關(guān)于四元二次型表整數(shù)個(gè)數(shù)的均值估計(jì)

王丹，勞會(huì)學(xué)

（山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南250014）

關(guān)于四元二次型表整數(shù)個(gè)數(shù)的均值估計(jì)

王丹，勞會(huì)學(xué)

（山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南250014）

利用數(shù)論函數(shù)的可乘性和狄里克雷卷積方法，研究了用四元二次型表整數(shù)個(gè)數(shù)的均值估計(jì)，并且得到了相應(yīng)的漸近公式，推廣了相關(guān)結(jié)果.

漸近公式；可乘函數(shù)；卷積方法

1　引言

設(shè)rk（n）表示一個(gè)整數(shù)n分解成k個(gè)整數(shù)的平方的個(gè)數(shù)，文獻(xiàn)［1］考慮了有關(guān)整點(diǎn)在圓錐體

上的分布，得到了如下漸近公式

其中，c=c（k）＞0是一個(gè)確定的常數(shù).當(dāng)k=4時(shí)，F(xiàn)omenko進(jìn)一步改進(jìn)結(jié)果為：

設(shè)f是一個(gè)定義在環(huán)O上的二元Hermitian形式，其中這個(gè)環(huán)是虛二次域（判別式D＜0）的整環(huán)，而g是相應(yīng)的整數(shù)集Z上的四元二次型.文獻(xiàn)［2］用

來(lái)表示整數(shù)n的表示個(gè)數(shù).

本文研究了f（c，d）=2|c|2+|d|2，g（x，y，u，v）=2（x2+xy+3y2）+u2+uv+3v2時(shí)，整數(shù)n的表示個(gè)數(shù)

具體地得到了下面的漸近公式.

定理1.1當(dāng)x≥2時(shí)，

其中A是一個(gè)常數(shù).

2　引理

為了證明定理1.1，需要下面的四個(gè)引理：

引理2.1［2］

引理2.2［3］當(dāng)時(shí)，有

引理2.3［4］當(dāng)x≥2時(shí)，有

其中w（m）表示m的不同素因子的個(gè)數(shù).

引理2.4［4］

3　定理1.1的證明

［1］Fomenko O M.On the distribution of integral points on cones［J］.Journal of Mathematical Sciences，2011，178：227-233.

［2］Elstrodt J，Grunewald F，Mennicke J.Zeta-functions of binary Hermitian forms and special values of Eisenstein series on three-dimensional hyperbolic space［J］.Math.Ann.，1987，277：655-708.

［3］Titchmarsh E C.The Theory of the Riemann Zeta-Function［M］.New York：Clarendon Press，1986.

［4］Ramaiah V Sita，Suryanarayana D.An order result involving the σ-function［J］.Indian J.pure appl.Math.，1981，12（10）：1192-1200.

［5］潘承洞.數(shù)論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［6］卡拉楚巴.解析數(shù)論基礎(chǔ)［M］.2版.潘承洞，張南岳，譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.

The mean value on numbers of representation of integers by quaternary quadratic forms

Wang Dan，Lao Huixue
（School of Mathematical Sciences，Shandong Normal University，Jinan250014，China）

Using the multiplicative property of number theory function and Dirichlet's convolution method，this paper studies the mean value of the number of representations of integers by quaternary quadratic forms，and establishes an asymptotic formula，which generalizes the related result.

asymptotic formula，multiplicative function，convolution method

O156.4

A

1008-5513（2015）05-0525-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.013

2015-04-24.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11111049）.

王丹（1989-），碩士生，研究方向：解析數(shù)論.

2010 MSC:11P21，11E25