楊亞聯(lián)，米 嬌，胡曉松，秦大同

(1.重慶大學(xué)，機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;2.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

前言

圖論是數(shù)學(xué)拓?fù)鋵W(xué)的一個重要分支，它在社會科學(xué)、自然科學(xué)等各領(lǐng)域均有很多應(yīng)用。文獻(xiàn)［1］中以數(shù)目合成理論為基礎(chǔ)進(jìn)行自運(yùn)動鏈合成行星齒輪系，所得結(jié)果雖不完整，但開啟了圖論理論應(yīng)用于行星齒輪構(gòu)造合成與分析的先河，有關(guān)行星齒輪系的研究方法甚多，其中以圖論方法最具有一般性與系統(tǒng)性。而行星齒輪系由于結(jié)構(gòu)緊湊，易于實現(xiàn)多動力耦合的優(yōu)點，在混合動力汽車動力傳動系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。

國內(nèi)學(xué)者應(yīng)用圖論對行星齒輪系進(jìn)行了大量研究，包括行星齒輪的構(gòu)造合成、運(yùn)動分析和傳動效率分析:其中，文獻(xiàn)［2］中將傳動方案結(jié)構(gòu)的可行性判別轉(zhuǎn)化為圖的平面性判別，從而排除構(gòu)件干涉的傳動簡圖，這種方法主要針對的是已知傳動比，如何確定行星齒輪變速器的傳動方案的問題;文獻(xiàn)［3］中建立了行星單元體和拓?fù)鋯卧芈返母拍?，在圖論模型的基礎(chǔ)上提出了計算輪系自由度和傳動比的方法，主要用于分析行星輪系的傳動性能和功率流特性;文獻(xiàn)［4］中建立了行星變速機(jī)構(gòu)的圖論模型并進(jìn)行結(jié)構(gòu)幾何矛盾判別，通過轉(zhuǎn)換得到構(gòu)件分析圖和轉(zhuǎn)速分析圖等，但對于混合動力汽車行星耦合傳動方案的設(shè)計，該理論還須進(jìn)一步完善。因此，隨著速度耦合傳動混合動力系統(tǒng)的應(yīng)用，如何應(yīng)用圖論理論對混合動力汽車中眾多具有行星耦合機(jī)構(gòu)的混合動力傳動系統(tǒng)的方案進(jìn)行建模和分析，成為一個值得繼續(xù)研究的課題。

本文中基于圖論理論，提出了具有行星耦合機(jī)構(gòu)的混合動力系統(tǒng)的整體傳動方案的圖論模型，根據(jù)其鄰接矩陣輸出鄰接碼作為有效刪除同構(gòu)方案的判定方法得到混合動力汽車傳動系統(tǒng)構(gòu)型的圖論模型，并基于圖論理論和圖論模型進(jìn)一步開展混合動力傳動系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析，建立了相應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩矩陣，為混合動力汽車傳動系統(tǒng)的方案設(shè)計和分析奠定了理論基礎(chǔ)。

1 混合動力汽車行星耦合系統(tǒng)的圖論建模

圖論的基本原理是研究能夠被抽象成為一組點和連接它們的表示特定關(guān)系的一組線所構(gòu)成的圖形。所建立的圖論模型應(yīng)具備構(gòu)件信息、邏輯信息、層次信息和同構(gòu)信息［3］?；旌蟿恿ο到y(tǒng)是指系統(tǒng)需要多種形式能量或多種動力源搭配工作的系統(tǒng)，在混合動力汽車傳動系統(tǒng)中混合動力對應(yīng)為發(fā)動機(jī)和電機(jī)。為了更好地描述由發(fā)動機(jī)、電機(jī)、動力耦合機(jī)構(gòu)、制動和輸出構(gòu)件構(gòu)成的復(fù)雜混合動力系統(tǒng)，將行星耦合混合動力系統(tǒng)模型的層次信息分為3層:首先，將行星齒輪機(jī)構(gòu)的行星輪放在第Ⅰ層，稱為行星層;然后，將與太陽輪共軸回轉(zhuǎn)的其他行星齒輪機(jī)構(gòu)的構(gòu)件(行星架和齒圈)放在第Ⅱ?qū)?，稱為太陽層;最后，將輸入、輸出與制動構(gòu)件放在第Ⅲ層，稱為輸入/輸出層，見圖1。

在建立行星耦合機(jī)構(gòu)的圖論模型中，為了更有效地表示基本行星耦合機(jī)構(gòu)的構(gòu)造關(guān)系，以文獻(xiàn)［5］中發(fā)展的復(fù)接頭運(yùn)動鏈圖論表示法為基礎(chǔ)，提出行星齒輪系各構(gòu)件與圖論模型的符號轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:

(1)行星耦合機(jī)構(gòu)各個構(gòu)件轉(zhuǎn)化為實心圓點;

(2)齒輪副連接轉(zhuǎn)化為虛線連接(若為齒輪內(nèi)嚙合用單箭頭虛線表示，若為齒輪外嚙合用雙箭頭虛線表示);

(3)同一回轉(zhuǎn)軸的兩個及以上的回轉(zhuǎn)副(即R、H、S共軸回轉(zhuǎn)副)轉(zhuǎn)化為通過點劃線連接;

(4)單一回轉(zhuǎn)副(即P與H的回轉(zhuǎn)副)轉(zhuǎn)化為通過雙實線連接。

基本行星耦合機(jī)構(gòu)簡圖轉(zhuǎn)化為其所對應(yīng)的圖論模型如圖2所示。在此圖論模型的基礎(chǔ)上加入輸入/輸出層，其符號轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:

(1)輸入/輸出和制動構(gòu)件轉(zhuǎn)化為空心圓點;

(2)行星排與輸入輸出構(gòu)件的連接關(guān)系轉(zhuǎn)化為實線連接;

(3)通過離合器連接的轉(zhuǎn)化為雙箭頭實線。

根據(jù)上述分層結(jié)構(gòu)和構(gòu)件與符號的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以豐田公司2004年的Prius混合動力汽車THS-Ⅰ傳動系統(tǒng)為例建模，其傳動系統(tǒng)構(gòu)型及對應(yīng)的圖論模型如圖3所示。

由于圖論模型中構(gòu)件和線段的符號類型較多，不利于直觀快速分析圖論模型，提出如下簡化方法:(1)將行星排的構(gòu)件和輸入/輸出層構(gòu)件的符號統(tǒng)一為實心圓點;(2)將雙實線和點劃線統(tǒng)一用實線表示。簡化后的圖論模型如圖4所示。

2 混合動力汽車行星耦合系統(tǒng)圖論方案同構(gòu)判定

在所有圖論表述的可能方案中，部分不同構(gòu)型描述的傳動結(jié)構(gòu)在運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)特性上可能實質(zhì)是一樣的，因此必須對混合動力系統(tǒng)進(jìn)行同構(gòu)判定。本文中應(yīng)用行星排鄰接矩陣和構(gòu)件鄰接矩陣的組合來描述混合動力系統(tǒng)的圖論模型，通過鄰接矩陣輸出編碼來判斷傳動系統(tǒng)的同構(gòu)方案。

2.1 鄰接矩陣表示法

鄰接矩陣是表示圖論中點和線的拓?fù)潢P(guān)系的有效工具，通過鄰接矩陣可以很方便地將圖論模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。首先，以圖論模型的行星層和太陽層為研究對象，建立行星耦合機(jī)構(gòu)鄰接矩陣A。(1)點i和點j以單一回轉(zhuǎn)副邊連接，則aij=1;(2)點i和點j以齒輪副邊相連接，內(nèi)嚙合則aij=E，外嚙合則aij=F;(3)點i和點j以p個點共用同一回轉(zhuǎn)副連接，則 aij=p;(4)點 i和點 j不連接，則aij=0。

然后以圖論模型的太陽層和輸入/輸出層為研究對象，建立混合動力系統(tǒng)的構(gòu)件鄰接矩陣B。(1)點m和點n以實線連接，則bmn=1;(2)點m和點n以雙箭頭實線連接即通過離合器連接，則bmn=2;(3)點m和點n不連接，則bmn=0。

以豐田公司Camry混合動力汽車傳動系統(tǒng)為例，如圖5所示。

根據(jù)上述圖論模型可得到行星耦合機(jī)構(gòu)的鄰接矩陣A和構(gòu)件鄰接矩陣B:

2.2 圖論模型的同構(gòu)判定

對具有行星耦合機(jī)構(gòu)的混合動力系統(tǒng)進(jìn)行同構(gòu)判定，首先應(yīng)確定圖論模型各個層次的構(gòu)件信息，本文中描述的混合動力系統(tǒng)的圖論模型的各層構(gòu)件總數(shù)Ni如表1所示。

表1 不同構(gòu)型圖論模型各層次的構(gòu)件信息

根據(jù)各層次的構(gòu)件數(shù)目就可分別確定行星耦合機(jī)構(gòu)和混合動力傳動系統(tǒng)的可能方案的數(shù)目，再對圖論模型進(jìn)行同構(gòu)判定，首先根據(jù)行星排鄰接矩陣A對行星耦合機(jī)構(gòu)進(jìn)行同構(gòu)判定，同構(gòu)是指兩圖論模型的點與點的鄰接關(guān)系和點與邊的附隨關(guān)系是完全相同的［6］。是否同構(gòu)可通過鄰接碼來判斷，由于鄰接矩陣A為上三角對稱矩陣，因此，取其矩陣上三角的所有數(shù)字依序排列的集合作為A的鄰接碼輸出，即由圖5的圖論模型得到鄰接矩陣A即式(1)，輸出的鄰接碼為［55510/555F0/55EE/50F/01/0］，然后按照下述步驟完成行星耦合機(jī)構(gòu)的同構(gòu)判定。

(1)列舉所有可能的位移圖形，即為除去行星齒輪圖論模型內(nèi)所有齒輪副對邊的不含任何回路的圖形;

(2)對每個位移圖形合成所有可能的含齒輪回轉(zhuǎn)對的齒輪圖形;

(3)刪除違反基本行星齒輪系的原則的圖形;

(4)由鄰接矩陣得到鄰接碼并進(jìn)行同構(gòu)判定;

(5)得到最終的行星齒輪系圖論方案并還原為行星齒輪機(jī)構(gòu)圖。

以與Camry相同的3自由度雙排行星耦合機(jī)構(gòu)為例，對表2所示位移圖形進(jìn)行同構(gòu)判定可知，2－2和2－3所示圖形與2－4的鄰接碼相同，因此為同構(gòu)可以刪除。對此圖論模型得到的不同構(gòu)最終模型為2－1和2－4，其中2－1即為Camry的行星耦合機(jī)構(gòu)。同理，可以對不同自由度下的不同圖論模型的位移圖形進(jìn)行同構(gòu)判定。

表2 3自由度位移圖形的同構(gòu)判定

然后根據(jù)構(gòu)件鄰接矩陣B對混合動力傳動系統(tǒng)的可能方案進(jìn)行同構(gòu)判定?；旌蟿恿ο到y(tǒng)存在同構(gòu)方案是由于系統(tǒng)可能存在具有相同性質(zhì)的構(gòu)件，例如存在雙電機(jī)或多個制動器的情況，這時須根據(jù)構(gòu)件鄰接矩陣B輸出編碼來判定同構(gòu)，取構(gòu)件鄰接矩陣B的性質(zhì)相同的構(gòu)件所在行的數(shù)字構(gòu)成集合為B矩陣鄰接碼，即圖5中對應(yīng)的 B矩陣鄰接碼為［100000/000100］，若兩行數(shù)字對換后鄰接碼相同，則說明這兩個構(gòu)型為同構(gòu)，則可以刪除。

以如圖6所示的混合動力系統(tǒng)為例，取B矩陣的MG1和MG2所在行的數(shù)字集合構(gòu)成鄰接碼B1、B2，B1中兩行元素互換后所得的鄰接碼若與B2相同，說明此兩種方案同構(gòu)可以刪除其中之一。

3 混合動力傳動系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)分析

3.1 基于圖論的運(yùn)動學(xué)分析

有關(guān)行星耦合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析的研究方法有輪系值法［7］、圖解法［7］、建表法［8］和基本回路法［9］?；净芈贩ㄒ殉蔀橐环N系統(tǒng)的圖論理論推導(dǎo)方法。

圖論理論的基本回路法主要應(yīng)用于行星耦合機(jī)構(gòu)的圖論模型，因此對于具有單排、雙排甚至多排行星耦合機(jī)構(gòu)的混合動力傳動系統(tǒng)，只須對傳動系統(tǒng)的行星耦合機(jī)構(gòu)的圖論模型部分運(yùn)用基本回路法即可開展運(yùn)動學(xué)分析，由于基本回路法能更方便地得到行星輪的轉(zhuǎn)速與其他齒輪構(gòu)件的轉(zhuǎn)速關(guān)系，因此運(yùn)用此法也對加入包括行星輪在內(nèi)的各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量用于動力學(xué)分析奠定了很好的基礎(chǔ)。

基本回路指的是圖論模型中一對齒輪副所對應(yīng)的點與兩對回轉(zhuǎn)副所對應(yīng)的點構(gòu)成的三角形封閉回路，如圖7所示。結(jié)合本文中提出的圖論模型可知基本回路具備以下特點:(1)每個基本回路由3個實心圓點、一條實線、一條點劃線和一條虛線組成;(2)兩個相鄰回路都含有屬于同一行星耦合機(jī)構(gòu)的行星架和行星輪;(3)每個基本行星耦合機(jī)構(gòu)的基本回路數(shù)L必為偶數(shù)且等于帶箭頭的虛線數(shù);(4)行星耦合機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)N與回轉(zhuǎn)副數(shù)M的關(guān)系為:N=M+1。

以圖2的基本行星耦合機(jī)構(gòu)的圖論模型的第Ⅰ層和第Ⅱ?qū)訛檠芯繉ο?，可得到單排行星耦合機(jī)構(gòu)的基本回路圖，如圖7所示。

基本回路由3個基本構(gòu)件1、2、3組成，其中1和2表示一對嚙合齒輪，2和3表示回轉(zhuǎn)副，則可得到該基本回路的轉(zhuǎn)速方程通式為

式中:ω1、ω2、ω3為基本構(gòu)件 1、2、3 的轉(zhuǎn)速;i12為傳動比，i12=±Z2/Z1，±表示齒輪的內(nèi)嚙合或外嚙合。

以Prius的單排行星耦合混合動力系統(tǒng)為例，其圖論模型如圖3所示，結(jié)合圖7所示的單行星排基本回路的特征可知其行星耦合機(jī)構(gòu)包括兩個基本回路(P，S，H)、(P，R，H)，則其基本回路方程為

雙排行星耦合混合動力系統(tǒng)以美國通用公司的AHS雙模傳動系統(tǒng)在低速模式下圖論模型為例，如圖8所示。其中發(fā)動機(jī)接第1排行星輪的行星架，電機(jī)MG1接第1排行星輪的太陽輪，第1排行星輪系的齒圈和第2排行星輪的太陽輪固聯(lián)，第2排行星輪的齒圈與機(jī)架固聯(lián)，第2排的太陽輪與電機(jī)MG2相連，第2排的行星架輸出動力到車輪。

根據(jù)上述圖論理論可知，雙行星耦合機(jī)構(gòu)的基本回路分別為(P1，R1，H1)、(P1，S1，H1)、(P2，R2，H2)、(P2，S2，H2)，根據(jù)前述理論推導(dǎo)，可得到基本回路的運(yùn)動方程組為

同時 ωr1= ωs2= ωmg2，ωs1= ωmg1，ωr2=0，ωh1=ωe，ωh2=ωout，ωs1=ωmg1，聯(lián)立并整理式(7)可得雙排行星耦合機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)矩陣:

由式(6)可知兩個方程解4個未知量，式(8)有4個方程，解6個未知量，行星排有兩個自由度，只要知道兩個確定的動力輸入轉(zhuǎn)速，則行星排其余所有的轉(zhuǎn)速均可確定，方程組均有解。

3.2 行星耦合混合動力系統(tǒng)的動力學(xué)分析

鑒于現(xiàn)有圖論理論行星耦合機(jī)構(gòu)的動力學(xué)分析中忽略了行星耦合機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，也少有針對整體傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析，因此本文中在考慮到包含行星輪在內(nèi)的行星排各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量的前提下，對行星耦合機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析。首先，以Prius的THS單排行星耦合混合動力傳動系統(tǒng)為例，將圖4的圖論模型倒置并根據(jù)圖論的連接關(guān)系將各構(gòu)件的符號一一對應(yīng)的排列，則可得到如圖9所示的圖論模型。

將圖9的圖論模型分別加入行星排各構(gòu)件和輸入輸出各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量模塊以及受力分析即可得到如圖10所示的動力學(xué)模型。其中，設(shè)Ji為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，ri為各齒輪半徑，F(xiàn)i為行星輪與其他齒輪之間的作用力，Ts、Tr、Th為作用在太陽輪、齒圈或行星架上的轉(zhuǎn)矩，設(shè)順時針為正。

取發(fā)動機(jī)為受力分析主體，有

取MG1電機(jī)為受力分析主體，有

取行星耦合機(jī)構(gòu)后的動力傳動系統(tǒng)為受力分析主體，有

式中:m整車質(zhì)量;r為車輪半徑;i為行星排至車輪之間的傳動比;Tf為車輪阻力矩折算到行星輪系輸出端的轉(zhuǎn)矩。Je、Jmg1、Jmg2分別為發(fā)動機(jī)、電機(jī)1和電機(jī) 2的慣量;ωe、ωmg1、ωmg2分別為發(fā)動機(jī)、電機(jī) 1和電機(jī)2的轉(zhuǎn)速;Te、Tmg1、Tmg2分別為發(fā)動機(jī)、電機(jī)1和電機(jī)2的轉(zhuǎn)矩;Ts、Th、Tr分別為單排行星輪系太陽輪、行星架和齒圈上的轉(zhuǎn)矩。

然后取行星輪系進(jìn)行受力分析，可得THS系統(tǒng)的單排行星耦合機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程:

又根據(jù)圖論連接關(guān)系可知:

結(jié)合上述各式，最后可得到Prius混合動力傳動系統(tǒng)的動力學(xué)矩陣:

同理，以圖8所示的GM-AHS傳動結(jié)構(gòu)為例，將圖8轉(zhuǎn)換為圖11所示的動力學(xué)模型。

取發(fā)動機(jī)為受力分析主體，有

分別取電機(jī)1和電機(jī)2為受力分析主體，有

取行星耦合機(jī)構(gòu)后的動力傳動系統(tǒng)為受力分析主體，有

取圖中第1排行星輪系為受力分析的主體，并進(jìn)行受力分析，如圖12所示。

以行星架為參考坐標(biāo)系對行星輪進(jìn)行分析，由達(dá)朗伯原理，行星輪要受力平衡，須增加一虛擬的慣性力Fg1有

式中:mp1為行星輪質(zhì)量;rh1為行星輪旋轉(zhuǎn)中心到行星排旋轉(zhuǎn)中心的距離。選順時針方向為正，在行星架旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上觀察行星輪運(yùn)動:

結(jié)合式(19)～式(21)，有

分別以太陽輪、行星架和齒圈為分析對象，有

聯(lián)立式(23)～式(25)并帶入式(21)得

其中 rh1=rp1+rs1=rr1－ rp1，和式(19)、式(22)一起帶入式(26)并化簡，有

同理，取第2排行星輪系受力分析，有

因行星輪的慣量Jp相對其他行星部件的慣量小，如果忽略行星輪自轉(zhuǎn)的慣量Jp，只考慮折算到行星架上公轉(zhuǎn)的慣量，那么相當(dāng)于行星架的轉(zhuǎn)動慣量增加了mpr2h，式(27)和式(28)可以進(jìn)一步簡化為

聯(lián)立式(15)～式(18)、式(29)和式(30)并帶入式(31)，得

由式(32)可知，有6個方程解14個變量;結(jié)合式(8)，當(dāng)2自由度行星排系統(tǒng)輸入兩個確定的輸入轉(zhuǎn)速，則其余所有的運(yùn)動可求，去掉4個轉(zhuǎn)速變量;實際運(yùn)行的系統(tǒng)，道路阻尼和動力源的功率均為已知，可再消去4個輸入輸出轉(zhuǎn)矩變量，因此6個方程求解6個轉(zhuǎn)矩變量，式(32)有解。同理，式(14)也有解。上述動力學(xué)模型可以完整地描述行星耦合機(jī)構(gòu)和整個傳動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩關(guān)系。

3 結(jié)論

(1)基于圖論理論在對行星耦合機(jī)構(gòu)建模的基礎(chǔ)上，增加了輸入/輸出構(gòu)件層，建立了行星耦合混合動力系統(tǒng)的圖論模型。

(2)以Camry行星耦合混合動力系統(tǒng)為例，在行星排鄰接矩陣的基礎(chǔ)上增加了輸入輸出構(gòu)件的構(gòu)件鄰接矩陣，通過鄰接矩陣輸出鄰接碼判別傳動方案的同構(gòu)模型，是基于圖論理論的混合動力系統(tǒng)方案設(shè)計的有效途徑。

(3)基于圖論理論基本回路法對行星排的運(yùn)動學(xué)分析方法，分別以單排Prius-THS和雙排GM-AHS混合動力系統(tǒng)為例，建立了行星耦合混合動力系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速分析模型;并考慮行星排轉(zhuǎn)動慣量，進(jìn)行了行星排的受力分析，推導(dǎo)了行星耦合混合動力傳動的動力學(xué)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩模型，為進(jìn)一步傳動方案的性能分析和篩選奠定了基礎(chǔ)。

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