李　娜，王 潔

（商丘工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南　商丘　476000）

對多元函數(shù)幾類積分的理解

李娜，王 潔

（商丘工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南商丘476000）

多元函數(shù)的積分是一元函數(shù)定積分在多元函數(shù)上的推廣，本文把多元函數(shù)積分與一元函數(shù)定積分的概念和性質(zhì)加以對比，分析兩者的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生從整體上更好的理解多元函數(shù)積分概念.

定積分；多元函數(shù)積分；對比

多元函數(shù)的積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它是一元函數(shù)定積分在多元函數(shù)上的推廣.由于多元函數(shù)的自變量個數(shù)不同，因而多元函數(shù)的積分是多樣的，有二重積分、三重積分、曲線積分與曲面積分等.

1 重積分、曲線積分、曲面積分概念與定積分概念的對比

一元函數(shù)定積分定義：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a, b］上有定義.

（1）用n-1個分點(diǎn)a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…xn-1＜xn=b將區(qū)間［a,b］任意分割成n個小區(qū)間［xi-1，xi］，i=1，2，…，n，小區(qū)間長為Δ xi=xi-xi-1，i= 1，2，…，n

（2）在每個小區(qū)間［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξ1，作乘積

多元函數(shù)的常見積分形式有二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，這些積分與定積分的思想方法是相同的，都是采取分割、近似代替、求和、取極限的思路.但因?yàn)楹瘮?shù)、定義域與積分和的不同，所以有不同形式的積分.

從以上的對比中可以看出，多元函數(shù)的幾類積分的思想方法與定積分是相同的，都是采取分割、近似代替、求和、取極限的思路.不同之處在于解決不同類型問題，建立不同的理論.二重積分分割的不再是某一區(qū)間，而是平面上某一有界閉區(qū)域；被積函數(shù)也不再是一元函數(shù)，而是二元函數(shù)；二重積分中出現(xiàn)面積元素dσ.類似的，三重積分分割的是空間內(nèi)某一有界閉區(qū)域，被積函數(shù)是三元函數(shù)；三重積分中出現(xiàn)體積元素dv；曲線積分分割的是平面上某一光滑曲線弧；被積函數(shù)是二元函數(shù)；曲面積分分割的是空間內(nèi)某一光滑曲面，被積函數(shù)是三元函數(shù).

2 格林公式、高斯公式與牛頓-萊布尼茨公式的對比

牛頓-萊布尼茨公式

表示一元函數(shù)在區(qū)間上的定積分與它的原函數(shù)在區(qū)間邊界上的值之間的聯(lián)系。

類似的，格林公式

表示二重積分與曲線積分之間的關(guān)系，即一個二元函數(shù)在平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在其區(qū)域邊界曲線上曲線積分之間的聯(lián)系。

類似的，猜想三重積分與曲面積分的關(guān)系，高斯公式

表示一個三元函數(shù)在空間區(qū)域Ω上的三重積分與其“原函數(shù)”在其區(qū)域邊界曲面上曲面積分之間的聯(lián)系.

從以上比較中可以看出，利用格林公式可以把曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分，二重積分的計算方法比較多，學(xué)生計算起來更為簡單.同樣，利用高斯公式可以把曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分，三重積分的計算相對容易些，從而把復(fù)雜的積分化為相對容易些的積分.

3 重積分、曲線積分性質(zhì)與定積分性質(zhì)的對比

定積分、二重積分、三重積分、曲線積分都具有以下性質(zhì)：

（1）積分的線性性質(zhì)；

（2）積分的可加性；

（3）被積函數(shù)恒等于1時幾何意義，其中

（4）積分的單調(diào)性；

（5）絕對可積性；

（6）積分估值定理:

（a）定積分估值定理：設(shè)M,m分別是f（x）在［a, b］上的最大值與最小值，則

（b）二重積分的估值定理：設(shè)M,m分別是f（x,y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，則

（7）積分中值定理：

（a）定積分的中值定理：設(shè)f（x）在［a,b］上連續(xù)，則存在ξ∈［a,b］，使得

（b）二重積分的中值定理：設(shè)f（x,y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在 D上至少存在（ξ，η），使得

通過多元函數(shù)積分與定積分的概念和性質(zhì)的對比，學(xué)生能夠更好理解多元函數(shù)積分概念，同時掌握多元函數(shù)積分的計算及其相互轉(zhuǎn)化.

［1］龔德恩，范培華.微積分［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2008:187-188.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.第6版.北京：高等教育出版社，2007134-215.

［3］馬建珍.論《數(shù)學(xué)分析》課程的整合［J］.邢臺學(xué)院學(xué)報，2013（2）:160-161.

U nderst andi ngof Mult i pl e Funct i ons for Several Types of Int egral

LINa，WANGJie
（BasicTeachingDepartment，ShangqiuInstituteofTechnology，ShangqiuHenan476000）

Integrationofmultivariatefunctionisageneralizationofabinaryfunctionofdefinite integral in the function of many variables.In this paper，the concept and nature of multi-function integration is compared with the functions of one variable definite integral，both the differences and connections are analyzed.As a result，students can better understand the whole concept of multi-functionintegral.

DefiniteIntegral；MultivariateFunctionIntegration；Contrast

O 172.2

A

1672-2094（2015）01-0152-02

責(zé)任編輯：張隆輝

2014-11-24

李娜（1984-），女，河南商丘人，商丘工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部助教，碩士。研究方向：微分方程數(shù)值解。