從“長方體體積”看“變教為學(xué)”中的學(xué)習(xí)活動(dòng)

于桓　郜舒竹

在“變教為學(xué)”的備課中，教師應(yīng)抓準(zhǔn)一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并圍繞“學(xué)什么”“怎么學(xué)”兩個(gè)問題展開備課。在備課中尋找知識(shí)的源頭、分析知識(shí)的屬性，并設(shè)計(jì)出一系列與之對應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

一、對長方體體積的分析

以人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（五年級下冊）》（以下簡稱“教科書”）為例，長方體體積學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸立體幾何圖形和體積概念，這是學(xué)生立體幾何學(xué)習(xí)的起始。（見表1）人們常說：“好的開始是成功的一半。”因此，長方體體積的學(xué)習(xí)對學(xué)生今后的發(fā)展具有重要的教育教學(xué)意義。起始時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)立體圖形的好壞程度，決定其今后對立體圖形學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)機(jī)。小學(xué)長方體體積認(rèn)知程度也將影響著學(xué)生初中乃至高中空間幾何體的學(xué)習(xí)。所以，長方體體積學(xué)習(xí)要求教師在備課中從歷史視角、文化視角深入挖掘，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的“本質(zhì)性”“關(guān)聯(lián)性”“文化性”，讓學(xué)生知其然并知其所以然。

從歷史的視角看，長方體體積公式早在我國著名的《九章算術(shù)》第五章“商功章”中有所記載：“方自乘之，以高乘之，即積尺?！盵2]意思是用邊長和邊長相乘再乘以高，就是體積的大小了。由此可見，體積公式很早就被古人發(fā)現(xiàn)并使用它計(jì)算了。除此之外，《九章算術(shù)》中還給出了其他幾何體體積的計(jì)算公式。比如：球體積。另外，數(shù)學(xué)課程不僅僅是程序化、模式化反復(fù)練習(xí)直至熟練的計(jì)算和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，?shù)學(xué)課程還有它的文化性，這里的文化性是與工具性相對的。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念背后的故事，概念背后是否與人類思維方式、人的情感有聯(lián)系。比如：體積是什么意思？體積中的“積”是否和乘積中的“積”一樣？“體積”在古代怎么說？《九章算術(shù)》第五章講述幾何體的體積，為什么叫商功二字？體積的下位概念，長、寬、高是什么意思？為什么叫長、寬，而不是長、短？這些小問題，都值得教師在備課中思考。

從文化的視角看，乘積中“積”本意是“垛”，[3]而“垛”在《現(xiàn)代漢語詞典》中解釋為整齊地堆，我們常說的垛子的意思就是整齊地堆成堆?！墩f文解字》中對“積”的解釋為：“積，聚也?！蹦敲?，積有整齊地由少到多變化的意思。因此長方體體積可以被看作是由一個(gè)個(gè)長方形從下至上整齊地堆積而成的，所以命名為體積?！绑w積”一詞在商功章羨除術(shù)劉徽注：“雖背正異形，與常所謂鱉臑參不相似，實(shí)則同也?！薄肮史藉F與陽馬同實(shí)?！?[4]由此可以看出，體積在古代的叫法是“實(shí)”?！皩?shí)”作為古算用語有多義。實(shí)，與“虛”相對之義，它表示內(nèi)部完全填滿而沒有空隙的實(shí)體。由此，我們可以推斷出“實(shí)”表示的是空間區(qū)域，僅用于三維空間。如果教師在讓學(xué)生理解概念時(shí)，理解它背后的文化，相信對學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)有很大益處。

聽課觀察中發(fā)現(xiàn)，教師問：“同學(xué)們，長方形較長的一邊叫作長，較短的一邊叫什么呢？”學(xué)生齊聲回答：“短?！遍L方形中，長、寬這兩個(gè)概念，表面上看沒有什么聯(lián)系，實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化?！伴L”在《九章算術(shù)》中被解釋為“廣”，也就是人們視野范圍的廣度，就是長。而現(xiàn)在所說的“寬”在《九章算術(shù)》中被解釋為“從”，“從”字在古代又同橫縱的“縱”，縱的意思指的是豎、直，南北的方向，與“橫”相反。由此可見“寬”字的來龍去脈了。如果教師能讓學(xué)生知道“寬”字背后的文化，相信學(xué)生就不會(huì)認(rèn)為長方形較短的一邊叫作“短”了，否則的話，很難說服學(xué)生。比如：《九章算術(shù)》中第五章講述幾何體的體積，書中以“商功”命名此章。如果光看字面意思，很難理解與體積有什么聯(lián)系。李籍在《九章算術(shù)音義》中寫道：“商，度也。以度其功庸，故曰商功?！惫?，通“工”，指工程量或人工數(shù)。大致意思是說，商是度量的意思，度量工程量的多少即關(guān)于各種工程中的體積計(jì)算。這樣就溝通解釋了“商功”與“體積”之間的聯(lián)系。應(yīng)該相信，雖然概念的命名是人規(guī)定的，但是它不是盲目的，一定是和當(dāng)時(shí)人的思維方式、人的情感、社會(huì)生活、大自然有所聯(lián)系而命名的。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)找到這樣的聯(lián)系并能夠解釋，溝通字面解釋與背后文化的聯(lián)系。

二、對其他教材的分析

除了從歷史、文化的視角分析長方體體積，教師還要關(guān)注教科書和課程標(biāo)準(zhǔn)。在我國的教科書中對體積的定義為物體所占空間的大小。美國加州的教材中對于長方體體積的學(xué)習(xí)，先有對長方體的認(rèn)識(shí)，然后指出長方體的上部、前部、側(cè)面。再利用三視圖，從不同角度看長方體，然后給出定義。美國加州五年級教科書中定義為體積是三維空間中所占空間的量，長方體體積被正方體單位（cubic units）測量，長方體體積的學(xué)習(xí)與維數(shù)建立聯(lián)系。[5]我國現(xiàn)行的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)（2011年版）”）中提出，通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長方體、正方體、圓柱、圓錐。結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積和表面積的計(jì)算方法。[6]美國加州共同核心標(biāo)準(zhǔn)中指出，學(xué)生理解體積要放在三維空間中，理解體積被一個(gè)接一個(gè)的相同大小正方體的單位（standard units）填滿，既沒有空隙也沒有重疊，在這樣的情況下，小正方體單位的數(shù)量就是體積的大小。學(xué)生要理解長方體的體積被一個(gè)個(gè)小正方體測量，這也就是當(dāng)長方體被填滿后的小正方體的個(gè)數(shù)就是長方體的體積。在探索的過程中，分解三維圖形，把長方體看成由一層一層的小正方體組成的圖形。[7]

《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM）（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）中指出：“幫助并加強(qiáng)學(xué)生在測量二維和三維圖形時(shí)發(fā)展幾何直觀?！盵8]由此可見，在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)在觀察、操作的基礎(chǔ)上以實(shí)驗(yàn)幾何為主線探索長方體體積公式，建立學(xué)生的三維空間觀念，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

長方體體積的學(xué)習(xí)實(shí)際上是建立學(xué)生三維空間觀念和發(fā)展幾何直觀的起始，在今后初中學(xué)段，學(xué)生還會(huì)接觸到更多的幾何體，比如：球、六棱柱、四棱錐等。還會(huì)從不同角度觀察其他不規(guī)則幾何體，繪制三視圖。初中主要是對柱、錐、球進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)。高中學(xué)段，要對柱、錐、臺(tái)、球、簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征有所把握，學(xué)習(xí)中心投影和平行投影，并在平行投影下從不同角度觀察空間幾何體，利用斜二測法繪制空間幾何體的直觀圖，計(jì)算空間幾何體的表面積和體積及簡單幾何體的體積。由此看出，體積的學(xué)習(xí)是層層遞進(jìn)、一脈相承的，從簡單的長方體體積的計(jì)算，再到柱體、錐體、臺(tái)體、球體及組合體的計(jì)算，學(xué)生的空間幾何觀念，也隨著年齡的增加不斷增強(qiáng)。

三、教學(xué)中的活動(dòng)設(shè)計(jì)

根據(jù)瑞士心理學(xué)家讓·皮亞杰提出的“學(xué)生有邏輯的理解概念要在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)計(jì)算之前”[9]的觀點(diǎn)，也就是說學(xué)生概念理解比計(jì)算重要得多，所以本節(jié)課的總目標(biāo)制定為明晰體積概念，探索體積公式。體積屬于規(guī)律性知識(shí)，也就是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，對學(xué)習(xí)者來說是確定的，這部分知識(shí)具有“不可變”的特點(diǎn)。所以認(rèn)識(shí)這部分知識(shí)的基本方法是發(fā)現(xiàn)（discover），而發(fā)現(xiàn)知識(shí)的重點(diǎn)要放在“觀察”上。學(xué)生的思維方式應(yīng)該是觀察對象形成動(dòng)機(jī)、產(chǎn)生想法、交流、假設(shè)、實(shí)驗(yàn)與解釋、判斷、關(guān)聯(lián)與應(yīng)用的過程。根據(jù)這樣的基本原則，那么學(xué)生就要經(jīng)歷以下學(xué)習(xí)活動(dòng)。

第一是建立觀察對象、激發(fā)學(xué)生的動(dòng)機(jī)。動(dòng)機(jī)與興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是非常關(guān)鍵的一步。因此，在教學(xué)一開始，教師可以給學(xué)生講一個(gè)故事。

一個(gè)非常有名的樂隊(duì)叫作幾何家族，他們計(jì)劃在學(xué)校開一場音樂會(huì)，現(xiàn)在需要用卡車運(yùn)送搭建音樂會(huì)舞臺(tái)的器材，需要將一個(gè)個(gè)正方體的箱子裝進(jìn)長方體的卡車中。（如圖1）

這個(gè)過程處于課程剛剛開始階段，學(xué)生要做的是觀察，觀察教師演示的過程。教師可以用一個(gè)大長方體魚缸模擬卡車，然后依次放入一個(gè)個(gè)小正方體，讓大長方體被一個(gè)個(gè)小正方體填滿，復(fù)現(xiàn)故事場景。這個(gè)過程從知識(shí)習(xí)得的角度和歷史的角度來說，是為了讓學(xué)生體會(huì)到體積在古代被稱為“實(shí)”，表示內(nèi)部完全填滿而沒有空隙的實(shí)體。讓學(xué)生利用小正方體模具是根據(jù)著名瑞士心理學(xué)家讓·皮亞杰提出的認(rèn)知發(fā)展理論（Theory of Cognitive Development）。他將兒童的認(rèn)知發(fā)展過程分為了四個(gè)階段，分別是感知運(yùn)算階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。[10]五年級的學(xué)生認(rèn)識(shí)體積概念處在具體運(yùn)算階段（Concrete Operational Stage），學(xué)生的思維階段是從具體的、形象的表象思維逐漸過渡到抽象思維。這一時(shí)期的順利過渡，會(huì)對兒童學(xué)習(xí)“體積”、對抽象概念的理解起到重要作用。在這一時(shí)期，兒童在心理發(fā)展和思維特征上具有邏輯性，但是在具體活動(dòng)中仍然離不開具體事物的支持。這一原則將成為兒童思維水平的判斷依據(jù)，也是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的重要理論依據(jù)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師要以具體事物作為兒童理解體積并推導(dǎo)體積公式的依托。

第二是產(chǎn)生想法。任務(wù)一是通過剛才教師的演示，你觀察到了什么？你是如何看待長方體的形成的？長方體體積如何計(jì)算？四個(gè)人一小組，可采取畫圖、用文字寫下來等多種形式和同伴相互討論。經(jīng)思維碰撞后對于體積公式的答案是唯一的，但是表達(dá)形式可能是多元的，所以，教師應(yīng)允許多元的表達(dá)，多樣的形式。在用不同的活動(dòng)形式進(jìn)行充分討論之后，學(xué)生要以小組為單位給全班匯報(bào)展示，并說說本組每一位同學(xué)的想法。這種活動(dòng)形式具有較強(qiáng)的靈活性。

第三是實(shí)驗(yàn)解釋。任務(wù)二是利用小正方體模具解釋如何理解長方體體積的形成，利用小正方體模具解釋體積公式是如何得到的。學(xué)生可能會(huì)演示并解釋小正方體填滿長方體的過程。（如圖2）先從一個(gè)小正方體拼成一行，從一行再到一個(gè)面。三個(gè)同樣的平面疊加，填滿整個(gè)長方體，最終得到一個(gè)完整的長方體，小正方體的個(gè)數(shù)也就是長方體體積。

之所以讓學(xué)生解釋長方體體積的形成過程，是根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)教師范希爾夫婦提出的幾何思維水平理論。其中包括學(xué)生幾何思維發(fā)展的五個(gè)水平和與之對應(yīng)的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的五個(gè)階段。[11]學(xué)生幾何思維發(fā)展的五個(gè)水平分別是視覺化（visualization）、分析（analysis）、非形式化演繹（inference）、形式化演繹（deduction）、嚴(yán)密性（rigor）；與之對應(yīng)的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的五個(gè)階段分別是熟悉（familiarization）、指導(dǎo)定向（guided orientation）、語言表達(dá)（verbalization）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。五年級學(xué)生處在幾何思維的分析期，并由分析期逐漸轉(zhuǎn)化為非形式化演繹期。所以，在長方體體積的概念學(xué)習(xí)上，要讓學(xué)生經(jīng)歷體積概念的分析和理解過程，并對體積形成過程進(jìn)行簡單的非形式化演繹，這是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)不是簡單的“聽懂、記憶、背誦”過程，深入理解、消化概念，明晰概念背后的本質(zhì)，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)幾何知識(shí)具有重要意義。在公式的探索方面，讓學(xué)生經(jīng)歷非形式化演繹的過程，明確長方體體積公式的產(chǎn)生。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，活動(dòng)形式為先小組討論再全班匯報(bào)。在匯報(bào)的過程中，教師要給學(xué)生立規(guī)矩。比如：“匯報(bào)的同學(xué)要面向大家，說話要保證班里的每一位同學(xué)都能聽清楚?！薄爱?dāng)你想指出別人不足的時(shí)候，請先說出他的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)?！苯處熞龑?dǎo)學(xué)生，先說他人優(yōu)點(diǎn)再指出他人的不足之處。另外，小組匯報(bào)是提高學(xué)生當(dāng)眾講話能力的好機(jī)會(huì)，這種活動(dòng)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的自信心和演講能力。

第四是判斷假設(shè)。根據(jù)上一個(gè)任務(wù)全班同學(xué)完成的情況，判斷大家說的長方體體積的對錯(cuò)，是否同意匯報(bào)同學(xué)的觀點(diǎn)，是否有其他的異議。

第五是關(guān)聯(lián)應(yīng)用。結(jié)合相應(yīng)的練習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立思考并計(jì)算長方體體積。

比如：一個(gè)汽車上的油箱，長8分米，寬3.5分米，高5分米，這個(gè)油箱可以裝多少升汽油？（如圖3）

第六是拓展。任務(wù)三是有人說：“周長與面積之間有某種關(guān)系，表面積和體積也有某種聯(lián)系，你同意嗎？”“解釋正方體體積的形成過程，寫出正方體體積公式?！边@個(gè)任務(wù)布置的目的是讓學(xué)生試圖探索長方體體積和長方形面積之間的關(guān)系。從已有周長和面積入手，周長反映物體外部而面積反映物體內(nèi)部，而表面積和體積恰巧也有“外”與“里”的關(guān)系。這樣就把周長與面積、表面積與體積聯(lián)系在一起了，在英文文獻(xiàn)中也有記載表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中要理解四個(gè)概念之間的聯(lián)系。[12]

以上教學(xué)活動(dòng)僅供教師參考，教師可根據(jù)本班學(xué)生情況而定。依據(jù)以上分析，本節(jié)課關(guān)于學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)可以用表格（表格略）的形式呈現(xiàn)。

總之，要想在變教為學(xué)的課堂中“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，就要挖掘知識(shí)背后的故事，要想“讓每一個(gè)學(xué)生受到關(guān)注，讓每一個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)，讓每一個(gè)學(xué)生都有活動(dòng)”，就要設(shè)計(jì)出以“立德樹人”為終極目標(biāo)，并能突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效的活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）