李雪梅 范志安

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中具體闡述問題解決時(shí)提出“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”，而“變教為學(xué)”的主旨也在于讓學(xué)生自己“發(fā)現(xiàn)”和“發(fā)明”。本著這樣的理念，我們在執(zhí)教人教版“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”問題時(shí)，產(chǎn)生了新的想法。

一、放手——培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的意識

【例題】籠子里有雞、兔共8只，腿有26條，雞、兔各幾只？

在基本理解題意的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生自己想辦法解答，在交流匯報(bào)中梳理、歸納、提煉。設(shè)計(jì)意圖：尊重學(xué)生，給學(xué)生充分的思考和交流時(shí)間，從學(xué)生最樸實(shí)的“猜測”的方法基礎(chǔ)上，引出列表法，在此過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變和不變的規(guī)律；同時(shí)，滲透優(yōu)化的思想，讓學(xué)生認(rèn)識到列表方法的局限，引出“極端假設(shè)”的方法。

1.猜測（列表）法

生：我是猜的。我猜有5只雞、3只兔，這樣算出來腿只有22條。

師：那不符合原題的信息，怎么辦呢？

生：我發(fā)現(xiàn)腿數(shù)少了，因?yàn)橥檬?條腿，雞只有2條腿，應(yīng)該是兔的只數(shù)猜少了。

師：哦，看來你的猜測和推理是有根有據(jù)的，接著你又怎么辦？

生：我就減少1只雞，增加1只兔，變成4只雞4只兔，這樣算出來腿就是24條了。但是腿數(shù)還是少了2條，我又減少1只雞，增加1只兔：變成3只雞5只兔，這樣算出來腿就是26條了。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，完成表格的填寫，并引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)觀察、分析表格：有什么變化？什么沒變？

（1）雞和兔的只數(shù)有變化，腿數(shù)有變化。為什么會有這樣的變化？（引出：每把1只雞換成1只兔，都會增加2條腿；反之，每把1只兔換成1只雞，就會減少2條腿）

（2）雞和兔的總只數(shù)沒有變化，合起來都是8只。

師：這個(gè)猜測列表然后一步一步調(diào)整的方法真是好，居然解決了一道千年趣題。那以后我們就用這種方法來解決類似的問題，如何？（引出：不斷調(diào)整很麻煩，從而引出畫圖法）

2.畫圖法

師：說說你畫的是什么意思。

生：我先畫了8只雞，共有16條腿，發(fā)現(xiàn)少了10條腿。因?yàn)?只雞比1只兔少2條腿，我就2條2條地加腿，把雞1只1只變成兔。要增加10條腿，就要把5只雞換成兔。

生：我和她畫的相反，我先畫了8只兔，共有32條腿，發(fā)現(xiàn)多了6條腿。因?yàn)?只兔比1只雞多2條腿，我就2條2條地減腿，要減少6條腿，把3只兔換成雞就可以了。

師：這樣畫圖似乎比猜測調(diào)整來調(diào)整去的方法要快捷些。那以后我們就用這種方法來解決類似的問題，又如何？（引出：畫圖也比較麻煩，從而引出用算式解決問題的方法，同時(shí)進(jìn)一步完善表格，提煉為：假設(shè)的思想）

3.算式法

（1）假設(shè)全是雞。

8×2=16條（一共應(yīng)該有多少條腿）

26-16=10條（比實(shí)際少了的腿，因?yàn)槠渲械耐靡脖患僭O(shè)成了雞，所以腿就會少一些）

4-2=2條（1只兔被假設(shè)成1只雞會少幾條腿）

10÷2=5只（兔）

8-5=3只（雞）

（2）假設(shè)全是兔（解題過程略）。

師小結(jié)（如下圖）：無論猜測列表法、畫圖法、算式法，其實(shí)都是用假設(shè)的思想來解決問題。

二、推進(jìn)——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新解決問題的方法

至此，學(xué)生的思維基本上就局限在假設(shè)的層面，很多教師也就此打住，用學(xué)生想到的上述方法練習(xí)深化。但如果教師再往前推進(jìn)一步，創(chuàng)設(shè)一定的情境，能有效地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，讓學(xué)生在創(chuàng)新的過程中體驗(yàn)解題的快樂，在解題的過程中發(fā)展創(chuàng)新意識。更可貴的是，就此而打破了傳統(tǒng)的“雞兔同籠”用假設(shè)法、方程法解答的瓶頸，極大地拓寬了學(xué)生的思維。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)創(chuàng)新思考

草地上有一群雞兔在玩耍，突然，雞對兔說：“我們的本領(lǐng)可大了，可以做金雞獨(dú)立?！闭f著每只雞就抬起1只腳，只用1只腳站著。兔子們見了，也不甘示弱：“這有什么了不起，看看我們兔子作揖。”說完，每只兔就把2只前腳提起來，只留下2只后腳站著。這個(gè)故事實(shí)際上就是“雞兔同籠問題”中的“抬腳法”。

教師可以激勵學(xué)生：由此，你們還能想出解決這個(gè)問題的其他方法嗎？

（二）理解“多一原理”，巧妙解決問題

關(guān)于雞兔同籠的問題，在解答的過程中，一般都用假設(shè)法解答（含列表法、畫圖法），或列方程解答，實(shí)際上如果理解了抬腳法，用抬腳法來解答更為簡單。解法如下：

26÷2=13條（都抬起一半的腿后，還剩下多少條）

13-8=5只（兔）

8-5=3只（雞）

實(shí)際上，如果雞和兔都抬起了一半的腿，腿的總數(shù)就變成了原來的一半。這時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)結(jié)果：對于雞來講，1只雞還余1條腿，即雞腿的條數(shù)和雞頭的只數(shù)就一一對應(yīng)了；但1只兔還余下了2條腿，兔余下的腿數(shù)比兔的只數(shù) “多1”。因?yàn)殡u腿的條數(shù)和雞的只數(shù)是一一對應(yīng)的，有兔才會出現(xiàn)多腿的情況，有1只兔就會多1條腿，有幾只兔就會多幾條腿。反之，如果多了幾條腿，就有幾只兔。這個(gè)原理我們可以稱之為“多一原理”。所謂“多一”，指兩種事物相比較，一種事物某個(gè)方面的數(shù)量和這種事物的個(gè)數(shù)相等，另一種事物這個(gè)方面的數(shù)量剛好比它的個(gè)數(shù)多一。在這種特殊情況下，用這兩種事物這個(gè)方面的總數(shù)量減去兩種事物的總個(gè)數(shù)，結(jié)果就剛好是“多一”的那種事物的個(gè)數(shù)。

三、變通——提升學(xué)生靈活解決問題的能力

在實(shí)際生活中，符合這種條件的事物實(shí)際上比較少，但是，如果我們想辦法變通，使它們產(chǎn)生“多一”特性，就能比較簡單地解答一些實(shí)際問題。

【例題】30名同學(xué)共植樹80棵，男同學(xué)每人植3棵，女同學(xué)每人植2棵，男、女同學(xué)各幾人？

初一看，這道題沒有“多一”特性。細(xì)分析：如果用總棵數(shù)除以2，女同學(xué)的人數(shù)和棵數(shù)就一一對應(yīng)了，男同學(xué)每人對應(yīng)的就不是2棵，而是1.5棵，多出了半棵，即每0.5棵對應(yīng)就有一個(gè)男同學(xué)了。解答方法如下：

80÷2=40棵

40-30=10棵

10÷0.5=20個(gè)（男同學(xué)）

30-20=10個(gè)（女同學(xué)）

實(shí)際上還可以再變通一下，第一步不除以2，而把每個(gè)同學(xué)植樹的棵數(shù)都減去1，解答會更簡單。把每個(gè)同學(xué)植樹的棵數(shù)減少1后，女同學(xué)每個(gè)人就只植樹1棵，出現(xiàn)了棵數(shù)和人數(shù)一一對應(yīng)；男同學(xué)每個(gè)人則植樹2棵，植樹棵數(shù)剛好比人數(shù)多1，多了幾棵，就有幾個(gè)男同學(xué)。解答方法如下：

80-30=50棵

50-30=20個(gè)（男同學(xué)）

30-20=10個(gè)（女同學(xué)）

【例題】小明用同樣長的80根小棒擺正方形和正五邊形共18個(gè)。正方形和正五邊形各擺了幾個(gè)？

在這道題中，由于正方形用的是4根小棒，正五邊形用的是5根小棒，因此，不管除以2，還是減去1，都不可能得到“多一”的特性。但如果進(jìn)一步思考就會發(fā)現(xiàn)，有以下兩種變通方法。

變通一：用總根數(shù)除以4，正方形的個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)就一一對應(yīng)了，每個(gè)正五邊形對應(yīng)的小棒就不是2根，而是5÷4=1.25（根），多出了0.25根，即每0.25根對應(yīng)就有一個(gè)正五邊形了。解答方法如下：

80÷4=20根

20-18=2根

5÷4-1=0.25根

2÷0.25=8個(gè)（正五邊形）

18-8=10個(gè)（正方形）

變通二：把正方形和正五邊形都減去三條邊，就得到正五邊形“多一”這個(gè)特性。這時(shí)正方形個(gè)數(shù)和邊數(shù)一一對應(yīng)，正五邊形剩下的邊數(shù)剛好比正五邊形的個(gè)數(shù)多1。解答方法如下：

3×18=54根（一共要減去的根數(shù)）

80-54=26根（還剩下的根數(shù)）

26-18=8個(gè)（正五邊形）

18-8=10個(gè)（正方形）

由此可見，“多一原理”實(shí)際上運(yùn)用的范圍還是比較廣的。不管怎樣，解決問題才是硬道理。只要在解決實(shí)際問題時(shí)，結(jié)合實(shí)際靈活去思考問題，不害怕困難，敢于去挑戰(zhàn)困難，許多題的解法可以說是“殊途同歸”的。

總之，創(chuàng)新無處不在，解題奧妙無窮！在“變教為學(xué)”的課堂上，教師永遠(yuǎn)不要低估學(xué)生的力量！

（四川省樂山市教育科學(xué)研究所 614000

四川省樂山市夾江縣土門小學(xué) 614000）