的三角形形狀是不同的）中折出它的三條角平分線，先思考討論，然后再動(dòng)手操作。

小組實(shí)驗(yàn)

小組展示

發(fā)言員：我們將這個(gè)角翻折，使得它的兩條邊重合。

師：為什么這條折痕就是角平分線？

發(fā)言員：首先它是過(guò)這個(gè)角所在的頂點(diǎn)，并且這個(gè)角翻折是能夠重合的，說(shuō)明它們是相等的。

師：請(qǐng)各個(gè)小組觀察一下，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：三角形的三條角平分線相交于形內(nèi)一點(diǎn)。

【評(píng)析】折三角形的三條角平分線是比較容易的，學(xué)生都能完成，但在說(shuō)理的時(shí)候可能會(huì)說(shuō)不清，這就是為什么一開(kāi)始引入的時(shí)候要強(qiáng)調(diào)三角形角平分線的定義，這是學(xué)生將定義進(jìn)一步內(nèi)化的一個(gè)過(guò)程。通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，與三角形的形狀無(wú)關(guān)。其實(shí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生在之前畫三角形角平分線的時(shí)候就已經(jīng)知道了，這里只是又驗(yàn)證了一下。

片斷三：折三角形的三條中線

師：接下來(lái)讓我們一起探索三角形的中線，請(qǐng)看活動(dòng)要求：在不利用任何工具的情況下，請(qǐng)?jiān)冖谔?hào)三角形中折出它的三條中線。

小組實(shí)驗(yàn)

小組展示

發(fā)言員：我們首先把邊對(duì)折，得到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是這條邊的中點(diǎn)，然后連接頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)的折痕就是這個(gè)三角形的一條中線。

師：很好，折三角形中線的關(guān)鍵是找到邊的中點(diǎn)。剛才老師發(fā)現(xiàn)有一個(gè)小組是這樣折的（展示剛才折錯(cuò)的小組），你們看這條折痕是三角形的中線嗎？

生：不是，因?yàn)樗鼪](méi)有過(guò)三角形的頂點(diǎn)。

師：很好，看來(lái)同學(xué)們已經(jīng)很牢固地掌握了三角形的中線，那請(qǐng)你們觀察一下，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)三角形的三條中線相交于形內(nèi)一點(diǎn)。而且當(dāng)我用手指頂著這個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)三角形是不會(huì)掉下來(lái)的。

師：你的回答太精彩了，三角形的三條中線是交于三角形內(nèi)一點(diǎn)的。這位同學(xué)還發(fā)現(xiàn)了當(dāng)我用手指頂著這個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三角形是不會(huì)掉下來(lái)的，讓我們一起來(lái)試試。

師：這真是一個(gè)“驚人”的發(fā)現(xiàn)呀！這個(gè)交點(diǎn)我們要給它一個(gè)名稱叫做重心，這是我們初三要學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容。

【評(píng)析】在折三角形的中線時(shí)，有學(xué)生會(huì)遇到一些困難，如直接將邊對(duì)折，將折痕誤認(rèn)為中線，但很快小組內(nèi)的學(xué)生自己能意識(shí)到這并不是三角形的中線，然后再做出調(diào)整，直到解決問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了小組的分工合作。對(duì)于學(xué)生提出的“重心”的新發(fā)現(xiàn)，我也感到很意外，因?yàn)椴皇潜菊n的內(nèi)容，所以只是讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的體驗(yàn)之后，提了一下它的名稱“重心”。

片斷四：折三角形的高線

師：接下來(lái)我們來(lái)挑戰(zhàn)一下三角形的高線，請(qǐng)看活動(dòng)要求：請(qǐng)?jiān)冖厶?hào)三角形中折出它的三條高線。

小組實(shí)驗(yàn)

師：有些小組已經(jīng)很快折出了三角形的三條高線，我們請(qǐng)他們展示一下。

小組展示（請(qǐng)拿到銳角三角形的小組展示）。

發(fā)言員：我們將它的邊翻折，使得它的邊重合在同一直線上。

師：只要邊重合在同一直線上就可以了嗎？（展示錯(cuò)誤的折痕）這樣可以嗎？你們組還有什么補(bǔ)充嗎？

生：這條折痕要過(guò)這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)。

師：老師手里拿的是什么三角形？

生：直角三角形。

師：直角三角形中能折出幾條高線？

生：一條，因?yàn)橛袃蓷l高就是它的直角邊，所以不用折。

師：很好，剛才我看到有些小組很快折出了三條，有些小組還沒(méi)有折出來(lái)，我們一起來(lái)幫幫忙吧。

師：請(qǐng)問(wèn)你們組剛才折了幾條高了？

生：因?yàn)槲覀兡玫降氖氢g角三角形，它有兩條高線是在三角形的外部的，所以我們只能折出一條。

師：很好，前面通過(guò)畫三角形的高線，我們知道了鈍角三角形有兩條高線是在三角形外部的，所以我們暫時(shí)沒(méi)有辦法把它折出來(lái)。那今天我們就要想辦法，在不借助任何工具的情況下，折出鈍角三角形的三條高線。

小組討論

提示：可以回想一下，剛才我們是怎么折三角形的高線的。我們是過(guò)頂點(diǎn)，并且使它的邊翻折后能在同一直線上。

生：我們要延長(zhǎng)邊長(zhǎng)。

師：怎樣延長(zhǎng)邊長(zhǎng)，怎樣使它的邊及延長(zhǎng)線呈現(xiàn)在我們的面前？

生：給我一張紙（該學(xué)生已經(jīng)在嘗試）。

師：好，我現(xiàn)在就給你一張紙，請(qǐng)組長(zhǎng)打開(kāi)錦囊一，看看錦囊里有什么妙計(jì)嗎？

生：一張玻璃紙。

師：好，給了一張玻璃紙，怎樣使得它的邊及延長(zhǎng)線呈現(xiàn)出來(lái)？

小組繼續(xù)討論

有學(xué)生提出：要是有膠水就好了。

師：好的，現(xiàn)在就給你。請(qǐng)打開(kāi)錦囊二，看看錦囊二里的東西對(duì)你有幫助嗎？

小組繼續(xù)實(shí)驗(yàn)

小組展示

發(fā)言員：我們沿著三角形的邊把玻璃紙翻折，這條折痕就是邊及它所在的直線，然后按照剛才折高線的方法繼續(xù)折，折痕過(guò)對(duì)邊的頂點(diǎn)，并且使得邊翻折后能夠與延長(zhǎng)線在同一直線上。

師：很好！很多組已經(jīng)完成了。請(qǐng)同學(xué)們觀察一下你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三角形的三條高線或高線的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)。

師：你能說(shuō)得具體些嗎？比如點(diǎn)的位置。

生：銳角三角形的三條高線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形的三條高線交于直角所在的頂點(diǎn)，鈍角三角形的三條高線的延長(zhǎng)線交于三角形外部。

師：很好！由于時(shí)間的關(guān)系，我們今天這節(jié)課就到這了，如果你還有什么疑惑，可以在小組內(nèi)討論解決，解決不了的時(shí)候可以尋求外部的幫助。

【評(píng)析】折銳角三角形的三條高線學(xué)生基本能很快折出來(lái)，但過(guò)程中可能會(huì)犯一些錯(cuò)誤，但小組合作交流時(shí)都能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并提出正確的解決方案。直角三角形并沒(méi)有給學(xué)生親自動(dòng)手折，而只是老師拿出來(lái)作了展示，這樣設(shè)計(jì)主要考慮到一來(lái)時(shí)間比較緊，二來(lái)學(xué)生在折銳角三角形的高線時(shí)已經(jīng)掌握方法，直角三角形兩條直角邊上的高線，學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)就是直角邊。在設(shè)計(jì)鈍角三角形時(shí)，書本上只是簡(jiǎn)單地說(shuō)明鈍角三角形只能折出一條高線，另外兩條是折不出來(lái)的。本節(jié)課對(duì)教材進(jìn)行了修改，將三角形紙片貼在紙上時(shí)，它就轉(zhuǎn)換成了平面幾何問(wèn)題，學(xué)生就可以折出鈍角三角形的三條高線。關(guān)鍵是如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。

七、幾點(diǎn)思考

1.說(shuō)實(shí)話數(shù)學(xué)老師很“怕”上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是新生事物，很多老師沒(méi)上過(guò)，又因?yàn)槠綍r(shí)教學(xué)任務(wù)重、時(shí)間緊，所以在平時(shí)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課往往被自動(dòng)“忽略”。但通過(guò)這節(jié)課，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生很愛(ài)上實(shí)驗(yàn)課，數(shù)學(xué)不僅僅是解幾道題，數(shù)學(xué)是有用的，是可以動(dòng)手操作的，是好玩的。

2.是告訴學(xué)生答案還是讓學(xué)生自己想辦法解決問(wèn)題，老師對(duì)這個(gè)問(wèn)題總是很糾結(jié)。老師就像媽媽一樣，對(duì)孩子總有那么多的“不放心”，怕學(xué)生找不到解決問(wèn)題的方案，怕學(xué)生操作的失誤，恨不得替學(xué)生都包辦了。可這種“不放心”讓我們的學(xué)生錯(cuò)失了很多成長(zhǎng)的機(jī)會(huì)。當(dāng)我們真正放手，把舞臺(tái)還給學(xué)生的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)給你一個(gè)大大的驚喜。

3.預(yù)設(shè)是備課中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，如何在教學(xué)過(guò)程中埋下“問(wèn)題”，如何引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，是值得每位數(shù)學(xué)老師深究的課題。