景慧麗

(第二炮兵工程大學)

0 引言

極限是《高等數(shù)學》課程中最重要的概念之一.極限思想貫穿整個教材，它是微積分的靈魂.《高等數(shù)學》課程中的很多概念都是由極限來定義的，例如，導數(shù)、定積分、反常積分、偏導數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分等.因此，理解極限思想的內涵和掌握求極限的方法是學習這門課程的基本要求.但是，筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)大部分學員往往對求極限這一問題感到束手無策、無從下手，這一方面是因為求極限的題目類型比較多，求解方法也是因題而異，變化多端.另一方面是因為幾乎所有的《高等數(shù)學》課程教材沒有把求極限的方法進行歸納總結，如果教員講課照本宣科，那么，學員就更是一頭霧水了.為了幫助學員掌握求極限的方法并能熟練地求極限，筆者對《高等數(shù)學》課程中常用的求極限的方法進行了分析研究，給出了每種方法的注意事項及使用技巧，并把一些方法推廣到了二重極限，以彌補教材的不足.

1 利用極限的四則運算法則

上述法則是以自變量x→x0的形式給出的，其實只要條件和結論是自變量的同一變化過程，那么法則均是成立的.另外，對于數(shù)列極限有類似的結論，這里不再贅述.

利用極限的四則運算法則求極限是最基本也是最常用的方法，很多求極限題目的最后一步都是用極限的四則運算法則來求的.

注1 極限的四則運算法則成立的前提條件有兩個，其一是:函數(shù)(或數(shù)列)是有限項;其二是每一項的極限均存在.只要上述兩個條件中的一個不成立，就不能用四則運算法則，這里的極限不存在也包含極限為∞、+∞及－∞這三種類型.

因此，在利用極限的四則運算法則求極限時，一定要滿足其使用的前提條件，千萬不能不管條件，“隨心所欲”，否則就容易出錯．

另外，極限的四則運算法則只能按照“從左到右”的順序來用，千萬不能按照“從右到左”的順序來用．有的學員經(jīng)常亂用，例如，設存在不存在．很多學員是這樣證的:假設g(x)］存在，則+g(x)］－即存在，與已知矛盾，所以g(x)］不存在．

注3 當分母的極限為零時，商的運算法則就不能用了，此時可以有三種方法來處理:方法1是消去零因子;方法2是利用無窮小與無窮大的關系［1］;方法3 是利用洛必達法則［1］．當然，上述三種處理方法各有各的適用范圍．方法1和方法3適合分子分母的極限都為零的情形，方法2適合分子的極限為非零常數(shù)的情形．例如，對于極限，既可以用消去零因子的方法計算，也可以用洛必達法則來計算，具體解題過程這里不再贅述．而對于極限，只能用無窮小與無窮大的關系計算，即:因為，所以原式=∞，故該極限不存在．

上述定理中是以自變量x→x0的形式給出的，其實只要條件和結論是自變量的同一變化過程，那么定理均是成立的，這里不再贅述．另外，上述定理可以直接應用，其主要應用就是確定極限式子中的常數(shù)和已知極限求另外的極限．例如，已知如果直接利用定理，則因為，所以必有，因此

注5 一元函數(shù)極限的四則運算法則可以完全推廣到二元函數(shù)的二重極限，其成立的前提和使用原則完全與一元函數(shù)相同．

2 利用兩個重要極限

定要理解該重要極限的實質，靈活應用．

注8 兩個重要極限可以完全推廣到二元函數(shù)，即若x0·y0=0，且當(x，y)→(x0，y0)時，有f(x，y)→0成立，則有等．

3 利用夾逼準則

夾逼準則是:如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件:

(1)從某項起，即?n0∈N，當n＞n0時，有yn≤xn≤zn．

函數(shù)極限有類似的結論，這里不再贅述．注意夾逼準則成立的兩個條件，很多學員在應用夾逼準則時經(jīng)常把條件(1)寫成，這是不正確的．

注9 利用夾逼準則求極限的關鍵是構造出極限易求并且極限值相等的數(shù)列{yn}和{zn}．構造數(shù)列{yn}、{zn}的一般方法是從數(shù)列{xn}出發(fā)，適當放縮即可．一般地，當數(shù)列{xn}是n項相加時，把所有項的分母都放縮為分母中的最大項和最小項即可得數(shù)列{yn}和{zn}．例如，對于極限，可以構造數(shù)列

注10 如果數(shù)列是n項和式求極限，則一般有三種方法求解:方法1是利用數(shù)列求和的方法對這n項和進行化簡．當然這里求和的方法有很多，常用的主要是初等數(shù)學所講的等差、等比數(shù)列求和公式、拆項相消等．一般地，當這n項和式容易求和時就用該方法．方法2是利用夾逼準則．當這n項和式不易求和或根本無法求和，并且數(shù)列{yn}和{zn}容易構造時，就用夾逼準則．方法3是利用定積分的定義．當能從數(shù)列的n項和式中提出一個因子，而余下部分的每一項可以寫成某個函數(shù)在一區(qū)間n等分點上的函數(shù)值時，就可以用定積分的定義來求［4］．其實當數(shù)列不是n項和式，而通過某種運算可以化為和式，并且滿足上述條件時也是用定積分的定義來求極限的．另外，利用定積分的定義求數(shù)列極限的一般步驟是:首先，從各項中提出因子.這一步是相當于將［0，1］區(qū)間n等分，并且每個小區(qū)間的長度Δx=.然后，觀察提出1后的剩余部n分，把和式寫成的形式.這一步意味著在定積分的定義式中ξ取的是.其次，把函數(shù)fi中的換成x，即找到了函數(shù)f(x).最后，寫出定積分，并計算該定積分即可.上述步驟只是用定積分的定義求數(shù)列極限的常用步驟，其實積分區(qū)間不一定非要是［0，1］，區(qū)間也不需要等分，ξi也不必非要取區(qū)間端點.但是，利用上述步驟容易正確寫出定積分的形式.另外，有的題目需要夾逼準則和定積分的定義相結合才能計算出來，這里不再贅述.

注11 夾逼準則可以完全推廣到二元函數(shù)乃至n元函數(shù)，對二元函數(shù)的夾逼準則可以描述為:如果函數(shù)f(x，y)、g(x，y)及h(x，y)滿足下列條件:

A，那么存在，且等于A.

上述結論利用二重極限的定義即可以證明，這里不再贅述.對于二重極限最常用的求解方法就是夾逼準則，其使用方法、使用原則及構造函數(shù)的技巧和一元函數(shù)一樣.

4 利用單調有界準則

單調有界準則是:單調有界數(shù)列必有極限.

單調有界準則是針對數(shù)列而言的，函數(shù)極限不具有該準則.根據(jù)單調數(shù)列的性質，單調遞增有上界數(shù)列必存在極限，單調遞減有下界數(shù)列必存在極限.因此，對于單調遞增數(shù)列，只需證出其有上界即可，對于單調遞減數(shù)列，只需證出其有下界即可.

注12 使用單調有界準則證明極限存在時，既要證有界性又要證單調性.初學者經(jīng)常是只證明其中的一個條件成立，另外一個條件往往忽略不證，這是錯誤的.另外，到底是先證有界性還是先證單調性，沒有固定的模式，可以根據(jù)題目靈活處理.但是也有一定的技巧，依據(jù)確界原理及單調數(shù)列的性質，可以知道單調遞增(遞減)有上界(下界)的數(shù)列的上確界(下確界)必是其極限［5］.因此，在證明前不妨先求出其極限(當然極限存在的前提下)，然后隨機找出數(shù)列的幾項，看看這幾項是比該極限值大還是小，由此判斷該極限值到底是上確界還是下確界，從而既可以斷定出該數(shù)列的界還可以判斷出該數(shù)列是單調遞增還是單調遞減的，然后朝著目標嚴格證明即可.

一般地，當題目以文字敘述的形式給出時，例如“已知數(shù)列{xn}滿足某種條件，證明該數(shù)列的極限存在，并求之.”常常用單調有界準則來證明，并且這類題目求極限的方法很固定，就是在題目所給等式的兩邊同時取極限，然后解方程，再依據(jù)極限的唯一性和保號性確定出極限值.

分析:該題目顯然是用單調有界準則來證明的，但是到底是先證有界性還是先證單調性呢，下面不妨用所給的技巧進行分析.即設，解之得a=2或a=0，注意到該數(shù)列的特點可知a=2.又因為由此可知2是該數(shù)列的一個上界，因此該數(shù)列應該是單調遞增的.根據(jù)所獲得的上述信息，就可以嚴格按照解題步驟來證明了.需要注意的是，上述過程只是解此類題目的小技巧，解題過程是很不規(guī)范的，只能寫在草稿紙上，千萬不能作為正常的解題步驟，下面給出該題目嚴格的證明步驟.

證明 先證有界性:

再證單調性:

5 利用等價無窮小代換

等價無窮小代換定理是［1］:設 α～α'，β～β'，且存在，則lim

注意等價無窮小的實質及其滿足的條件，常用的等價無窮小有:當函數(shù)u(x)→0時，或當x→0時，有函數(shù)u(x)→0成立，則有1－cosu(x)

盡管利用等價無窮小代換求極限是一種非常有效的方法，但是使用該方法時必須滿足其使用條件.

注14 利用等價無窮小代換求極限時，最好是對整個因子作代換，不要對因子中相加減的項作代換，如果要對因子中相加減的項作代換，就必須滿足其前提條件.所以，建議大家使用等價無窮小代換求極限時只對整個因子作代換，如果出現(xiàn)和差項，先通過恒等變形，把其化成因子形式，然后再利用等價無窮小代換.例如對于極限可以按照下列方法處理:

利用上述結論，可以簡化冪指函數(shù)極限的運算.例如對于極限，就可以按照這樣計算:原式

注16 等價無窮小的概念可以推廣到二元函數(shù)，利用等價無窮小代換求極限可以推廣到二重極限．對二元函數(shù)常用的利用等價無窮小有:若 x0·y0=0，且當(x，y)→(x0，y0)時，有f(x，y)→0成立，則有f(x，y)～sinf(x，y)～tanf(x，y)～arcsinf(x，y)～ef(x，y)－1～ln［1+f(x，y)］，1－cosf(x，y)～［f(x，y)］2．例如，當(x，y)→(0，0)時，x2+y～sin(x2+y)～ex2+y－1等．

另外，利用等價無窮小代換求二重極限的方法、使用條件及使用技巧與一元函數(shù)極限完全相同.

6 利用洛必達法則

洛必達法則是:設函數(shù)f(x)及F(x)滿足如下條件:

(2)f(x)和F(x)在內都可導，且F'(x)≠0.

上述定理中的三個條件缺一不可.另外，定理中的x→a換為自變量的其他變化趨勢，只要條件(2)作相應的修改，定理仍然成立，這里不再贅述.

注18 對于數(shù)列極限，不能直接利用洛必達法則來計算，可以先把自然數(shù)n換成x，然后用洛必達法則求得函數(shù)的極限，最后依據(jù)歸結原則［5］，就可以得到原數(shù)列的極限.例如，對于數(shù)列極限，可以按照下列方法求解.

例 2［6］求

解 原式=

圖1 其他形式的未定式轉化為型的未定式的方法

7 結束語

當然，《高等數(shù)學》課程中求極限的方法還有很多，如可以利用導數(shù)的定義、泰勒公式、微分中值定理、無窮級數(shù)收斂的必要條件等，這里不再贅述.盡管求極限的方法有很多，每種方法也都有自己的適用范圍，但是很多求極限的題目不是用一種方法就能解決的，它需要多種方法的結合才能解決，例如對于極限

的求解，既需要用等價無窮小代換還需要用到洛必達法則、約去零因子及四則運算法則，具體的解題過程這里不再贅述;另外，很多求極限的題目也可以用很多方法來求解，比如對于極限的求解，既可以用等價無窮小代換，也可以用洛必達法則，當然也可以用兩個重要極限，但是本題目最妙的求解方法就是利用洛必達法則，具體的解題過程也不再贅述.因此，大家在學習的過程中，一定要善于思考和歸納總結，總結各種方法的優(yōu)缺點、使用條件及適用范圍，這樣遇到求極限的題目才能游刃有余、得心應手.另外，遇到一題有多種解法的題目，最好選擇最簡單、最方便的解法，因為數(shù)學蘊涵著和追求的是簡單美和方法美.

［1］同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學:上［M］.第六版.北京:高等教育出版社，2007.41–139.

［2］陳文燈，黃先開，等.高等數(shù)學復習指導——思路、方法與技巧［M］.北京:清華大學出版社，2009.37.

［3］張?zhí)斓?，蔣曉蕓.吉米多維奇Б П.高等數(shù)學習題精選精解［M］.第一版.濟南:山東科學技術出版社，2010.16.

［4］崔榮泉，褚維盤，等.高等數(shù)學重點內容重點題［M］.第一版.西安:西安交通大學出版社，2005.122.

［5］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析:上［M］.第三版.北京:高等教育出版社，2001.5–52.

［6］吳忠祥.工科數(shù)學分析基礎教學輔導書:上［M］.第一版.北京:高等教育出版社，2009:161.