高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教與學(xué)的處理

戴慧麗 陳岳鵬

摘 要：課堂是教學(xué)的主要陣地，新課的教學(xué)尤為重要，課堂上學(xué)生只有自然地接受知識(shí)，能力才能得到提升，所以課堂中教與學(xué)的處理很重要。以“直線與圓的位置關(guān)系”這堂課為例，精心設(shè)計(jì)，通過(guò)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)、知識(shí)拓展、課后鞏固以等環(huán)節(jié)的把握，探索新課教學(xué)中如何進(jìn)行教與學(xué)的處理，同時(shí)也反思課堂教學(xué)中學(xué)生與教師應(yīng)該扮演的角色。

關(guān)鍵詞：課堂設(shè)計(jì)；教學(xué)處理；反思

隨著教學(xué)年限的增長(zhǎng)，對(duì)于一節(jié)好課的理解在慢慢地發(fā)生變化，一開(kāi)始覺(jué)得要把一節(jié)課設(shè)計(jì)得很充分，面面俱到，滴水不漏，再后面想著要突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，課堂上師生良好互動(dòng)，但慢慢地對(duì)課堂教學(xué)的反思，想著課堂上不能只傳授自己想教的知識(shí)，而應(yīng)該傳授的是學(xué)生需要的內(nèi)容。數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)關(guān)注哪些因素，怎樣提高課堂效率，形成有效教學(xué)，通過(guò)對(duì)“直線與圓的位置關(guān)系”的課堂教學(xué)，對(duì)概念課的設(shè)計(jì)多了一些新的理解。

一、基本情況

（一）學(xué)情分析

學(xué)生來(lái)自于普通高中高一實(shí)驗(yàn)班，他們中大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力處于聽(tīng)得懂但不會(huì)做，能跟著走但自己不會(huì)自行思考的水平，他們有一定的模仿能力，但創(chuàng)新意識(shí)不強(qiáng)，運(yùn)算能力一般，碰到較難的運(yùn)算和思維過(guò)程，容易有畏難心理，比較容易放棄。

（二）教材分析

直線和圓這兩個(gè)概念在初中數(shù)學(xué)中都已經(jīng)有所接觸，特別是圓的定義和基本性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)有了大致的了解，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中所需要的垂徑定理、直線與圓的三種位置關(guān)系都有所了解，但相應(yīng)地運(yùn)用哪些數(shù)量之間的關(guān)系來(lái)具體刻畫，以及每一種位置關(guān)系如何刻畫，都存在不小的困難，由具體的圖象怎樣轉(zhuǎn)化成抽象的運(yùn)算也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，是本節(jié)課處理的一個(gè)關(guān)鍵，因此制訂出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)如下：

教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)生能判斷直線和圓的三種位置關(guān)系。

（2）學(xué)生會(huì)利用兩種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系。

（3）通過(guò)探究學(xué)習(xí)，滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想。

教學(xué)重點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系的判定方法。

教學(xué)難點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）內(nèi)容提要

直l：Ax+by+C=0，圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2

（二）基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

例題1.已知直線l與圓C：x2+y2=4相切，且分別通過(guò)下列各點(diǎn)，求直線l的方程。

（1）A（0，4） （2）B（2，3） （3）C（1， ）

課堂小結(jié)：過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程需要注意這個(gè)點(diǎn)是否在圓上。

（三）拓展提高

例題2.設(shè)直線l：3x+4y+8=0和圓C：x2+2x+y2-24=0相交于

A、B兩點(diǎn)。（1）求弦AB的長(zhǎng)；（2）求弦AB的垂直平分線的方程。

例題3.過(guò)點(diǎn)（4，0）的直線l與圓C：（x-4）2+（y+2）2=4相交，并且將圓C分割成弧長(zhǎng)之比為1∶2的兩段，求直線l的方程。

（四）課外鞏固

1.已知直線 x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切，則實(shí)數(shù)

m=__________。

A.± B.- 或3

C.-3 或 D.±3

2.已知直線l：x+2y-1=0與圓C：（x-1）2+（y-1）2=1，則圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為_(kāi)_____，最小距離為_(kāi)______。圓C上的點(diǎn)到直線l的距離為 的點(diǎn)有______個(gè)。

3.若方程 =x+b有解，求b的取值范圍。

三、課堂回顧

（一）基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.導(dǎo)入低起點(diǎn)、多樣性

在基礎(chǔ)過(guò)關(guān)中，用了三個(gè)看上去幾乎一樣的題目，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜層層深入。當(dāng)拿到第（1）小題時(shí)，學(xué)生會(huì)習(xí)慣用點(diǎn)斜式假設(shè)直線方程，但在求解過(guò)程中會(huì)有部分學(xué)生聯(lián)立直線與圓的方程，求？駐來(lái)解決：

設(shè)直線方程為y=kx+4

聯(lián)立方程：y=kx+4x2+y2=4 得：（1+k2）x2+8kx+12=0

∵直線與圓相切 ∴？駐=0

即（8k）2-4（1+k2）×12=0

得k=± ∴直線方程為y=± x+4

也有一部分學(xué)生通過(guò)求解圓心到直線的距離d，結(jié)合題目條件d=r進(jìn)行運(yùn)算：

設(shè)直線方程為y=kx+4

圓心（0，0）到直線kx-y+4=0的距離d=

∵直線與圓相切

∴d=r即 =2得k=± ∴直線方程為y=± x+4

對(duì)比兩種解答方法，使學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用d-r法（數(shù)形結(jié)合）的優(yōu)越性，并強(qiáng)化此方法的運(yùn)用。另外本題在設(shè)計(jì)的時(shí)候，考慮到學(xué)生的計(jì)算能力，不再數(shù)字計(jì)算上設(shè)置障礙，題目一出現(xiàn)的時(shí)候，學(xué)生會(huì)有熟悉感，上手快，計(jì)算簡(jiǎn)單。題目設(shè)置的目的是為了激趣、啟智，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，任務(wù)的完成會(huì)讓學(xué)生松了一口氣，也為后面題目的設(shè)置形成一定的鋪墊。

2.題目設(shè)置循序漸進(jìn)

在第（1）小題完成之后，學(xué)生很容易依葫蘆畫瓢地運(yùn)算第（2）小題。

設(shè)直線方程為y-3=k（x-2）即kx-y-2k+3=0

圓心（0，0）到直線的距離d=

∵直線與圓相切

∴d=r即 =2得k=

得到答案只有一個(gè)，而大部分學(xué)生認(rèn)為過(guò)程就此完結(jié)，這時(shí)教師就要提問(wèn)，最后答案是否正確，過(guò)程中可有不妥之處。在這個(gè)過(guò)程中根據(jù)具體情況引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生先判斷出切線的總數(shù)，再讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)遺漏的切線是怎樣的，為什么會(huì)遺漏，切線斜率不存在的判斷，同時(shí)教師可根據(jù)具體情況展示優(yōu)秀學(xué)生的作業(yè)或自我示范解題過(guò)程。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生的主體地位是毋庸置疑的，但教師的主導(dǎo)作用也是非常重要的，教師的引導(dǎo)可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的疑問(wèn)、思考和自主討論，最后促進(jìn)新舊知識(shí)間的相互作用，使整個(gè)思維連貫、完善。

3.最后出奇制勝，使學(xué)生豁然開(kāi)朗

在第（2）小題的基礎(chǔ)上再加上第（3）小題，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷期待─困惑─迷茫─恍然大悟的過(guò)程，通過(guò)3道小題過(guò)山車般的體驗(yàn)，讓學(xué)生自己總結(jié)求切線方程的步驟和需注意的問(wèn)題。雖然提醒簡(jiǎn)單，但存在一定的思維量，這樣遠(yuǎn)比一開(kāi)始就給定一個(gè)規(guī)范的解題過(guò)程要好，學(xué)生的體會(huì)會(huì)深刻得多，這樣也才能使這些知識(shí)成為學(xué)生自己的東西。

在第（3）小題之后，我們?cè)俳o學(xué)生留有時(shí)間，規(guī)范書寫格式。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置是讓學(xué)生體會(huì)用d-r法解決直線與圓的位置關(guān)系的優(yōu)越性和注意事項(xiàng)，同時(shí)在課堂進(jìn)行中慢慢抓住學(xué)生的注意力，在無(wú)形中繃緊上課的神經(jīng)。

（二）拓展提高

1.平行應(yīng)用，強(qiáng)化注意事項(xiàng)

通過(guò)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系中d-r法的必要性和優(yōu)越性有了深刻的體會(huì)，再通過(guò)直線與圓相交的問(wèn)題的探究進(jìn)一步深化d-r法的應(yīng)用范圍。第（1）題的弦長(zhǎng)問(wèn)題應(yīng)該是能簡(jiǎn)單解決的，但第（2）題中求弦的垂直平分線是，學(xué)生仍會(huì)處于迷茫無(wú)助的狀態(tài)，此時(shí)再引導(dǎo)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，與基礎(chǔ)過(guò)關(guān)相呼應(yīng)。

2.變形、深挖主題

直線與圓的位置關(guān)系的考查題型千變?nèi)f化，怎樣讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖象的觀察理解題目的本質(zhì)，是這節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生碰到弧長(zhǎng)比值這個(gè)陌生概念時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用通法，即觀察圖象─判斷直線與圓的位置關(guān)系─應(yīng)用d-r法─求解直線方程。

（三）課外練習(xí)鞏固新知

本節(jié)課是對(duì)直線與圓三種位置關(guān)系的判定及研究，能應(yīng)用相應(yīng)的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)d與r之間的關(guān)系，求解直線方程中的各種問(wèn)題，同時(shí)得出求解過(guò)程的幾個(gè)基本步驟與注意事項(xiàng)。課外鞏固的題型設(shè)計(jì)圍繞本節(jié)課的主題，難度依次上升，最終強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想與解決此類問(wèn)題的通法。

（四）結(jié)課留有余味

本節(jié)課內(nèi)容多，考慮到學(xué)生直線與圓的問(wèn)題的實(shí)用性與深刻性，課堂上題型設(shè)置基本上為求解直線方程，這樣能集中學(xué)生的注意力，提高課堂效率，為后續(xù)題型變換中的本質(zhì)把握打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)課對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求體現(xiàn)在：觀察問(wèn)題時(shí)，抓住特例，做一般推論；認(rèn)識(shí)問(wèn)題時(shí)，挖掘題目?jī)?nèi)涵，揭示關(guān)鍵本質(zhì)。

四、教學(xué)反思

（一）課堂的導(dǎo)入要從學(xué)生的學(xué)習(xí)困難處入手

一種解題思路的形成，要先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的障礙、問(wèn)題的本質(zhì)屬性，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常饘W(xué)生的興趣，讓學(xué)生的思維產(chǎn)生火花，最后才能運(yùn)用已有知識(shí)解決未知問(wèn)題，達(dá)到知識(shí)運(yùn)用融會(huì)貫通的功效。本節(jié)課從基礎(chǔ)過(guò)關(guān)到探索拓展，一步步形成問(wèn)題鏈條，從一般到特殊再回歸一般，步步設(shè)置小障礙，步步深入，在舊問(wèn)題中形成新問(wèn)題，教師適時(shí)提問(wèn)，誘導(dǎo)過(guò)程自然真實(shí)，學(xué)生在不知不覺(jué)中完成了螺旋式上升。

（二）要引導(dǎo)學(xué)生自主思考，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)

新課程改革中重視以學(xué)生的“學(xué)”來(lái)評(píng)價(jià)教師的“教”，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)的狀態(tài)為參照來(lái)評(píng)價(jià)課堂教學(xué)質(zhì)量。學(xué)生是否有濃厚的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)習(xí)具有好奇心和求知欲；是否始終關(guān)注討論的問(wèn)題，并保持較長(zhǎng)時(shí)間的注意力；學(xué)生是否積極主動(dòng)地投入思考，并興致勃勃地參與討論和發(fā)言；遇到困難時(shí)能否主動(dòng)地與他人交流、合作，共同解決問(wèn)題，在學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革中強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)充分考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣點(diǎn)，學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)水平與潛在的能力之間的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生能夠在對(duì)比后受到啟示，在啟示之后能夠模仿，在模仿后逐步完善，在完善中適當(dāng)小結(jié)，之后再加以應(yīng)用，流程過(guò)渡自然，效果水到渠成。

（三）把握好課堂教學(xué)中教師與學(xué)生的地位，充分尊重學(xué)生

課堂教學(xué)中要以學(xué)生的學(xué)為主體，教師起主導(dǎo)作用。我們要在課堂上舍得放手讓學(xué)生做，在巡堂過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)與不足。讓學(xué)生自己做、自己講，在學(xué)生有困惑的時(shí)候適當(dāng)?shù)靥釂?wèn)和引導(dǎo)。把時(shí)間還給學(xué)生，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)通過(guò)自己的努力得來(lái)的知識(shí)遠(yuǎn)比老師強(qiáng)加給他們效果來(lái)得好，久而久之，既能培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的能力，課堂效率也會(huì)相應(yīng)地提高。另外在學(xué)生思考發(fā)言等過(guò)程中不輕易打斷，但在學(xué)生自主學(xué)習(xí)與探究過(guò)程中，教師要始終處于主導(dǎo)地位，放得出去也要能收得回來(lái)，能把控好分寸，為學(xué)生的理解、體驗(yàn)、反思探究與創(chuàng)造提供條件。

（四）處理好學(xué)與講的關(guān)系，注重時(shí)效

本節(jié)課采用分層做、分步理解，學(xué)生自己做、自己講，教師在必要的時(shí)候提問(wèn)、補(bǔ)充。本節(jié)課在問(wèn)題設(shè)置時(shí)充分關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)有水平，圍繞教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)，排除一些干擾因素，凸顯出本節(jié)課的主題與關(guān)鍵，計(jì)算難度不高，雖然有些變化，但深究之后本質(zhì)是一樣的，在思維的關(guān)鍵出設(shè)置難點(diǎn)，讓學(xué)生可以通過(guò)自己的努力，撥開(kāi)烏云見(jiàn)月明。

（五）多媒體手段的應(yīng)用

多媒體手段的應(yīng)用應(yīng)該服務(wù)于教學(xué)，一個(gè)優(yōu)美的課件可以讓學(xué)生賞心悅目，通過(guò)幾何畫板的演示讓學(xué)生能夠直觀發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，但是不能過(guò)度。

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編輯 魯翠紅