周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖241006)

新型類Lorenz系統(tǒng)的控制研究

周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖241006)

新型類Lorenz系統(tǒng);輸入-狀態(tài)線性化;混沌控制

采用輸入-狀態(tài)線性化方法對(duì)新型類Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行控制.首先,對(duì)受控系統(tǒng)檢驗(yàn)其能控性和對(duì)合性,當(dāng)滿足線性化條件時(shí),運(yùn)用微分幾何中的Lie導(dǎo)數(shù)和Lie括號(hào)運(yùn)算將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型,即將非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題.然后,再對(duì)線性化后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制律,并適當(dāng)選擇反饋增益.由此,既能對(duì)極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置,使系統(tǒng)的三個(gè)狀態(tài)變量均穩(wěn)定地收斂于零,從而消除混沌.仿真結(jié)果證明了該方法的有效性.

20世紀(jì)90年代之后,控制混沌問(wèn)題的研究已成為科學(xué)和工程界的前沿課題之一,各種控制混沌的方法層出不窮[1,2].在以O(shè)GY方法及其各種變形為代表的專門用于混沌系統(tǒng)的控制方法受到廣泛關(guān)注的同時(shí),人們也在研究把自動(dòng)化領(lǐng)域已有的成果運(yùn)用于混沌系統(tǒng)的控制.Hartley首先將經(jīng)典控制方法用于控制混沌[3].之后,一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)局部線性化的傳統(tǒng)線性反饋方法對(duì)混沌的控制問(wèn)題進(jìn)行了研究,進(jìn)而非線性控制的一些理論開始應(yīng)用于混沌的控制[4,5].在本文中,筆者以一種新型類Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ),采用輸入-狀態(tài)線性化方法進(jìn)一步研究其混沌現(xiàn)象的控制問(wèn)題.

1 新型類Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[6]提出了一種新型類Lorenz系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型為：

(1)式中,x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,g、d是系統(tǒng)參數(shù),當(dāng)g=0.1,d=0.4時(shí),(1)式具有非常豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量初值[x(0),y(0),z(0)]=[-0.01,-0.02,-0.02]時(shí),系統(tǒng)的相軌跡如圖1所示

圖1 新型類Lorenz系統(tǒng)的相圖

2 新型類Lorenz系統(tǒng)的混沌控制

根據(jù)文獻(xiàn)[7]輸入-狀態(tài)線性化的方法,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)(x,y,z)=(x1,x2,x3),對(duì)(1)式施加控制u,受控的系統(tǒng)方程變?yōu)椋?/p>

(1)對(duì)應(yīng)于新型類Lorenz受控系統(tǒng)的矢量場(chǎng)f和g分別為：

(2)檢驗(yàn)?zāi)芸匦院蛯?duì)合條件

能控性檢驗(yàn)：

則C為滿秩,則在R3內(nèi)線性無(wú)關(guān).

因?yàn)榱阆蛄渴菍儆谌魏蜗蛄繄?chǎng)的集合,故[g,adfg]構(gòu)成一個(gè)對(duì)合集.

由(3)、(4)、(5)式可得

(4)計(jì)算Lfkλ(x),0≤k≤n-1,n=3

(5)求線性化狀態(tài)方程及控制律u

設(shè)z=[z1,z2,z3]T,則(8)式可寫為：

其中,系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣B分別為

這樣便完成了輸入-狀態(tài)線性化,將用輸入u去穩(wěn)定原來(lái)的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式(2)的問(wèn)題,轉(zhuǎn)變?yōu)橛眯碌妮斎雟去穩(wěn)定新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式(8)的問(wèn)題.新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式(8)是線性和能控的,采用線性狀態(tài)反饋控制律：

并適當(dāng)選擇反饋增益,就能對(duì)極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置.由線性控制理論可知,只要系統(tǒng)式(8)的所有極點(diǎn)均嚴(yán)格位于s左半平面,這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的.在此把新系統(tǒng)的三個(gè)極點(diǎn)均配置在-1處.

(10)式代入(8)式可得：

|sI-A|=s3-s2k3-sk2-k1.而[s-(-1)]3=s3+3s2+3s+1,所以k1=-1,k2=-3,k3=-3.線性化后的系統(tǒng)的控制量v為：v=-z1-3z2-3z3.

由此可得(2)式的控制量u為：

3 仿真結(jié)果

系統(tǒng)初值取(x1(0),x2(0),x3(0))=(-0.01,-0.02,-0.02),仿真結(jié)果如圖2～圖5所示.

圖2 受控系統(tǒng)x1的狀態(tài)響應(yīng)

圖3 受控系統(tǒng)x2的狀態(tài)響應(yīng)

圖4 受控系統(tǒng)x3的狀態(tài)響應(yīng)

圖5 受控系統(tǒng)的相圖

其中,圖2為受控系統(tǒng)x1的狀態(tài)響應(yīng),圖3為受控系統(tǒng)x2的狀態(tài)響應(yīng),圖4為受控系統(tǒng)x3的狀態(tài)響應(yīng),通過(guò)仿真可以看出：新型類Lorenz系統(tǒng)在施加控制式(12)后,系統(tǒng)的三個(gè)狀態(tài)變量均在較短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定地收斂于原點(diǎn).圖5為受控系統(tǒng)的相圖.

4 結(jié) 論

采用輸入-狀態(tài)線性化方法對(duì)新型類Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制,使系統(tǒng)的三個(gè)狀態(tài)變量穩(wěn)定地收斂于零,從而消除了混沌.在一定條件下,輸入-狀態(tài)線性化方法可以將一個(gè)仿射非線性系統(tǒng)進(jìn)行精確線性化(即沒(méi)有模型誤差),并且這個(gè)狀態(tài)反饋可保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并有好的動(dòng)態(tài)品質(zhì).

[1]G.Chen and X.Dong.From Chaos to Order：Perspectives and Methodologies in Controlling Chaotic Nonlinear Dynamical System[J].Int.J.Bifurcation and chaos.1993,3(6)：1363-1409.

[2]陳立群,劉延柱.控制理論的研究現(xiàn)狀與展望[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào).1998,22(1)：108-114.

[3]T.Hartley,F.Mossayebi.A Classical Approach to Controlling the Lorenz Questions[J].Int.J.Bifur.chaos.1992,2 (4)：881-887.

[4]陳立群,劉延柱.一類非線性振子中混沌運(yùn)動(dòng)的反饋控制[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào).1997,31(1)：32-35.

[5]陳立群,戈新生.混沌的非線性控制[J].科技通報(bào).1997,13(3)：156-158.

[6]王琳,倪樵,劉攀.一種新的類Loren系統(tǒng)的混沌行為與形成機(jī)制[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2005,3(4)：1-6.

[7]周群利,張紹德.基于反饋線性化的Duffing混沌系統(tǒng)控制[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(1)：58-61

Study on the Control of a New Lorenz-like System

ZHOU Qunli
(School of Electrical Engineering,Wuhu Vocational and Technical College,Wuhu,Anhui 241006,China)

a new Lorenz-like system;input-state linearization;chaotic control

Input-state linearization is adopted to control a new Lorenz-like system.First,controllability and involutivity of the controlled system are tested.When the conditions for linearization are met,the nonlinear system model is transformed into a linear one by using the Lie derivative and Lie bracket operation in differential geometry.In this way,the control problem of nonlinear system is changed to the problem of the linear system.Then a linear state feedback control is designed for the linearized system.When the feedback gain are selected properly,the poles of the system can be arbitrarily configured.The chaos is eliminated when the three state variables of the system steadily converges to zero.The simulations proves the effectiveness of the method.

周群利,碩士,講師,研究方向：非線性系統(tǒng)控制.

O157.1

A

1009-9506(2015)08-0044-05

2015年5月23日