●江蘇省如皋市第二中學(xué) 冒志紅

培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí)，提高解題能力

●江蘇省如皋市第二中學(xué) 冒志紅

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決一直是數(shù)學(xué)能力優(yōu)劣檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)．從中學(xué)數(shù)學(xué)解題現(xiàn)狀來(lái)看，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決更多停留在模仿階段，對(duì)于從類(lèi)似的問(wèn)題中尋找解決方案更為有心得，這一直是中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)的狀態(tài)．

筆者就此情況認(rèn)為主要由下列原因造成：第一，高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更多，解決問(wèn)題的方法（初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法）更多，在理解數(shù)學(xué)上述知識(shí)點(diǎn)和方法的基礎(chǔ)上，首先需要鞏固和熟練基本知識(shí)和基本技能，因此解決陌生問(wèn)題的比重比較低；第二，中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)比較注重模仿和變式，因此對(duì)于完全陌生問(wèn)題的解決往往比較忽視，因此學(xué)生對(duì)于陌生問(wèn)題的解決也不夠重視；第三，長(zhǎng)期以來(lái)的教學(xué)模式并不注重對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)和滲透，更多的是重復(fù)訓(xùn)練下的操作，這與新課程教學(xué)理念更是背道而馳．

哈佛大學(xué)華裔教授丘成桐先生說(shuō)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是培養(yǎng)一種問(wèn)題解決的思路，這種思路給學(xué)生以后獨(dú)立解決問(wèn)題提供了豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，筆者反對(duì)現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)不停地訓(xùn)練、解題，學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣早就被磨滅了．筆者認(rèn)為，上述一席話(huà)正是在提點(diǎn)教師，教學(xué)更要注重思維的啟迪和培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化意識(shí)，提高其數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力才是關(guān)鍵．

一、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

波利亞在如何解題中說(shuō)：當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題變得復(fù)雜、抽象、難懂時(shí)，我們不妨換一個(gè)角度去思考，將問(wèn)題想象的簡(jiǎn)單一些，教師的高明之處在于可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而不必一味地強(qiáng)硬解決，這種思維方式就是轉(zhuǎn)化．比如：橢圓中的很多性質(zhì)與問(wèn)題證明有些復(fù)雜、運(yùn)算量較大，如何將復(fù)雜的問(wèn)題用簡(jiǎn)單的方式進(jìn)行論證求解呢？筆者舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子．分析：把縱坐標(biāo)變換為原來(lái)的倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖1，易知圓中KAP·KBP=-1.由性質(zhì)得：kAP·（．本性質(zhì)可以在橢圓中進(jìn)行證明，但是運(yùn)算量比通過(guò)伸縮變換證明更為復(fù)雜一些）

圖1

二、抽象問(wèn)題具體化

高中數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題已經(jīng)成為對(duì)思維極度歷練的抽象形態(tài)，比如說(shuō)：抽象函數(shù)，數(shù)列中n項(xiàng)的相關(guān)問(wèn)題分析，空間幾何中點(diǎn)、線(xiàn)、面的平行與垂直等．這些問(wèn)題對(duì)于抽象能力較弱的中學(xué)生而言，有時(shí)解決過(guò)程顯得較為困難，考慮到抽象問(wèn)題一般均以客觀(guān)題或填空題的形式出現(xiàn)，對(duì)于問(wèn)題解決過(guò)程并沒(méi)有嚴(yán)密的邏輯證明要求，因此具體化手段是解決抽象問(wèn)題的一種有效方式．

問(wèn)題2：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且存在常數(shù)a>0，使得f（a）=1，f（x-y）=問(wèn)：f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析：由于（fx）為抽象函數(shù)，故必須尋求感性實(shí)例的支撐，由的結(jié)構(gòu)，不難聯(lián)想到兩角差的正切公式域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且存在的一個(gè)原型.由于y=tanx為周期函數(shù)，且π是它的一個(gè)周期，可猜想f（x）為周期函數(shù)，且4a是它的一個(gè)周期，進(jìn)而證明f（x+4a）=f（x），得到f（x）為周期函數(shù)，它的一個(gè)周期為4a．

說(shuō)明：抽象問(wèn)題具體化更多是以函數(shù)問(wèn)題為主，對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題，筆者建議初學(xué)者更好地以具體函數(shù)模型去感知，在達(dá)到一定經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知后可以更好地理解抽象函數(shù)．常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型需要平時(shí)教學(xué)中讓學(xué)生關(guān)注.函數(shù)模型（fx+y）=（fx）+（fy），正比例函數(shù)：（fx）=kx（k≠0）；f（x+y）=f（x）·f（y），指數(shù)函數(shù)：f（x）=a（xa>0，a≠1）；f（xy）=f（x）+f（y），對(duì) 數(shù) 函 數(shù) ：f（x）=logax（a>0，a≠1）；（fxy）=（fx）·（fy），冪函數(shù)：函數(shù)：（fx）=tanx等．

三、高維問(wèn)題低維化

初中數(shù)學(xué)致力于一維和二維問(wèn)題的研究，而高中數(shù)學(xué)已經(jīng)漸漸進(jìn)入了三維問(wèn)題的初步探索．眾所周知，空間幾何問(wèn)題的解決，有時(shí)可以借助二維的問(wèn)題，空間向量的學(xué)習(xí)可以類(lèi)比平面向量的知識(shí)等．這種思維方式的根本是一種轉(zhuǎn)化，通過(guò)類(lèi)比思維產(chǎn)生的轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)更高的層次．

問(wèn)題3：如圖2所示，點(diǎn)O∈平面A′B′C′,平面A′B′C′∥平面ABC，點(diǎn)Q在三棱錐OABC內(nèi)部運(yùn)動(dòng)（不含邊界），記，則x的取值范圍是多少？若x=1，則y+z的2取值范圍是多少？

圖2

分析：要解決空間向量的三維問(wèn)題，我們可以首先探求二維平面向量中類(lèi)似問(wèn)題的解決．利用低維問(wèn)題去轉(zhuǎn)化高維問(wèn)題的解決，這是培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí)的又一種方式．首先來(lái)看一個(gè)二維平面向量的引例.

引例：如圖3，OM//AB，點(diǎn)P在由射線(xiàn)OM、線(xiàn)段OB及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，則x的取值范圍是_________；當(dāng)x=-1時(shí)，y的取值2范圍是_________．

圖3

分析：由平面向量基本定理可知：若e1、e2是同一平面內(nèi)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，我們把不共線(xiàn)的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.當(dāng)O、A、B是不共線(xiàn)的三點(diǎn)時(shí)，對(duì)平面上任一點(diǎn)P，有則P在直線(xiàn)AB上的充要條件是x+y=1．由上述知識(shí)，可以將二維引例以斜坐標(biāo)系的方式給予回答和解決，以x、y作為有序點(diǎn)對(duì)（x，y），以O(shè)A→x軸，

OB→y軸，如圖4所示建立斜坐標(biāo)系，類(lèi)比直角坐標(biāo)系下的性質(zhì)，可以得到如下延伸：（1）過(guò)點(diǎn)O且平行于AB的直線(xiàn)，其斜角坐標(biāo)系下方程為：x+y=0；（2）以O(shè)A→x軸、OB→y軸建立的斜坐標(biāo)系也分為四個(gè)象限，類(lèi)比直角坐標(biāo)系下線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)可得P點(diǎn)所在位置位于斜角坐標(biāo)系2-2

圖4

解決：通過(guò)低維問(wèn)題的解決和理解，類(lèi)比轉(zhuǎn)化高維問(wèn)題，不妨以O(shè)A→x軸，OB→y軸，OC→z軸，建立空間斜坐標(biāo)系，Q點(diǎn)所在區(qū)域滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件：圯x> 0 ，y>0，z>0，因此，若點(diǎn)Q在三棱錐OABC內(nèi)部運(yùn)動(dòng)（不0

四、陌生問(wèn)題熟悉化

數(shù)學(xué)新題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)往往較為困難，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不可能像教師一般，對(duì)于陌生問(wèn)題的處理，學(xué)生更容易手足無(wú)措．教師對(duì)于此種問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，主要意圖是引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化這種陌生的問(wèn)題情境，即通過(guò)思考實(shí)現(xiàn)一定的模式識(shí)別．從教育心理學(xué)研究的角度，巴布羅夫早已給出模式識(shí)別對(duì)于教學(xué)的積極意義，其認(rèn)為學(xué)習(xí)者總是將熟悉的知識(shí)分門(mén)別類(lèi)地儲(chǔ)存于頭腦中，在遇到陌生問(wèn)題時(shí)，學(xué)習(xí)者首先搜索記憶庫(kù)中的知識(shí)存儲(chǔ)，通過(guò)判斷識(shí)別問(wèn)題所屬的類(lèi)型，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟悉情境．

問(wèn)題4：如圖5，已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為A，問(wèn)：C所在的平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使過(guò)M的動(dòng)直線(xiàn)l與C交于P、Q，且∠PAQ恒為直角？

分析：本題中判斷“∠PAQ恒為直角”較為陌生，鑒于“PQ過(guò)定點(diǎn)M”與“∠PAQ為直角”都是約束條件，故不妨調(diào)整其順序，將原題轉(zhuǎn)化為過(guò)頂點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的兩條弦AP、AQ，使∠PAQ為直角，問(wèn)動(dòng)直線(xiàn)PQ是否過(guò)定點(diǎn).現(xiàn)在變成了大家熟悉的內(nèi)容了，解答起來(lái)是不是很輕松呢？

圖5

將④代入③，得2px-4p2-（y1+y2）y=0，即2p（x-2p）-（y1+y2）（y-0）=0．

由于2p、y1+y2均為實(shí)數(shù)，故直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)M（2p，0）．所以符合條件的直線(xiàn)存在．

說(shuō)明：解析幾何中有較多的問(wèn)題條件對(duì)于學(xué)生而言是非常陌生的，學(xué)生往往對(duì)于這樣的條件無(wú)法進(jìn)行合理的、簡(jiǎn)潔的轉(zhuǎn)化，如：以AB為直徑的圓過(guò)O點(diǎn)（數(shù)量積|AB|=|AC|（BC的中點(diǎn)D即為垂足）等，這些條件是如何轉(zhuǎn)換成熟悉的數(shù)學(xué)式的呢？本例給出了一種轉(zhuǎn)化的方式，這類(lèi)轉(zhuǎn)化需要學(xué)生不斷地積累和鞏固，進(jìn)而提高問(wèn)題解決的能力．

總之，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決來(lái)看，都是一種形態(tài)向另一種形態(tài)的轉(zhuǎn)化，即數(shù)學(xué)知識(shí)中講述的充要條件．將數(shù)學(xué)表述的復(fù)雜形式簡(jiǎn)化為一種簡(jiǎn)潔的結(jié)論，正是轉(zhuǎn)化的魅力所在．轉(zhuǎn)化與化歸思想正是基于此提煉的數(shù)學(xué)思想方法，筆者將文中所描述的四種情形進(jìn)行了一定的總結(jié)，限于才疏學(xué)淺，還有其他轉(zhuǎn)化的方式未能作出合理的歸納，請(qǐng)讀者指正補(bǔ)充．

1.趙第妹.數(shù)學(xué)高考難題破解與知識(shí)超常聯(lián)系［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（8）.

2.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（4）.A