王庶

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問(wèn)題，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 由于它是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此在解題的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到一些函數(shù)的思想方法，其中待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)就是一種非常不錯(cuò)的思想方法. 尤其是在已知數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題上的應(yīng)用，一般是先運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造一個(gè)新的遞推關(guān)系式，然后與原遞推關(guān)系式對(duì)應(yīng)系數(shù)相等從而解決問(wèn)題. 本文就這類問(wèn)題做一個(gè)歸類分析，以供大家參考.

[an+1=pan+q（p，q均為常數(shù)）]型

此類型屬于數(shù)列線性遞推關(guān)系式求通項(xiàng)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求這類通項(xiàng)問(wèn)題是一種比較常規(guī)的方法. 一般將[an+1=pan+q（p，q均為常數(shù)）]構(gòu)造成[an+1+r=p（an+r）]（[p]為常數(shù)）形式，注意參數(shù)[r]的引入.

例1 ?若[a1=1]，[an+1=2an+3，]求數(shù)列[an]的通項(xiàng).

解析 ?令[an+1+r=2（an+r）]，則[an+1=2an+r].

[∵][an+1=2an+3，]

[∴]由待定系數(shù)法可得，[r=3，]即[an+1+3=2（an+3）].

[∴][an+1+3an+3=2].

[∴]數(shù)列[{an+3}]是一個(gè)公比為[2]的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為[an+3=a1?2n+1].

又[∵a1=1]，

[∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n+1-3].

[an+1=pan+qn]（[p，q]為常數(shù)）型

此類型屬于數(shù)列非線性遞推關(guān)系式求通項(xiàng)問(wèn)題，一般將原式[an+1=pan+qn]（[p，q]為常數(shù)）構(gòu)造成[an+1+λqn+1][=p（an+λqn）]（[p，q]為常數(shù)），注意參數(shù)[λ]的引入和[an]的系數(shù)[p]的提取.

例2 ?若[a1=1，][an+1+an=3?2n，]求數(shù)列[an]的通項(xiàng).

解析 ?令[an+1+λ?2n+1=-（an+λ?2n）]，

則[an+1+an=-λ?2n+1-λ?2n=-3λ?2n].

由待定系數(shù)法可知，[λ=-1].

即[an+1-2n+1=-（an-2n）]，

[∴an+1-2n+1an-2n=-1].

[∴]數(shù)列[{an-2n}]是公比為[-1]的等比數(shù)列.

又因?yàn)閇a1=1]，

所以其通項(xiàng)為[an-2n=（a1-2）?（-1）n-1=（-1）?（-1）n-1.]

[∴an=2n+（-1）n].

例3 ?若[a1=1，an+1+2an=3?2n，]求數(shù)列[an]的通項(xiàng).

解析 ?例3是例2的一種變式，方法同例2.

令[an+1+λ?2n+1=-2（an+λ?2n），]

則[an+1+2an=-λ?2n+1-2λ?2n=-4λ?2n]

由待定系數(shù)法可得，[λ=-34]，

即[an+1-34?2n+1=-2（an-34?2n）.]

[∴an+1-34·2n+1an-34·2n=-2].

[∴]數(shù)列[{an-34·2n}]是公比為[-2]的等比數(shù)列.

又[a1=1]，

所以其通項(xiàng)為[an-34·2n=（1-34·2）?（-2）n-1][=（-2）n-2].

[∴an=34·2n+（-2）n-2].

[an+1=pan+nq+r（p，q，r均為常數(shù)）]型

此類型屬于數(shù)列線性遞推關(guān)系式求通項(xiàng)的另一類問(wèn)題，它是在第一種類型的基礎(chǔ)上多了一個(gè)非常數(shù)項(xiàng)[nq]. 對(duì)于這類遞推關(guān)系，一般將其構(gòu)造為[an+1+x（n+1）+y][=p（an+xn+y）]（[p]為常數(shù)）的形式，注意引入了兩個(gè)參數(shù)[x，y.]

例4 ?已知[a1=2，][an+1=2an+3n+1，]求數(shù)列[an]的通項(xiàng).

解析 ?令[an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y）]，

則[an+1=2an+xn-x+y].

由待定系數(shù)法對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得，

[x=3，-x+y=1，?x=3，y=4.]

[∴an+1+3（n+1）+4=2（an+3n+4）.]

所以數(shù)列[{an+3n+4}]是公比為[2]的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為[an+3n+4=（a1+7）·2n-1=9·2n-1].

[∴an=9·2n-1-3n-4].

[an+1=pan+qn+r（p，q，r均為常數(shù)）]型

此類型屬于數(shù)列非線性遞推關(guān)系式求通項(xiàng)問(wèn)題，它是在第二類型問(wèn)題基礎(chǔ)上多了一個(gè)常數(shù)[r]. 對(duì)于這類遞推關(guān)系，一般將其構(gòu)造成[an+1+xqn+1+y][=p（an+xqn+y）]（[p，q]為常數(shù)）的形式，然后根據(jù)題目條件，運(yùn)用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等的方法求出相關(guān)系數(shù)，其中要注意參數(shù)[x，y]的引入.

例5 ?已知[a1=1]，[an+1=2an+3n+1，]求數(shù)列[an]的通項(xiàng).

解析 ?令[an+1+x3n+1+y=2（an+x3n+y）]，

則[an+1=2an-x3n+y].

由待定系數(shù)法對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得，[x=-1，y=1.]

[∴an+1-3n+1+1=2（an-3n+1）].

即數(shù)列[{an-3n+1}]是公比為[2]的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為[an-3n+1=（a1-2）·2n-1].

又[a1=1，]

[∴]通項(xiàng)公式為[an=3n-2n-1-1].

數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題在每年的高考中都有考查，其方法多種多樣，靈活多變. 待定系數(shù)法作為數(shù)學(xué)的基本思想方法，應(yīng)用非常廣泛，它在已知數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)問(wèn)題中的應(yīng)用，只不過(guò)是它的冰山一角. 如果我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中注意積累，做個(gè)有心人，你將會(huì)有意想不到的收獲.