初中數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)方法淺探

■ 唐克明

歸納法是初中數(shù)學(xué)重要的思維方法之一，它和演繹法、類比法、待定系數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合法等都?xì)w屬于數(shù)學(xué)方法性知識。新版的《初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》對歸納法的掌握提出了明確的要求：要“會用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理”。可見，初中數(shù)學(xué)教師要重視教學(xué)歸納法的教學(xué)。

一、實(shí)驗(yàn)建模，讓學(xué)生感悟歸納法的思想

關(guān)于歸納法的初始教學(xué)，筆者認(rèn)為可采用實(shí)驗(yàn)建模的方法，引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷觀察——?dú)w納——猜想的過程，由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，讓學(xué)生易于理解和接受，從而提高教學(xué)效率。請看以下二個(gè)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一：

【實(shí)驗(yàn)過程】

1.準(zhǔn)備十盒長方體香煙；

2.按順序?qū)⑾銦熍懦闪⑵饋淼拈L方體，每兩個(gè)長方體間的距離一定，確保前一個(gè)長方體倒下，后一個(gè)長方體必定倒下；

3.實(shí)驗(yàn)開始，推倒第一個(gè)長方體，讓學(xué)生觀察結(jié)果。從第二個(gè)，第三個(gè)，……多次重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)。

【實(shí)驗(yàn)結(jié)果】

推倒第n個(gè)（n=1或2等），從第n個(gè)以后的所有長方體依次倒下。

以上過程，通過引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，觀察香煙倒下的現(xiàn)象，歸納倒下的規(guī)律，猜想出一般性結(jié)論。像這樣根據(jù)某類事物中每一個(gè)對象的情況或者根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況而作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的方法，叫做歸納法。歸納法實(shí)際上要經(jīng)歷一個(gè)觀察——?dú)w納——猜想——論證的過程。初中只要求學(xué)生達(dá)到猜想層面水平。

實(shí)驗(yàn)二：

【實(shí)驗(yàn)過程】

1.準(zhǔn)備一米長的細(xì)線和剪刀；

2.將細(xì)線對折，剪去一半，提問剩余的是幾分之幾？

3.將余下細(xì)線，再對折，剪去一半，提問剩余的是幾分之幾？

4.重復(fù)這樣的的過程多次，提問每次剩余的是幾分之幾？

【實(shí)驗(yàn)結(jié)果】

第一次剪去一半，實(shí)物觀察剩余1/2；第二次剪去余下的一半，剩余四分之一，即（1/2）2；第三次剪去余下的一半，剩余八分之一，即（1/2）3；第四次剪去余下的一半，剩余十六分之一，即（1/2）4；……

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果探索規(guī)律，教學(xué)中首要先讓學(xué)生思考：從上面實(shí)驗(yàn)中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察——?dú)w納——提出猜想的過程；接下來鼓勵(lì)學(xué)生推測出“第五次剪去余下的一半，應(yīng)剩余三十二分之一，即（1/2）5；”然后做做實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)猜想的結(jié)論是否正確。最后，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，把這個(gè)問題進(jìn)一步推廣到一般的情形。第n 次剪去余下的一半，會剩余（1/2）n；當(dāng)然，應(yīng)該認(rèn)識到這個(gè)結(jié)論的正確性有待進(jìn)一步證明（歸納證明將在高中學(xué)習(xí)）。

以上過程實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷觀察現(xiàn)象——?dú)w納規(guī)律——猜想出一般性結(jié)論的過程，這正體現(xiàn)了歸納法思想的精髓。將實(shí)驗(yàn)二的結(jié)論，進(jìn)一步理論分析，次數(shù)n很大時(shí)，剩余的（1/2）n會很小很小，趨近于零，但又不為零。此即古人所云“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之理。

二、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納的思維能力

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是教學(xué)的重要任務(wù)之一。歸納法作為一種方法性知識，在教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。筆者認(rèn)為，在歸納法的教學(xué)過程中，可以借用經(jīng)典例題和數(shù)學(xué)趣史，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，開闊眼界，鍛煉智力，增長知識，從而培養(yǎng)歸納思維的能力。下面舉例說明：

例1：（課程標(biāo)準(zhǔn)102頁的例子）

15×15=1×2×100+25=225

25×25=2×3×100+25=625

35×35=3×4×100+25=1225……

教學(xué)中可以借用此例，以計(jì)算結(jié)果和恒等變形為情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的思維能力。首先讓學(xué)生思考：從上面這些算式的計(jì)算中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程；接下來鼓勵(lì)學(xué)生推測“45×45，55×55 應(yīng)該是多少，并計(jì)算驗(yàn)證猜想的結(jié)果”。最后，教師還可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，把這個(gè)問題進(jìn)一步推廣到一般的情形：若用字母a代表一個(gè)正整數(shù)，則應(yīng)有規(guī)律（a×10+5）2=a（a+1）×100+25。但這樣的猜想是否正確，需要給出證明：（a×10+5）2=a2×100+2a×10×5+25=a（a+1）×100+25。這是一個(gè)由具體數(shù)值計(jì)算到符號公式表達(dá)的過程，即由特殊到一般的過程。這樣，學(xué)生充分體驗(yàn)了觀察——?dú)w納——猜想——證明的思維過程，形成了數(shù)學(xué)歸納法的思維能力。

三、剖析真題，讓學(xué)生領(lǐng)悟中考?xì)w納法的應(yīng)用難度

縱觀近五年的中考試題，涉及歸納法應(yīng)用的考題較多。這與課程標(biāo)準(zhǔn)“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、歸納、類比、圖畫等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測結(jié)論，發(fā)展合情推理能力”的要求是一致的。以下通過剖析真題，讓學(xué)生領(lǐng)悟中考試題的難易程度。

例1：（2014中考）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，……

按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.31 B.46 C.51 D.66

本題考查學(xué)生觀察圖形，歸納變化規(guī)律，猜想結(jié)論，合情推理的能力。檢測了學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的思維水平，在2014年中考10個(gè)選擇題中，排在第9，屬于較難題。

分析：由圖可知：其中第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，…由此規(guī)律得出第 n個(gè)圖有 1+1×3+2×3+3×3+…+3n個(gè)點(diǎn).

解答：

第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，

第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，

第 3個(gè)圖中共有 1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，

…

第 n個(gè)圖有 1+1×3+2×3+3×3+…+3n個(gè)點(diǎn)。

所以第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46.

故選：B

數(shù)學(xué)歸納法作為一種方法性知識，無論從應(yīng)考的角度還是從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的角度，都具有重要的意義和研究價(jià)值。正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”這句話充分體現(xiàn)了歸納法在數(shù)學(xué)思維中的重要作用。