求解常微分方程邊值問(wèn)題的差分方法

郭曉曄，蹇玲玲

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院基礎(chǔ)部，山東青島266106)

0 引言

常微分方程邊值問(wèn)題在空間科學(xué)與工程技術(shù)中有著重要的應(yīng)用，如工程學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中的大量數(shù)學(xué)模型，常用常微分方程邊值問(wèn)題來(lái)描述。除了少數(shù)特殊類型外，常微分方程邊值問(wèn)題的精確解很難用解析形式來(lái)表示，這樣尋求用近似方法求得其數(shù)值解顯得尤為重要。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，其近似解在理論和方法上都有很大的發(fā)展，并且在各個(gè)領(lǐng)域上的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。在微分方程的數(shù)值解法中，差分法不僅是最重要的方法之一，而且也是最有效的方法之一，具有普遍的適用性。

利用差分法求解微分方程的邊值問(wèn)題時(shí)，邊界條件的處理方式影響著差分解的性質(zhì)和精度。隨意的邊界處理方式可能導(dǎo)致差分解的發(fā)散，而巧妙的邊界近似不僅保證了差分解的收斂，還使差分解具有較高的精度。本文簡(jiǎn)要闡述了差分方法的基本思想，討論了求解常微分方程的邊值問(wèn)題的差分方法，并探討了邊界條件的處理方式，并將這兩種處理方式的結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 常微分方程的邊值問(wèn)題

二階常微分方程

常見的三種邊界條件:

其中 α，β，α0，α1，β0，β1為常數(shù)，(1)與(2)構(gòu)成第一邊值問(wèn)題，(1)與(3)構(gòu)成第二邊值問(wèn)題，(1)與(4)構(gòu)成第三邊值問(wèn)題。

2 差分格式的建立

差分法的基本思想是用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格代替連續(xù)的定解區(qū)域，這有限個(gè)離散點(diǎn)稱為網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn);用網(wǎng)格上定義的離散函數(shù)近似代替定解區(qū)域上的連續(xù)變量函數(shù)，離散函數(shù)和定解條件構(gòu)成差分方程，解該方程即可得到邊值問(wèn)題的解在各節(jié)點(diǎn)上的近似值，即問(wèn)題的數(shù)值解。

以第二邊值問(wèn)題為例，介紹二階線性微分方程邊值問(wèn)題的差分方法。

其中α，β為常數(shù)，p(x)，q(x)，r(x)為連續(xù)函數(shù)。由解的存在唯一性定理知，問(wèn)題(5)有唯一解［1］。

記 pk=p(xk)，qk=q(xk)，rk=r(xk)將(7)，(8)代入(5)得

上述方程的截?cái)嗾`差為ο(h2)

3 關(guān)于邊界條件的處理

3.1 一般方法

對(duì)于邊界條件y'(a)=α，y'(b)=β的處理，一般處理方式采用以下簡(jiǎn)單差商公式

其截?cái)嗾`差為ο(h)，比微分方程的誤差ο(h2)低一階。

由 y'(a)=α，y'(b)=β則，它們跟差分方程(5)(6)構(gòu)成含有n+1個(gè)未知元y0，…，yn的n+1個(gè)線性方程組。

3.2 改進(jìn)方法

由于微分方程離散化的截?cái)嗾`差為ο(h2)，可以利用數(shù)值微分公式對(duì)邊界條件給出相同階的誤差。

將邊界條件離散化，得差分方程

其截?cái)嗾`差為ο(h2)，與微分方程離散化的截?cái)嗾`差相同，因此該方法有較高的精度。將(5)(9)(10)聯(lián)立，得出方程的數(shù)值解。

4 算例

為了驗(yàn)證所提出的方法的有效性，用該方法作了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將計(jì)算結(jié)果與解析解進(jìn)行了比較。

例 用差分方法解微分方程的邊值問(wèn)題

x 一般方法數(shù)值解 改進(jìn)方法數(shù)值解 解析解π 10－0.889085789－0.865485209－0.858133763 2π 1 0－0.754628816－0.708173272－0.687926572 3π 1 0－0.63955847－0.602859046－0.540438744 4π 1 0－0.555231761－0.511910543－0.430107414 5π 1 0－0.474117905－0.428450517－0.333333333 6π 1 0－0.346210537－0.302704034－0.203930261 7π 1 0－0.126121482－0.089069874 0.001094083 8π 1 0 0.200280807 0.227220625 0.296069738 9π 1 0 0.600781730 0.614950857 0.652122435

5 結(jié)論

差分法是求常微分方程數(shù)值解的常用方法之一，利用差分法研究了常微分方程的邊值問(wèn)題，給出了邊界條件的兩種處理方法，并將兩種處理結(jié)果與解析解進(jìn)行了比較，計(jì)算結(jié)果表明，用改進(jìn)的處理方法求得的數(shù)值解具有較高的精度。

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