劉東升
專題精講
2015年中考將第一次根據(jù)《義務教育課程標準( 2011年版)》(以下簡稱“課標2011年版”)開展命題工作.“課標2011年版”塒丁“綜合與實踐”有明確的規(guī)定,比如“結合實際情境,經(jīng)歷設計解決具體問題的方案,并加以實施的過程,體驗建立模型、解決問題的過程,并在此過程中,嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題:會反思參與活動的全過程,將研究的過程和結果形成報告或小論文,并能進行交流,進一步獲得數(shù)學活動經(jīng)驗.”相信圍繞相關要求的考查“綜合與實踐”方面的中考試題一定會在2015年得到進一步的重視和強化,比如對實際情境問題選擇、建立模型,解決問題:或者嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題的考查;或者引導傾聽參與問題解決的過程;或者在數(shù)學操作活動中獲得活動經(jīng)驗的考查.下面我們選擇相關考題歸類講解,反思解題思路、思維陷阱或者易錯點分析.
重點題型例析
一、建立模型解決情境問題
例l (2014.陜西)問題探究:
(l)如圖1.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.如果BC邊上存在點P,使△APD為等腰三角形,那么請畫出滿足條件的一個等腰△APD,并求出此時BP的長.
(2)如圖2,在△ABC中,∠ABC=60。,BC=12,AD是BC邊上的高,E、F分別為邊AB、AC的中點.當AD=6時.BC邊上存在一點Q,使∠ EQF=90。,求此時BQ的長.
問題解決:
(3)有一山莊,它的平面圖為如圖3的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安監(jiān)控裝置,用來監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB大約為60。,就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳.已知∠A=∠E= ∠D=90。,AB=270 m,A E=400 m,ED=285 m,CD=340 m.問:在線段CD上是否存在點M.使∠AMB=60。?若存在,請求出符合條件的DM的長;若不存在,請說明理由.
解析:第一步,“開放答案想意圖,預熱蓄勢向上登”. 由于問題只要給出一個符合要求的答案,所以是比較簡單的.但是值得深入思考的是,有幾個點是符合要求的呢?根據(jù)等腰三角形第三個頂點的分類方法,如圖4,以AD為腰(再細分點A、D為頂點)、以AD為底進行分類,容易得出三個可能的解答,進一步根據(jù)勾股定理可求出相應的BP的長(BPl=4-、/7,BP2=2,BP3=、/7).這樣的思考對于后續(xù)問題的求解是有幫助的.
第二步,“思路引向圓周角,上下呼應再求值”,
(2)由于菱形的對角線平分一組對角,故在折疊的時候想到先折出∠BCA的平分線,確定D點,再由CD的垂直平分線確定另外兩個頂點E、F
先折∠ACB的平分線(使CB落在CA上),壓平,折線與AB的交點為D;再折DC的垂直平分線(使C與D重合),壓平,折線與BC,CA的交點分別為E、F如圖10.展平后四邊形DECF就是菱形,
理由:由CB落在CA上,折線與AB的交點為D.故∠ACD=∠BCD.由點C與D重合,折線與BC,AC的交點分別為點E、F,可得CF=DF=DE=CE.即四邊形DECF為菱形.
反思:這道操作題,實質是一個比較傳統(tǒng)的平行四邊形的判定,動態(tài)問題中的四邊形面積的最值的問題,解決問題的方法主要是應用平行四邊形的判定方法,以及通過銳角三角函數(shù)及相似三角形的對應邊成比例,用一條線段的長表示出其他線段的長,然后把問題轉化為求二次函數(shù)的最值.當前不少中考試題都是“新瓶裝舊灑”,有一雙“火眼金睛”就能洞察問題本質,快速求解.
四、探塞活動與思維經(jīng)驗的考查
例4【傾聽理解】
這足一次數(shù)學活動課上,兩個同學利用計算機軟件探索函數(shù)問題,下面是他們的交流片段:免知識堆砌、圖形繁雜,還要加強各個小題之間的關聯(lián)與和諧.所以先利用閱讀理解的形式呈現(xiàn)并探究了一些簡單性質,這些探究又為“拓廣探索”提供了求解方向,比如,第(2)問需要另求函數(shù)關系式,第(3)問暗示學生“MN與m的函數(shù)關系”.此外,以函數(shù)為載體,入乎其內(nèi)求深入,又要出乎其外思拓展,再如在前兩問中以線段的比值為探究形式,最后一問以等邊三角形、圖形面積為探求表象,也是想在函數(shù)平臺上溝通圖形之間的關聯(lián).
中考命題預測
1.將一正方形紙片,按如圖14步驟①、②,沿虛線對折兩次,然后沿③中的虛線剪去一個角,展開鋪平后的圖形是().
2.如圖15.已知在矩形ABCD中,點E在邊BC上.BE=2CE,將矩形沿著過點E的直線翻折后,點C、D分別落在邊BC下方的點C’、D'處,且點C'、D'、B在同一條直線上,折痕與邊AD交于點F,D'F與BE交于點G.設AB=t,那么△EFG的周長為
(用含t的代數(shù)式表示).
3.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究,
【初步思考】
我們將問題用符號語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對∠B進行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況:當∠B是直角時,△ABC≌△DEF
(1)如圖16①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90。,根據(jù)____ ,可以知道Rt△ABCU≌Rt△DEF
第二種情況:當∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF
(2)如圖16②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角.求證:△,ABC≌△DEF
第二步,如圖17②,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平,
第三步,折出內(nèi)側矩形的對角線AB,并把它折到圖17③中所示的AD處.
第四步,展平紙片,按照所得的D點折出 DE,如圖17④.……
【問題解決】
(1)圖17③中AB=____cm.
(2)你發(fā)現(xiàn)圖17④中有幾個黃金矩形?請都寫出來,并選擇其中一個說明理由.
(3)在圖17③中,連接BD,以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形,求該直角三角形斜邊的長.