陳立，何姝琦，董亞瑩

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解

陳立，何姝琦，董亞瑩

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

運用了tanh-coth展開法，得到了Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的精確行波解.同時該方法也可用于其他的非線性演化方程.

tanh-coth展開法；Benny-Luke方程；Phi-4方程；精確行波解

1　引言

非線性演化方程被廣泛運用于現(xiàn)代科學(xué)中，非線性現(xiàn)象出現(xiàn)在科學(xué)和工程的許多分支中，例如等離子物理、流體力學(xué)、氣體動力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、生態(tài)、固體物理等給人留下深刻印象的研究領(lǐng)域.非線性演化方程經(jīng)常用來描述孤立波運動，尋求非線性演化方程的精確很重要，因此精確行波解的探索變成非線性物理現(xiàn)象研究的一項重要任務(wù).值得注意的是，觀察到不存在獨特的方法來解決所有非線性演化方程.由于這個原因，許多方法已被建立，例如Jacobi橢圓函數(shù)法［1］、齊次平衡法、MSE方法（Modified Simple Equation Method）［2］、展開法［3［5］、變分法、反散射方法、廣田的雙線性方法、tanh-coth展開法［69］、不變集方法［10］、不變子空間方法［11］、李群方法等.隨著各種求解方法的出現(xiàn)，不但過去難于求解的方程得到解決，而且新的、具有重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，呈現(xiàn)出一個層出不窮的勢頭.

Malfliet首先介紹tanh展開法用于求解非線性偏微分方程，后來此方法被廣泛運于求解非線性偏微分方程.Wazwaz將tanh展開法延拓為tanh-coth展開法.本文運用了tanh-coth展開法尋求Benny-Luke方程

和Phi-4方程的精確行波解.本文安排如下：第2部分，介紹tanh-coth展開法；第3部分，將此方法應(yīng)用于Benny-Luke方程，并得到該方程的一些新的精確行波解；第4部分，將此方法應(yīng)用于Phi-4方程，并得到該方程的一些新的精確行波解；第5部分，將Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解做了物理解釋和圖像解釋.最后，得知該方法在求解非線性演化方程的精確行波解時非常直觀有效.

2　tanh-coth展開法

3　求解Benny-Luke方程

Benny-Luke方程是一個近似水波方程，適合在表面張力存在下描述雙向水波傳播，在物理等方面具有廣泛的應(yīng)用.在這一部分，將運用tanh-coth展開法來研究Benny-Luke方程

4　求解Phi-4方程

近幾十年來，Phi-4方程在核物理和粒子物理占有很重要的地位.在這一部分，將運用tanh-coth展開法來研究Phi-4方程

5　物理解釋和圖像解釋

在這一部分，將給出Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解的物理解釋和圖像解釋.

本文第三部分運用tanh-coth展開法得到Benny-Luke方程的精確行波解u1，u2，u3.當(dāng)取a0=1，α=1，β=1，（-10≤x≤10），（0≤t≤10）時，u1的圖像如圖1所示，圖像1表示Benney-Luke方程的扭結(jié)型行波解，u2的圖像如圖2所示，圖像2表示Benney-Luke方程的奇異扭結(jié)型行波解，u3的圖像與u2的圖像類似.

本文第四部分運用tanh-coth展開法得到Phi-4方程的精確行波解u1，u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8.當(dāng)取λ=-1.2，m=139，c=2，（-10≤x≤10），（0≤t≤10）時，u1的圖像如圖3所示，圖像3表示Phi-4方程的多重周期解，u3的圖像如圖4所示，圖像4表示Phi-4方程的奇異扭結(jié)型行波解，u2的圖像與u1的圖像類似，u4，u5，u6，u7，u8的圖像與u3的圖像類似.

圖1　Benny-Luke方程的解u1

圖2　Benny-Luke方程的解u2

圖3　Phi-4方程的解u1

圖4　Phi-4方程的解u3

6　總結(jié)

本文運用tanh-coth展開法求解出Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的行波解，從而豐富了方程的結(jié)果，有助于對方程所描述的物理現(xiàn)象進一步了解和研究.同時，這種方法也能夠求解其他的非線性演化方程，也可以將雙曲函數(shù)換成三角函數(shù)，同樣能夠得到一些方程的行波解.

［1］Ali A T.New generalized Jocobi ellipic function rational expansion method［J］.Comput.Appl.Math.，2011，235：4117-4127.

［2］Akter J，Akbar M A.Exact solutions to the Benny-Luke equations and the Phi-4 equations by using modified simple equation method［J］.Results in Physics，2015，5：125-130.

［3］Wang M，Li X，Zhang J.The（G′/G）-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Phys.Lett.A，2008，372：417-423.

［4］Zayed E M E，Gepreel K A.The（G′/G）-expansion method for finding the travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Math.Phys.，2009，50：013502-013514.

［5］Mohyud S T，Yildirim A，Saruaydin S.Numerical solitons of the improved Boussinesq equation［J］.Int.J.Numer.Method H.，2011，21：822-827.

［6］Malfliet W.Solitary wave solutions of nonlinear wave equations［J］.Am.J.Phys.，1992，60（7）：650-654.

［7］Wazwaz A M.New travelling wave solutions to the Boussinesq and the Klein-Gordon Equations［J］.Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.，2008，13：889-901.

［8］Wazwaz A M，Mona S M.A variety of exaction travelling wave solutions for the（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation［J］.Appl.Math.Comput.，2010，217：1484-1490.

［9］Wazwaz A M.The tanh-coth method for solitons and kink solutions for nonlinear parabolic equations［J］.Appl.Math.Comput.，2007，188：1467-1475.

［10］Dong Y Y，Zhang S L，Li S B.Invariant sets and solutions to a class of wave equations［J］.Appl.Math.Comput.，2015，253：369-376.

［11］Qu G Z，Zhang S L，Li Y L.Third-order nonlinear differential operators preserving invariant subspaces of maximal dimension［J］.Chin.Phys.B，2014，23：110202.

New travelling wave solutions to the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations

Chen Li，He Shuqi，Dong Yaying

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

In this work，many new travelling wave solutions are established for the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations.The tanh-coth method is used to generate these new solutions.The approach is also applicable to a large variety of nonlinear evolution equations.

the tanh-coth method，the Benny-Luke equation，the Phi-4 equations，travelling wave solutions

O175.29

A

1008-5513（2015）06-0604-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.008

2015-06-16.

國家自然科學(xué)基金（11371293）.

陳立（1989-），碩士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC：35C07