例說拋物線的對(duì)稱性 助解中考?jí)狠S題

崔恒劉

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像拋物線是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，當(dāng)我們面對(duì)拋物線的問題時(shí)如果能用好用足拋物線的對(duì)稱性，則能化繁為簡，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考?jí)狠S題為例，層層遞進(jìn)，分析研究借助拋物線的對(duì)稱性解題的好處.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）時(shí)，要使y1隨著x的增大而減小，則x>2；當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-8）時(shí)，要使y1隨著x的增大而減小，則x<-2.

【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增加，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小. 本題欲求“當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，自變量x的取值范圍”，這就告訴我們本題與拋物線的對(duì)稱性有關(guān)，我們必須探索拋物線的開口方向和對(duì)稱軸.

例2 （2013·江蘇泰州）已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax（a>0），點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上，其中n為正整數(shù).

（1） 若y1=y2，請(qǐng)說明a必為奇數(shù)；

（2） 設(shè)a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3） 對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1） 因?yàn)辄c(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函數(shù)y=-x2+ax的圖像上，所以y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1），

若y1=y2，則-n2+an=-（n+1）2+a（n+1），

整理得a=2n+1，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以a必為奇數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題雖然沒有像例1那樣，用文字語言明確說明二次函數(shù)的增減性，但它用符號(hào)語言表明了這種增減性. 你可以用不等式的知識(shí)解決這個(gè)問題，但利用拋物線的軸對(duì)稱解決更有它的優(yōu)越性，而且要注意，對(duì)于自變量取連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)，過了對(duì)稱軸，還能保持一點(diǎn)點(diǎn)的連續(xù)不變的增減性. 第（3）問更是妙不可言，就由你自己來意會(huì)吧.

例3 （2013·北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2-2mx-2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

（1） 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2） 設(shè)直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求直線l的解析式；

（3） 若該拋物線在-2

【分析】（1） 當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，所以拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，-2），y=mx2-2mx-2=m（x-1）2-（m+2），所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，0）.

（2） 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線x=1，所以點(diǎn)A（0，-2）、B（1，0）關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（2，-2）、B′（1，0），因?yàn)橹本€l與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以直線l經(jīng)過A′（2，-2）、B′（1，0）.由此可求直線l的解析式為y=-2x+2.

（3） 這是本題的難點(diǎn)所在，解題的關(guān)鍵是觀察圖像，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，將“拋物線在2

因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸為x=1，如圖5，拋物線在2

當(dāng)x=-1時(shí)，代入直線l得y=-2x+2=4，所以拋物線過點(diǎn)（-1，4），當(dāng)x=-1時(shí)，m·（-1）2-2m·（-1）-2=4，解之：m=2. 所以拋物線解析為y=2x2-4x-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題第（3）問主要難點(diǎn)在于對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)和了解，要能夠觀察到由于直線l與直線AB關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物線在2

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）