基于APOS理論下數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)的探討

文/曾云輝王艷群肖娟

摘要：本文通過分析APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)的可行性、基本模式以及注意事項(xiàng)，闡述了如何應(yīng)用APOS理論提高數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)的效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；APOS理論；教學(xué)設(shè)計(jì)

作者簡(jiǎn)介：曾云輝(1978—)，男，湖南衡陽人，講師。

中圖分類號(hào):G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-9214(2015)09-0088-02

基金項(xiàng)目：2014年衡陽師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目資助(項(xiàng)目編號(hào)：JYKT201403)。

引言

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，也是解決數(shù)學(xué)問題的前提，它在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)和學(xué)習(xí)中占有重要的地位。只有正確理解數(shù)學(xué)概念，學(xué)生才能更好的掌握數(shù)學(xué)分析這一門學(xué)科。然而學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)分析有畏難情緒，數(shù)學(xué)分析中的概念又比較抽象，在數(shù)學(xué)分析中又是難中之難。那么如何才能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析中概念的理解與學(xué)習(xí)成為擺在教師面前的迫切義務(wù)，本文將討論如何應(yīng)用APOS理論來提高數(shù)學(xué)分析中概念的教學(xué)效率,應(yīng)用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)分析中的概念教學(xué)，幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)概念，也讓教師在備課和上課中有一些依據(jù)去把握課堂，在一定程度上提高了數(shù)學(xué)分析課堂的效率。

1.APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)的可行性

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的具體性和抽象性等特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)的過程中，如果把抽象的概念轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，也就容易被學(xué)生掌握，結(jié)合APOS理論，操作階段就相當(dāng)于現(xiàn)實(shí)客觀的具體化再現(xiàn)，應(yīng)用抽象性概念，使它具體化，就可以理解為是理論到實(shí)際的過程，使概念具體化，而過程階段與抽象性思維類似，圖式階段便是具體與抽象的靈活轉(zhuǎn)換階段。

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的定義方式，數(shù)學(xué)概念具有內(nèi)涵和外延的雙重性，概念的內(nèi)涵是指本質(zhì)屬性，我們把一個(gè)所反映的所有對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和，叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵。我們概念所適合的全部范圍，叫做概念的外延。APOS理論就是把定量的問題作用于學(xué)生，讓其自己進(jìn)行思維操作，抽象思考出概念的內(nèi)涵，主動(dòng)的經(jīng)歷概念形成的過程，掌握概念的本質(zhì)。

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的二重性，數(shù)學(xué)概念可以分為過程和對(duì)象兩個(gè)不同的方面。過程就是具備了一定的可操作性的公式、原理、法則等；而對(duì)象則是數(shù)學(xué)定義的結(jié)構(gòu)關(guān)系。大部分的概念即有過程和操作的表現(xiàn)，又有對(duì)象和結(jié)構(gòu)的形式，這就是概念的二重性。數(shù)學(xué)思維的認(rèn)知發(fā)展不是人們隨意編排出來的，而是具有從過程到對(duì)象的先后順序；APOS理論具有從操作階段到圖式階段的順序過程，正是符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律的；因此，APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析中的概念教學(xué)是可行的。

2.APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)的模式

教學(xué)模式是指圍繞著數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的某一主題，在一定的教學(xué)思想指導(dǎo)下，形成穩(wěn)定化和系統(tǒng)化的相對(duì)穩(wěn)定的教學(xué)模型。應(yīng)用APOS理論于數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)可以分為以下幾個(gè)階段：

(1)在“活動(dòng)”階段，教師先要確定好教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再以感性材料作為基礎(chǔ)去設(shè)計(jì)活動(dòng)，材料要注重典型性、適度性和有效性。這一階段的目的是啟動(dòng)學(xué)生的思考，如果所提供的感性材料數(shù)量太少又不典型，會(huì)直接的影響下一階段對(duì)概念本身特征的把握和提煉。但是如果材料使用過度，那不但浪費(fèi)了時(shí)間，也會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生乏味的感覺。所以，在設(shè)計(jì)“活動(dòng)”時(shí)，我們要充分發(fā)揮學(xué)生參與操作的積極性，找準(zhǔn)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”。

(2)在“過程”階段，需要教師運(yùn)用探索性和漸進(jìn)性的問題去啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”階段進(jìn)行主動(dòng)地思考?！盎顒?dòng)”只為學(xué)生提供了思維的土壤，問題才能引導(dǎo)思維的深入。通常，教師可以提問學(xué)生“你想到了什么？”、“你是如何得到這一結(jié)論的”、“你為什么會(huì)有這樣的想法”等。要讓學(xué)生自己思考、自己發(fā)現(xiàn)問題、自己尋求解決辦法。有時(shí)候“過程”的抽象概括很難，這就需要老師有針對(duì)性的引導(dǎo)；用由淺入深的問題，讓學(xué)生不斷調(diào)整思考的方向，對(duì)感覺進(jìn)行分析、加工和提煉，形成“對(duì)象”的升華，“圖式”的建構(gòu)。

(3)在“對(duì)象”階段，學(xué)生只是初步掌握了概念的形式，對(duì)它的本質(zhì)含義還不是很清楚。這時(shí)，就需要用更多的“活動(dòng)”和“過程”幫助學(xué)生從“對(duì)象”上升到“圖式”階段。這個(gè)階段可以充分發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢(shì)，用例題作為“活動(dòng)”，把概念的本質(zhì)和非本質(zhì)區(qū)分開來。同時(shí)用開放的實(shí)際情景，讓學(xué)生自己提出反面論證，構(gòu)建概念知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，多方面豐富學(xué)生對(duì)“對(duì)象”的理解，幫助學(xué)生上升認(rèn)識(shí)層次，讓學(xué)生學(xué)習(xí)后進(jìn)行自我反思，達(dá)到在反思中建構(gòu)新“圖式”。

(4)剛開始個(gè)體可能從局限于某個(gè)特殊公式來思考某個(gè)概念，跟隨個(gè)體思維的發(fā)展，學(xué)生便會(huì)對(duì)所學(xué)對(duì)象和已有圖式進(jìn)一步加工，然后逐漸形成更加復(fù)雜的“新圖式”。因此，在APOS理論的指導(dǎo)下，不同概念的建構(gòu)更多的是螺旋上升的而不是線性的。

3.APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課程中概念教學(xué)需要注意的問題

數(shù)據(jù)庫(kù)包含兩部分，空間數(shù)據(jù)庫(kù)和屬性數(shù)據(jù)庫(kù)。考慮數(shù)據(jù)存儲(chǔ)規(guī)模以及軟件系統(tǒng)性質(zhì)，數(shù)據(jù)庫(kù)采用微軟公司的SQL Server2008。屬性數(shù)據(jù)庫(kù)從機(jī)井信息，配水情況信息，實(shí)時(shí)監(jiān)控情況，歷史記錄情況等多個(gè)方面綜合考慮進(jìn)行搭建。

(1)APOS理論的四個(gè)階段是連續(xù)的過程

APOS理論是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過程，它的四個(gè)操作階段是概念在學(xué)生腦海中建立的必經(jīng)之路，所以，他們是相對(duì)連續(xù)的過程。如果忽略了其中某個(gè)階段，比如，忽略“P”階段，直接從“A”階段跳到“O”階段,或者跨越“O”階段直接跳到最后的“S”階段，這都是不現(xiàn)實(shí)的。因?yàn)楦拍钤趯W(xué)生頭腦的構(gòu)建過程中，任何一個(gè)階段都是必不可少的，如果缺少了其中某一個(gè)階段，那么建立起來的數(shù)學(xué)概念根基就不會(huì)牢固，學(xué)生在以后看問題會(huì)缺乏抽象性，難以提升知識(shí)或熟練運(yùn)用概念。

(2)切忌機(jī)械照搬APOS理論的四個(gè)階段

在運(yùn)用過程中，需要注意APOS四個(gè)階段的連續(xù)性，但是它的順序并不是絕對(duì)的，學(xué)生在進(jìn)行某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)時(shí)，有必要進(jìn)行某些階段的循環(huán)交替，特別是四階段的中間兩個(gè)階段。

一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對(duì)象”的建立，有時(shí)候非常困難，這就需要經(jīng)過反復(fù)多次的循序漸進(jìn)，采用螺旋上升的教學(xué)模式，直到學(xué)生能真正理解概念。決不能一蹴而就，忽略概念在學(xué)生頭腦中的生成過程。在應(yīng)用過程中，應(yīng)該選取生動(dòng)、新穎的活動(dòng)，例題的設(shè)計(jì)應(yīng)該層次分明。因此教師在課堂上不能只按照四個(gè)階段嚴(yán)格進(jìn)行，而應(yīng)該循環(huán)交替的進(jìn)行教學(xué)。

(3)過分強(qiáng)調(diào)活動(dòng)操作

概念的形成，需要聯(lián)系實(shí)際，尋找它生存的現(xiàn)實(shí)土壤，需要利用活動(dòng)讓學(xué)生感知問題，積極思考，從現(xiàn)實(shí)情境中去發(fā)散數(shù)學(xué)思維，但是這并不意味著數(shù)學(xué)的

目前，在以學(xué)生為本的教學(xué)理念指導(dǎo)下，大多數(shù)教師都注意到了要相信學(xué)生，發(fā)展學(xué)生，積極引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，理解數(shù)學(xué)知識(shí)。反而忽略了教師的主導(dǎo)性，忘記教師本身應(yīng)該充當(dāng)學(xué)習(xí)的組織者合作者的角色，一堂課下來，活動(dòng)多，學(xué)生積極參與的機(jī)會(huì)多，但卻沒有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)論進(jìn)行總體概括。為了讓學(xué)生深刻理解概念，需要教師不但要重視教學(xué)知識(shí)過程的引導(dǎo)，還要注重對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的整體梳理。要求教師幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念需要把握的要點(diǎn)和一節(jié)課的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

(作者單位：衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)

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