“形”使“數(shù)”更直觀

朱志明 蘭以俊

什么是數(shù)形結(jié)合？數(shù)學(xué)家華羅庚有過非常精辟的詮釋：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”在教學(xué)實(shí)踐中，教師正是從“形”對(duì)于“數(shù)”的直觀性、“數(shù)”對(duì)“形”的深刻性這兩個(gè)方面著手，發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合的作用。由此，數(shù)形結(jié)合既是研究探索數(shù)學(xué)的一種思想方法，又是幫助學(xué)生理解解釋數(shù)學(xué)的一種教學(xué)方式與教學(xué)手段。下面筆者以數(shù)與形的結(jié)合為抓手，進(jìn)行“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)探索，并作一些教學(xué)思考。

一、借“形” 引出概念

師課件出示：運(yùn)動(dòng)會(huì)上兩個(gè)班的同學(xué)分別排出下面兩種隊(duì)形，算一算各有多少人？

生：圖1中的人數(shù)為9×4=36（人）；圖2中的人數(shù)為5×7=35（人）。

師：在9×4=36中，以前把9和4取名為乘數(shù)（生說），36取名為積。在排隊(duì)中，9是每行的數(shù)量，4是行數(shù)，36是總數(shù)。

師：根據(jù)今天學(xué)習(xí)的課題——“倍數(shù)與因數(shù)”，請(qǐng)同學(xué)們猜一猜在圖1的算式中什么是什么的因數(shù)，什么是什么的倍數(shù)。

生：4和9是36的因數(shù)，36是4和9的倍數(shù)。

板書：

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖2的每行數(shù)量、行數(shù)和總數(shù)，說說在5×7=35中，什么是什么的因數(shù)，什么是什么的倍數(shù)？

生：每行的數(shù)量5與行數(shù)7是總數(shù)35的因數(shù)；總數(shù)35既是每行的數(shù)量5的倍數(shù)，也是行數(shù)7的倍數(shù)。

【分析】“倍數(shù)與因數(shù)”是研究兩個(gè)非0自然數(shù)的倍比關(guān)系，即為非0自然數(shù)的乘數(shù)與積的倍比關(guān)系，可見它與學(xué)生熟悉的乘法算式有關(guān)。根據(jù)排隊(duì)問題，列出乘法算式，說說什么是什么的因數(shù)，什么是什么的倍數(shù)，很自然地把舊知與新知緊密地聯(lián)結(jié)在一起，既使學(xué)生的新知學(xué)習(xí)步入“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的境地，又為學(xué)生理解“倍數(shù)”中的各數(shù)是“非0自然數(shù)”這一規(guī)定埋下伏筆。

二、用“形”抽象概念

師：倍數(shù)與因數(shù)這兩個(gè)概念非常重要，是學(xué)好分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，望同學(xué)們務(wù)必與它們成為好朋友。

師：根據(jù)前面的方法，并結(jié)合圖3，請(qǐng)同學(xué)們寫出2～3個(gè)不同的算式，并在點(diǎn)子圖中圈一圈，然后與同桌說一說哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。（先同桌交流，再指定1～2名學(xué)生向全班匯報(bào)同桌的作品）

學(xué)生匯報(bào)后，師課件出示：下面是淘氣所寫的算式和所圈的圖（見圖4），你們覺得對(duì)嗎？如果是對(duì)的，請(qǐng)說說在每個(gè)式子中哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。（學(xué)生判斷后交流）

師：這樣的例子多嗎？（多）誰能用一個(gè)算式表達(dá)所有同學(xué)所舉的例子？

生：用字母式表示。

師：這個(gè)建議非常好！如果用a，b，c表示3個(gè)數(shù)，那么表示因數(shù)、倍數(shù)的乘法算式應(yīng)怎樣表達(dá)？

生：a×b=c（a，b，c都是大于1的整數(shù)），c是a和b的倍數(shù)，a和b是c的因數(shù)。（板書）

【分析】上述環(huán)節(jié)先設(shè)計(jì)了開放的“圈一圈、寫一寫與說一說”，旨在豐富學(xué)生倍數(shù)與因數(shù)的現(xiàn)實(shí)模型，即在點(diǎn)子圖中每行的數(shù)量與行數(shù)是總數(shù)的因數(shù)，總數(shù)是每行的數(shù)量與行數(shù)的倍數(shù)。再出示淘氣的作品：有行數(shù)是1的，有行數(shù)大于每行數(shù)的。這樣，既提供了相同的例子讓學(xué)生感悟，又彌補(bǔ)了學(xué)生容易疏忽的特例——行數(shù)1。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生抽象概括出字母表達(dá)式就水到渠成了。

不難看出，第一部分的情境以及上述環(huán)節(jié)起始的“圈一圈、寫一寫與說一說”，只是從情境、圖形、語言和操作層面上讓學(xué)生理解概念，最后抽象出字母表達(dá)式是在符號(hào)表征的層面上讓學(xué)生更好地理解概念。那么，用這么多的表征來理解概念有沒有必要呢？

美國學(xué)者萊許等曾借助如下的圖形（見圖5）來說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表達(dá)方式，如圖像、書面語言、現(xiàn)實(shí)情境等同樣也發(fā)揮了十分重要的作用?！边@一論述為概念教學(xué)指明了方向：在教學(xué)中不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)其中的任一方面，而應(yīng)更加重視對(duì)于各個(gè)方面的聯(lián)結(jié)，并幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)能夠依據(jù)情況與需要在這些成分之間靈活地作出轉(zhuǎn)換。

三、“形” 助理解規(guī)定

師：以前學(xué)習(xí)的“倍”，可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，這里a，b，c可以是整數(shù)、小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，只要不為0。今天學(xué)習(xí)的“倍數(shù)”可以用乘法算式a×b=c表示，這里的a，b，c可以取什么數(shù)呢？

生：可以是任何數(shù)。

生：不對(duì)！這里的a，b，c必須是非0自然數(shù)。

師：說說你的理由。

生：我們是在點(diǎn)子圖中學(xué)習(xí)倍數(shù)與因數(shù)的，每行的數(shù)量、行數(shù)與總數(shù)都是非0自然數(shù)。（全班學(xué)生都認(rèn)為這位同學(xué)的觀點(diǎn)是正確的）

師：“倍數(shù)”與“倍”有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

通過討論，學(xué)生認(rèn)為相同點(diǎn)是：都研究兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系；不同點(diǎn)是：“倍”中的“數(shù)”可以是整數(shù)、小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，只要不為0；而“倍數(shù)” 中的“數(shù)”一定是要非0自然數(shù)。

【分析】 “倍數(shù)”是什么呢？要使學(xué)生清楚這一問題，僅有范例是不夠的，還需要與相近的概念“倍”進(jìn)行對(duì)比分析。通過對(duì)比分析，使學(xué)生明晰它們之間的聯(lián)系——都是表示兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系，都可以用乘法或除法算式來表示；并且使學(xué)生明白研究對(duì)象的取值范圍的不同點(diǎn)——“倍”中的數(shù)可以是整數(shù)、小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，只要不為0，而“倍數(shù)”的數(shù)僅指非0自然數(shù)。通過對(duì)比分析后的追問，促進(jìn)學(xué)生在點(diǎn)子圖中積累的內(nèi)隱經(jīng)驗(yàn)向外顯轉(zhuǎn)化，即借助直觀有意義地理解和接受了“0除外的自然數(shù)”這一規(guī)定。

四、依“形”建構(gòu)模型

師：點(diǎn)子圖幫助我們理解了倍數(shù)與因數(shù)的概念，找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)同樣可以借助點(diǎn)子圖。請(qǐng)同學(xué)們先想想在點(diǎn)子圖中找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，實(shí)際上是先確定什么，再找什么？

生：先確定一行的數(shù)量，再找每行的數(shù)量與行的數(shù)量的積。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才這位同學(xué)的想法，在點(diǎn)子圖上圈一圈，并在圈出的點(diǎn)子圖右邊寫上相應(yīng)的7的倍數(shù)。

學(xué)生獨(dú)立操作后交流。學(xué)生一邊匯報(bào)，課件一邊呈現(xiàn)，最后形成圖6。

師：通過剛才的圈一圈、找一找，你認(rèn)為找一個(gè)非0自然數(shù)a的倍數(shù)方法是怎樣的？

生：a×1，a×2，a×3……

小結(jié)：依次找a的1倍、2倍、3倍……

師：根據(jù)自然數(shù)的主要特征：個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)，最小的數(shù)是0，沒有最大的數(shù)，相繼兩個(gè)自然數(shù)的差是1。想一想，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有什么特征呢？

小結(jié)：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)，相繼兩個(gè)倍數(shù)的差就是它本身。

【分析】筆者讓學(xué)生通過“在點(diǎn)子圖上圈一圈，并在圈出的點(diǎn)子圖右邊寫上相應(yīng)的7的倍數(shù)”的活動(dòng)，一方面，使他們感悟到找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，其實(shí)就是圈點(diǎn)子圖，每行的個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)，每行個(gè)數(shù)與行數(shù)的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)，即找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法——從這個(gè)數(shù)的1倍開始找起，接著找它的2倍、3倍……另一方面，便于發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特點(diǎn)：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)必定是它本身乘1，即它本身，沒有最大的倍數(shù)，相鄰兩個(gè)倍數(shù)的相差值是它的本身，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

（浙江衢州市衢江區(qū)教研室 324000

浙江省衢州市衢江區(qū)廿里小學(xué) 324013）