隨機(jī)累積相依索賠的矩及分布逼近

張節(jié)松，肖慶憲

（1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上?！?00093；2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北　235000）

隨機(jī)累積相依索賠的矩及分布逼近

張節(jié)松1，2，肖慶憲1

（1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海200093；2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

在索賠序列具有一階自回歸相依結(jié)構(gòu)的條件下，給出了隨機(jī)累積索賠前三階矩的解析表達(dá)式，并應(yīng)用矩匹配的方法討論了所得結(jié)果在總索賠分布逼近中的應(yīng)用.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了結(jié)論的正確性和有效性.

相依風(fēng)險(xiǎn)；自回歸；矩；分布逼近

1　引言

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及許多推廣形式常假定索賠風(fēng)險(xiǎn)相互獨(dú)立且同分布，這便于S的均值、方差、偏度系數(shù)等數(shù)字特征的獲得，也可利用卷積法、矩母函數(shù)法、遞推法等計(jì)算S的分布［1］，在風(fēng)險(xiǎn)理論中起著非常重要的作用.然而，現(xiàn)代（再）保險(xiǎn)產(chǎn)品的種類和數(shù)量日漸增多，保險(xiǎn)業(yè)務(wù)組合前期的索賠對(duì)當(dāng)期索賠會(huì)產(chǎn)生直接的影響，學(xué)者們已越來越關(guān)注索賠風(fēng)險(xiǎn)之間的相依關(guān)系［2-7］.文獻(xiàn)［2］采用自回歸結(jié)構(gòu)刻畫此類相依現(xiàn)象，文獻(xiàn)［3］利用線性過程描述年收益，文獻(xiàn)［4］則假定隨機(jī)保費(fèi)與索賠額均具有自回歸的相依結(jié)構(gòu).在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［5-7］進(jìn)一步考慮了利率或投資收益的影響，并討論了漸進(jìn)破產(chǎn)概率或Lundberg上界.

與破產(chǎn)概率一樣，隨機(jī)累積索賠的矩函數(shù)是保險(xiǎn)人所關(guān)心的重要精算量.文獻(xiàn)［8-9］在常利率因素影響下，分別利用更新論證和鞅理論得到了現(xiàn)值復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)過程的前兩階矩；文獻(xiàn)［10-11］則在索賠次數(shù)不必服從Poisson分布的條件下推導(dǎo)出折現(xiàn)索賠復(fù)合更新和關(guān)于各階矩的遞推公式；文獻(xiàn)［12］假定利率是隨機(jī)的，并計(jì)算了更新過程和延遲更新過程的前兩階矩及協(xié)方差；文獻(xiàn)［13］進(jìn)一步將模型推廣到二元復(fù)合更新情形，研究了累積折現(xiàn)索賠的遞推矩、聯(lián)合矩、矩母函數(shù)等；文獻(xiàn)［14］考慮了索賠時(shí)間間隔與索賠量大小之間的相依關(guān)系，在索賠次數(shù)服從Poisson分布的條件下，應(yīng)用Laplace變換等方法，給出了累積折現(xiàn)索賠各階矩的表達(dá)式，文獻(xiàn)［15］針對(duì)同一相依結(jié)構(gòu)，應(yīng)用連續(xù)逼近與Neumann級(jí)數(shù)展開的方法得到了累積折現(xiàn)索賠的前兩階矩；文獻(xiàn)［16］應(yīng)用文獻(xiàn)［8，10］的技巧，導(dǎo)出了索賠時(shí)間間隔與索賠大小相依的Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)過程折現(xiàn)累積索賠的矩遞推公式.需要說明的是，上述工作在研究各類風(fēng)險(xiǎn)模型的矩函數(shù)時(shí)，均假定索賠風(fēng)險(xiǎn)是獨(dú)立同分布的.

作為矩函數(shù)的應(yīng)用之一，在累積索賠分布的矩匹配算法中，前三階矩至關(guān)重要.文獻(xiàn)［17］詳細(xì)討論了基于前三階矩將一般分布映射為混合Erlang分布的方法，在索賠分布輕尾的情形下十分適用.對(duì)于重尾索賠情形，文獻(xiàn)［18］指出應(yīng)用廣義Pareto分布進(jìn)行逼近，但同樣基于累積索賠的前三階矩.

總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)［8-16］在索賠序列獨(dú)立同分布的條件下，研究了隨機(jī)累積索賠的矩函數(shù)，文獻(xiàn)［2-7］則考慮了索賠序列的相依關(guān)系，但研究的是破產(chǎn)相關(guān)問題.受此啟發(fā)，本文在索賠風(fēng)險(xiǎn)相依的條件下，考慮隨機(jī)累積索賠的矩函數(shù).假定索賠序列具有一階自回歸相依結(jié)構(gòu)、索賠次數(shù)服從Poisson過程，首先計(jì)算隨機(jī)累積索賠的前三階矩，得到了與相依參數(shù)密切相關(guān)的解析表達(dá)式.然后，以索賠分布輕尾的情形為例，利用所得結(jié)果和矩匹配方法，近似計(jì)算出累積索賠的分布.最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確性與有效性.

2　自回歸相依風(fēng)險(xiǎn)模型

假定保險(xiǎn)公司在（0，t］時(shí)間內(nèi)的索賠風(fēng)險(xiǎn)｛Xk，k≥1｝具有一階自回歸的相依結(jié)構(gòu)，即

其中 θ稱為相依參數(shù)，X0=x0稱為初始索賠，均為常數(shù)；索賠計(jì)數(shù)過程 Nt服從參數(shù)為λt的Poisson分布；隨機(jī)變量列｛Zk，k≥1｝可理解為新增業(yè)務(wù)或隨機(jī)干擾項(xiàng)，獨(dú)立同分布且非負(fù)，前三階矩存在并記為

由（1）式不難發(fā)現(xiàn)，與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中獨(dú)立同分布的假定不同，這里的索賠序列具有相依結(jié)構(gòu)，分布函數(shù)也不一定相同.如果特別取θ=0，即得到經(jīng)典的集體風(fēng)險(xiǎn)模型.

由文獻(xiàn)［19］可知，（1）式等價(jià)于

3　累積索賠的矩

有了上述φr（θ，λ），r=1，2，3的計(jì)算結(jié)果，現(xiàn)在根據(jù)（3）式及多項(xiàng)式展開給出St前三階矩的計(jì)算結(jié)果.

定理3.1設(shè)｛Xk，k≥1｝具有（1）式所示的一階自回歸相依結(jié)構(gòu)，Nt服從強(qiáng)度為λ的Poisson分布，則隨機(jī)和St的前三階矩分別為：

注3.1 由（5）式-（7）式可知，累積索賠風(fēng)險(xiǎn)的矩與相依參數(shù)θ密切相關(guān)，較獨(dú)立同分布情形復(fù)雜很多.實(shí)際上，如果令θ=0即得到經(jīng)典復(fù)合Poisson過程的前三階矩，即λtα1，和其中m=1，2，3.

4　分布逼近

即使在索賠序列獨(dú)立同分布的情形下，要計(jì)算隨機(jī)累積索賠的精確分布函數(shù)，計(jì)算量也非常大，特別是個(gè)體理賠服從連續(xù)分布時(shí)，要利用常規(guī)的卷積法幾乎是不可能的［20］，矩母函數(shù)法在索賠重尾情形下也可能失效.本文中的索賠序列具有相依關(guān)系且分布不必相同，隨機(jī)累積索賠精確分布的計(jì)算將更為復(fù)雜，甚至難以實(shí)現(xiàn).作為前述結(jié)果的應(yīng)用，下面應(yīng)用矩匹配（moment matching）的方法逼近St的分布.根據(jù)擬逼近分布不同的尾部特征，存在多種矩匹配的方法.當(dāng)St的分布輕尾時(shí)，可選擇混合Erlang分布［14］.這里參照文獻(xiàn)［17］，采用具有相同形狀參數(shù)（shape parameter）的兩分支混合Erlang分布.

設(shè)共同的的形狀參數(shù)為n，兩分支的率參數(shù)（rate parameter）分別為λ1和λ2，則混合分布函數(shù)為：

文章最后通過具體的算例，進(jìn)一步驗(yàn)證前述結(jié)論并觀察分布逼近的效果.在給定參數(shù)下，首先運(yùn)用定理3.1與矩匹配方法給出St的近似分布，然后與隨機(jī)模擬的結(jié)果進(jìn)行比較.

設(shè)索賠強(qiáng)度λ=20，Z1服從均值為8的指數(shù)分布，初始索賠x0=10，θ=0.3，t=1.根據(jù)（5）式-（7）式，借助mathematica軟件計(jì)算St的前三階矩分別為：

由此并選定n=15，計(jì)算得

于是，根據(jù)矩匹配的方法知St的分布函數(shù)可近似表示為：

運(yùn)用mathematica軟件繪制出F（y）在y∈［0，400］上的圖形，同時(shí)隨機(jī)模擬St≤s的概率，s=1，2，···，400，得到散點(diǎn)圖，并將二者在同一坐標(biāo)系下顯示，結(jié)果如圖1.

從圖1可以看出，利用St前三階矩的解析表達(dá)式，并運(yùn)用矩匹配方法得到的分布函數(shù)，與隨機(jī)模擬的結(jié)果基本一致，特別是在St均值附近高度吻合，表明了累積索賠矩表達(dá)式的正確性及分布逼近的有效性.

圖1基于矩匹配（MM）和隨機(jī)模擬（SM）的累積分布函數(shù)

5　結(jié)論

本文考慮了前期保險(xiǎn)業(yè)務(wù)組合的索賠對(duì)現(xiàn)在索賠的影響，以一階自回歸結(jié)構(gòu)描述此類相依現(xiàn)象.在此條件下，推導(dǎo)得出了隨機(jī)累積索賠前三階矩的解析表達(dá)式.由這一結(jié)果，即可直接得到累積索賠的方差、離散系數(shù)、偏度系數(shù)等重要數(shù)字特征，還可以通過矩匹配的方法逼近隨機(jī)累積索賠的分布.文章在累積索賠分布輕尾的情形下，利用混合Erlang分布示例說明了這一應(yīng)用的操作方法.結(jié)果表明是有效的.實(shí)際上，當(dāng)累積索賠分布重尾時(shí)，同樣可利用其前三階矩，選用逆Gamma分布、廣義Pareto分布等進(jìn)行逼近.這為近似計(jì)算隨機(jī)累積相依索賠的分布函數(shù)帶來了很大的方便.

隨機(jī)累積變量的矩函數(shù)，不僅在精算實(shí)務(wù)中很有意義，也常常應(yīng)用在維修成本、土木工程可靠性等其它領(lǐng)域.

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On the moments and distribution approximation of stochastic aggregate claims with dependence

Zhang Jiesong1，2，Xiao Qingxian1
（1.Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China；2.School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei235000，China）

Under the condition that the claim sequence has dependent AR（1）structure，analytic expressions for the first three moments of stochastic aggregate claims are derived.The results are illustrated with applications to distribution approximations based on moment matching method.Numerical experiment shows the correctness and validity of the conclusions.

dependent risks，autoregressive，moments，distribution approximation

O213

A

1008-5513（2015）03-0252-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.005

2014-10-02.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11171221）；上海市一流學(xué)科（系統(tǒng)科學(xué)）資助項(xiàng)目（XTKX2012）；淮北師范大學(xué)青年科研基金（2013XQZ12）.

張節(jié)松（1981-），博士生，講師，研究方向：保險(xiǎn)數(shù)學(xué)，金融風(fēng)險(xiǎn)管理.

2010 MSC：97M30