產(chǎn)品最優(yōu)求解問(wèn)題中運(yùn)籌學(xué)方法的應(yīng)用

張青等

【關(guān)鍵詞】運(yùn)籌學(xué)；最優(yōu)利潤(rùn)；最優(yōu)產(chǎn)量；線性規(guī)劃；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；決策

“韓信點(diǎn)兵，多多益善”，“運(yùn)籌”本意是算籌，后引伸為謀略，最早出于漢高祖劉邦對(duì)張良的一句評(píng)價(jià)：“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外?！爆F(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)的起源可追溯到某些機(jī)構(gòu)的管理中最先試用的科學(xué)手段 ，現(xiàn)在普遍認(rèn)為，運(yùn)籌學(xué)是從第二次世界上大戰(zhàn)初期的軍事任務(wù)開(kāi)始的。所謂運(yùn)籌學(xué)，是應(yīng)用于數(shù)學(xué)的和形式科學(xué)的跨領(lǐng)域研究，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)模型等方法去尋找復(fù)雜問(wèn)題的最佳答案。韓信點(diǎn)兵，并不僅僅是多多益善的問(wèn)題，而更重要的卻是“運(yùn)籌帷幄”問(wèn)題，否則將難以發(fā)揮一個(gè)組織系統(tǒng)的效率和作用。運(yùn)籌學(xué)作為一門(mén)新興科學(xué)，貫穿著效率和資源最優(yōu)化的原則，在社會(huì)生活的廣泛領(lǐng)域有著實(shí)用和科學(xué)的價(jià)值。對(duì)現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜問(wèn)題，都可以用運(yùn)籌學(xué)的方法進(jìn)行解決，并改善和優(yōu)化現(xiàn)有系統(tǒng)的效率。本文意圖從運(yùn)籌學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的廣泛運(yùn)用這一方面出發(fā)，分析、論證其對(duì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)進(jìn)行定量分析和決策，以及對(duì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中人力、物力、財(cái)力等資源進(jìn)行系統(tǒng)安排的過(guò)程，進(jìn)而得出運(yùn)籌學(xué)具有實(shí)現(xiàn)科學(xué)管理，為決策者提供最佳方案，取得最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益的實(shí)效性和科學(xué)性的結(jié)論。

1 產(chǎn)品最優(yōu)求解問(wèn)題中運(yùn)籌方法運(yùn)用的一般步驟

在產(chǎn)品最優(yōu)求解問(wèn)題中，經(jīng)常用到的是運(yùn)籌學(xué)里的兩個(gè)分支：線性規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃，用它們來(lái)求產(chǎn)品最優(yōu)求解問(wèn)題時(shí)的主要步驟如下：

1.1 在運(yùn)用線性規(guī)劃和單純形法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)建立數(shù)學(xué)模型一般有以下三個(gè)步驟：

（1） 提出來(lái)需要解決的問(wèn)題并建立變量；

（2） 確定目標(biāo)函數(shù)；

（3）分析問(wèn)題所處的環(huán)境以及約束條件。

1.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟

設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通常可按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫(huà)其結(jié)構(gòu)特征。

（2）遞歸的定義最優(yōu)解。

（3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式計(jì)算出最優(yōu)值。

（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造問(wèn)題的最優(yōu)解。

2 產(chǎn)品最優(yōu)利潤(rùn)求解問(wèn)題中運(yùn)籌方法的運(yùn)用

應(yīng)用學(xué)科的科學(xué)性體現(xiàn)在其具備有效的科學(xué)方法上，運(yùn)籌學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的方法主要有線性規(guī)劃。在經(jīng)濟(jì)管理中，線性規(guī)劃是目前應(yīng)用最廣泛的、比較成熟的一種優(yōu)化法，它經(jīng)常運(yùn)用在生產(chǎn)計(jì)劃、物資調(diào)用、資源優(yōu)化配置等方面。作為生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)管理者，常常會(huì)遇到的這類問(wèn)題：一是如何有效協(xié)調(diào)、解決勞動(dòng)力、資金等資源條件之間矛盾，爭(zhēng)取資源最大效益化；二是針對(duì)某一特定的工作目標(biāo)時(shí)，如何合理組織生產(chǎn)，安排工藝流程，調(diào)整產(chǎn)品的成份，以使資源消耗最少。

例1：多品種多步驟產(chǎn)品最優(yōu)利潤(rùn)求解模型研究

某生產(chǎn)車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品都要經(jīng)過(guò)兩道工序，即在設(shè)備A和設(shè)備B上加工，但兩種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)卻不相同。已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的有效時(shí)間（單位：小時(shí)）及利潤(rùn)見(jiàn)表1。問(wèn)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能使所獲利潤(rùn)最大。

分析：該問(wèn)題所需確定的是甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，先建立其數(shù)學(xué)模型。

設(shè)x1，x2分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量，x1，x2稱為決策變量，根據(jù)問(wèn)題所給的條件有

上述問(wèn)題要確定的目標(biāo)是：如何確定產(chǎn)量x1和x2，才能使所獲利潤(rùn)為最大。利潤(rùn)的獲取和x1，x2密切相關(guān)，以f表示利潤(rùn)，則得到一個(gè)線性函數(shù)式

所給問(wèn)題的目標(biāo)是要使線性函數(shù)f取得最大值，即目標(biāo)函數(shù)是

以上是決策變量x1，x2受限的條件，把它們合起來(lái)稱之為約束條件。

則本例的數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為：

引入松馳變量x3，x4，將問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

目標(biāo)函數(shù)改寫(xiě)為

將約束條件的增廣矩陣和改寫(xiě)后的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)填入下表中，得到的表稱為單純形表：

因表1中檢驗(yàn)數(shù)非正，得最優(yōu)解，除去松馳變量后得；它表示：甲產(chǎn)品生產(chǎn)10件，乙產(chǎn)品生產(chǎn)15件時(shí)，最大利潤(rùn)為1100元。

3 產(chǎn)品最優(yōu)產(chǎn)量求解問(wèn)題中運(yùn)籌放得運(yùn)用

事物的發(fā)展往往復(fù)雜的、多變的，線性規(guī)劃和單純形法不能解決一些復(fù)雜問(wèn)題，因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃逐漸發(fā)展成為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，先求解子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題的解得到原問(wèn)題的解。對(duì)于經(jīng)濟(jì)管理中法最短路線、資源分配、設(shè)備更新、庫(kù)存管理、裝載等問(wèn)題，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以很方便地求解。當(dāng)然，動(dòng)態(tài)規(guī)劃也不是萬(wàn)能的，有它的局限性，適合用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決問(wèn)題必須滿足最優(yōu)化原理和無(wú)后效性法的條件。

例2：不同產(chǎn)品負(fù)荷下最優(yōu)產(chǎn)量動(dòng)態(tài)規(guī)劃研究

某工廠購(gòu)進(jìn)1000臺(tái)機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床都可在高、低兩種不同的負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，在高負(fù)荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為g（x）=10x（單位：百件），其中x為投入生產(chǎn)的機(jī)床數(shù)量，年完好率為；在低負(fù)荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為h（y）=6y（單位：百件），其中y為投人生產(chǎn)的機(jī)床數(shù)量，年完好率為b=0.9。計(jì)劃連續(xù)使用5年，試問(wèn)每年如何安排機(jī)床在高、低負(fù)荷下的生產(chǎn)計(jì)劃，使在五年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品總產(chǎn)量達(dá)到最高。

分析：狀態(tài)變量sk取為第k年度度初具有的完好機(jī)床臺(tái)數(shù)。

決策變量xk為第k年度中分配在高負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器臺(tái)數(shù)，則為第k年度中分配在低負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器臺(tái)數(shù)（假定xk、sk皆為連續(xù)變量）。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方方程為：

第k年度的產(chǎn)量為：

最優(yōu)值函數(shù)表示擁有機(jī)床數(shù)為sk時(shí)，從第k年度至第五年度采取最優(yōu)分配方案進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)所獲得的最大總產(chǎn)量。

則動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程為：

再?gòu)牡?年度開(kāi)始，用逆推歸納法進(jìn)行計(jì)算。

計(jì)算結(jié)果表明：最優(yōu)策略為

。

即頭兩年應(yīng)該把年初全部機(jī)床投入低負(fù)荷生產(chǎn)，后三年應(yīng)該把年初全部機(jī)床投入高負(fù)荷生產(chǎn)。這樣會(huì)使產(chǎn)量最高，最高產(chǎn)量為29139百件產(chǎn)品。而且，從求解的過(guò)程中反過(guò)來(lái)就能確定每年年初的狀態(tài)，即每年年初所擁有的完好機(jī)器臺(tái)數(shù)。已知s1=1000，于是可得如下結(jié)論：第一年將1000臺(tái)機(jī)器全部投入到低負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，第一年末機(jī)床完好數(shù)是900臺(tái)，第二年將900臺(tái)機(jī)器繼續(xù)投入到低負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，第二年末機(jī)床完好數(shù)是810臺(tái)，第三年將810臺(tái)機(jī)床全部投入到高負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，第三年末機(jī)床完好數(shù)是567臺(tái)，第四年將567臺(tái)機(jī)床全部投入到高負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，第四年末機(jī)床完好數(shù)是397臺(tái)，第五年將397臺(tái)機(jī)床投入到高負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，這樣第五年末剩下的完好機(jī)床數(shù)是278臺(tái)，五年生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)為29139（百件）。

隨著科學(xué)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和進(jìn)步，運(yùn)籌學(xué)也不斷的發(fā)展完善成為近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它將生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中的一些難以解決的問(wèn)題模型化，然后用運(yùn)籌學(xué)的方法加以解決，為決策者提供定量、定性分析，幫助決策者做出最優(yōu)決策。

參考文獻(xiàn)

[1]何堅(jiān)勇編著.運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[2]趙鳳至，最優(yōu)化計(jì)算方法.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983.

[3]運(yùn)籌學(xué)教材編寫(xiě)組.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.