弱鏈對角占優(yōu)M－矩陣最小特征值的下界研究

李艷艷，蔣建新 （文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山663000）

弱鏈對角占優(yōu)矩陣在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，可以用于大規(guī)模數(shù)字電路的設(shè)計(jì)，解決大型線性方程組中的矩陣分裂，證明矩陣分裂迭代方法的收斂性等問題。對于弱鏈對角占優(yōu)矩陣的研究，自從1996年P(guān).N.Shivakumar給出一些經(jīng)典結(jié)果以來，關(guān)于它的研究一直就沒有間斷過，并得到了許多有價值的結(jié)果。

1 基本概念

設(shè)Cn×n（Rn×n）表示n×n復(fù)（實(shí)）矩陣的集合，N＝ ｛1，2，…，n｝；A＝（aij）∈Rn×n表示n階實(shí)方陣；Ri；J（A）＝ ｛i∈N：di＜1｝；sji＝i，i，j∈ N；，j≠i，j∈N；pi＝∈N。

定義1 集合Zn×n＝ ｛A＝（aij）｜A∈Rn×n，aij≤0，?i，j∈N，i≠j｝中的矩陣稱為Z－ 矩陣；若A為Z－矩陣且A－1≥0（A－1為非負(fù)矩陣），則稱A為非奇異M－矩陣。

定義2 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n，若di≤1，J（A）≠，且對iJ（A），必存在非零元素鏈，其中i1≠i≠i2，…，ir≠ik，0≤r≤k－1，ik∈J（A），則稱A為弱鏈對角占優(yōu)矩陣（WCDD）。

定義3 若將矩陣A＝（aij）∈Cn×n分裂為A＝D－C（D為A的對角矩陣，即D＝diag（a11，a22，…，ann），則矩陣JA＝D－1C稱為A的迭代矩陣。

文獻(xiàn)［1］給出了關(guān)于弱鏈對角占優(yōu)矩陣A＝（aij）∈Rn×n的逆矩陣A－1＝（αi）j元素的估計(jì)式：

且對任意的i∈N，有：

下面，筆者借助弱鏈對角占優(yōu)M－矩陣A的逆矩陣A－1的非主對角元素上界估計(jì)式給出了主對角元素新的估計(jì)式，從而與該類矩陣的最小特征值τ（A）經(jīng)典的下界估計(jì)式結(jié)合得到新的提高的且易于計(jì)算的界。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)的M－ 矩陣，A－1＝（αij），則：

且對任意的i∈N，有：

證明 因?yàn)锳是M－矩陣，所以αij≥0，即：

也即：

兩邊取絕對值應(yīng)用式（1）得：

又由定理1的條件去掉絕對值得｜αjj｜≤－，即式（3）得證。

由AA－1＝I，有＝1，則應(yīng)用式（3）有：

則：

即：

則式（4）的右邊得證。左邊的證明類似。

引理1［2］設(shè)M＝（βij）是非奇異的M－ 矩陣，N＝（γij）是與M具有相同階數(shù)的非負(fù)矩陣，N＝M－A，M－1N＝JA，則：

引理2［2］設(shè)A＝（aij）是非奇異的M－ 矩陣，A－1＝（αij），則：

式中，ρ（JA）是A的Jacobi迭代矩陣JA的譜半徑。

定理2 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)的M－矩陣，則：

證明 因?yàn)锳是弱鏈對角占優(yōu)的M－矩陣，應(yīng)用定理1得：

所以：

又由引理1知ρ（JA）則：

將式（7）與式（8）代入引理2中的不等式（5）得式（6）。

式（5）中的ρ（JA）當(dāng)矩陣的階數(shù)較大時，很難計(jì)算，所以引理2的實(shí)際價值并不是太高，可是定理2中的估計(jì)式（6）只涉及矩陣A的元素，所以比式（5）更加容易計(jì)算。

3 數(shù)值算例

設(shè)A容易驗(yàn)證A是弱鏈對角占優(yōu)的M－矩陣，應(yīng)用定理2知τ（A）≥0.8723；但是應(yīng)用引理2得到τ（A）≥0.4569，事實(shí)上τ（A）＝1.0424。

該算例進(jìn)一步說明了定理2提高了引理2的結(jié)果，并且新的估計(jì)式只與矩陣的元素有關(guān)，因而更容易計(jì)算。

［1］Li Houbiao，Huang Tingzhu，Li Hong.Lower bounds for the eigenvalue of Hadamard product of an M－matrix and its inverse ［J］.Linear Algebra Appl，2007，420：235～247.

［2］Tian Guixian，Huang Tingzhu.Inequalities for the minimum eigenvalue of M－matrices ［J］.Electronic Journal of Linear Algebra，2010，78：291～302.