陳亦佳 白麗艷

(玉溪師范學(xué)院理學(xué)院,云南玉溪653100)

[數(shù) 學(xué)]

類比思想在數(shù)學(xué)分析中的運(yùn)用

陳亦佳 白麗艷

(玉溪師范學(xué)院理學(xué)院,云南玉溪653100)

數(shù)學(xué)分析;類比;數(shù)學(xué)概念

類比思想是數(shù)學(xué)分析中一種重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用類比思想可以揭示數(shù)學(xué)分析中的許多概念,引出相關(guān)的性質(zhì),也能幫助我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,其對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)科的發(fā)展起到了極大地促進(jìn)和推動(dòng)作用.

類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究中的重要方法,特別是在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中,類比占有重要的地位.類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面的相似和相同,推知它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡蓄愃苹蛳嗤囊环N思想方法,類比是以比較為基礎(chǔ)的.通過(guò)對(duì)兩個(gè)不同對(duì)象進(jìn)行比較,找出它們相似點(diǎn)或相同點(diǎn),然后以此為根據(jù),把其中某一對(duì)象的有關(guān)知識(shí)或結(jié)論推移到另一對(duì)象中去.科學(xué)上,不少新的學(xué)說(shuō)是基于類比的方法建立的.如對(duì)各類動(dòng)物特性的研究導(dǎo)致仿生學(xué)發(fā)展,傅里葉把熱的傳導(dǎo)與水的流動(dòng)做類比,建立了熱傳導(dǎo)的精密理論.

同樣,類比思想是數(shù)學(xué)分析中一種重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用類比思想不僅可以揭示數(shù)學(xué)分析中許多相關(guān)概念,引出相關(guān)的性質(zhì),而且也能幫助我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,其對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)科的發(fā)展起到了極大地促進(jìn)和推動(dòng)作用.

1 運(yùn)用類比揭示概念

在數(shù)學(xué)分析中,類比是引出并揭示概念本質(zhì)的一種重要的思想方法.數(shù)學(xué)分析一部分概念可以通過(guò)類比揭示概念本質(zhì),從而理解概念,也可以做類比引出新概念.例如,在學(xué)習(xí)極限的相關(guān)概念,我們可以通過(guò)類比掌握數(shù)列極限和函數(shù)極限,進(jìn)一步掌握各種自變量趨勢(shì)下函數(shù)極限的區(qū)別.另一方面,在學(xué)習(xí)二元函數(shù)的相關(guān)概念時(shí),可用與一元函數(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行類比.例如,二元連續(xù)函數(shù)與一元連續(xù)函數(shù)都是描述自變量動(dòng)點(diǎn)無(wú)限趨近于定點(diǎn)過(guò)程中,函數(shù)值無(wú)限接近于定點(diǎn)函數(shù)值的變化狀態(tài).基于這種相似性,可類比一元連續(xù)函數(shù)的概念來(lái)定義二元連續(xù)函數(shù).同樣,n元函數(shù)也可以類似定義.

數(shù)列極限和函數(shù)極限一樣,都是反映有序變量無(wú)限趨近于某一定數(shù)的這一變化特征.數(shù)列{xn}是定義在正整數(shù)集N+上函數(shù)f(n)=xn,所以數(shù)列極限就是討論自變量n無(wú)限增加時(shí),數(shù)列{xn}的變化趨勢(shì).因此,我們由它們之間的對(duì)應(yīng)量來(lái)揭示數(shù)列極限和函數(shù)極限之間的區(qū)別(見(jiàn)表1).

表1 數(shù)列極限和函數(shù)極限之間的區(qū)別

進(jìn)一步,我們可以通過(guò)類比把函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)和函數(shù)在區(qū)間上處處連續(xù)以及函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則區(qū)別開(kāi)來(lái).為此,列出表2,以作以比較：

表2 函數(shù)的處處連續(xù)、一致連續(xù)及函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則的區(qū)別

另一方面,我們分析一元函數(shù)的極限定義,是由那些量來(lái)刻畫的,與二元函數(shù)極限中的對(duì)應(yīng)量進(jìn)行對(duì)比,并列出下表：

表3 一元函數(shù)的極限與二元函數(shù)極限定義的區(qū)別

類似的,我們可以通過(guò)一元連續(xù)函數(shù)、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分、一元函數(shù)定積分的定義,類比得到二元連續(xù)函數(shù)、多元函數(shù)的微分、重積分的定義,進(jìn)一步,n元函數(shù)的相關(guān)定義也可以類似得到,通過(guò)類比,使我們能夠較好地掌握概念的本質(zhì).

2 運(yùn)用類比引出性質(zhì)

類比是引出和猜想新性質(zhì)、新定義、新命題的一種常用的思想方法.例如,由數(shù)列極限的性質(zhì)(唯一性、有界性、保序性、四則運(yùn)算、兩邊夾定理、柯西收斂準(zhǔn)則),通過(guò)類比,可以引出函數(shù)極限的性質(zhì)(唯一性、局部有界性、保序性、四則運(yùn)算、兩邊夾定理、柯西收斂準(zhǔn)則).由函數(shù)極限的性質(zhì)(唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)極限),通過(guò)類比,可以引出連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性).又如,由于一元函數(shù)極限與二元函數(shù)極限定義的結(jié)構(gòu)相似,本質(zhì)相同.

因此,由一元函數(shù)的極限性質(zhì)(唯一性、局部有界性、保序性、四則運(yùn)算法則、柯西收斂準(zhǔn)則等)及其證明方法,通過(guò)類比,既可以引出二元函數(shù)的極限性質(zhì)(唯一性、局部有界性、保序性、四則運(yùn)算法則、柯西收斂準(zhǔn)則等)及其證明方法.同樣,由二元連續(xù)函數(shù)的定義與一元連續(xù)函數(shù)的定義相似,可以類比猜想,得到二元連續(xù)函數(shù)相同的性質(zhì),如：在某一點(diǎn)附近的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性等.在有界閉區(qū)域上的有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性等,并容易證明這些猜想是正確的.根據(jù)二重積分定義與定積分定義的相似,可類比猜想,并證明二重積分具有類似于定積分的性質(zhì),如：線性性質(zhì)、可加性、單調(diào)性、絕對(duì)可積、估值性、積分中值定理等.

由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其部分和數(shù)列的問(wèn)題,所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為其部分和函數(shù)列的問(wèn)題.因此在研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí),可以從研究函數(shù)列著手,把研究中得到的有關(guān)函數(shù)列的基本定理、性質(zhì),進(jìn)行類比平行得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相應(yīng)地基本定理與性質(zhì).

3 運(yùn)用類比解決問(wèn)題

類比是尋求解題思路和解題方法的一種關(guān)鍵思想.

例1 中值定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使

柯西中值定理：f(x),g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且?x∈(a,b),有g(shù)′(x)≠0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使

分析 拉格朗日中值定理的證明的關(guān)鍵是構(gòu)造的輔助函數(shù)：

輔助函數(shù)的構(gòu)造主要有以下兩種方法：

第一種,原函數(shù)法(也稱微分方程法).具體步驟如下：首先,將欲證結(jié)論中的ξ改成x;其次,將式子寫成容易去掉一次導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式(即容易積分的形式);最后,去掉一次導(dǎo)數(shù)符號(hào)(即作一次積分),移項(xiàng),使等式一端為“0”,另一端即為新作輔助函數(shù)F(x)(為簡(jiǎn)便,積分常數(shù)取“0”).

對(duì)于拉格朗日中值定理：令ξ=x,則

兩邊積分得：

令C=0并移項(xiàng)得：

通過(guò)類比,對(duì)于柯西中值定理：

令ξ=x,則

即

兩邊積分得：

第二種,常數(shù)k值法.此法適用于常數(shù)部分可被分離出的命題,構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：首先,令常數(shù)部分為k;其次,做恒等變形,使上述等式一端為a及f(a)構(gòu)成的代數(shù)式,另一端為b及f(b)構(gòu)成的代數(shù)式;最后,分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換對(duì)稱式.若是,只要把a(bǔ)(或b)改寫為x,相應(yīng)地函數(shù)值f(a)(或f(b))改寫為f(x),則代換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求的輔助函數(shù)F(x).

如：對(duì)于拉格朗日中值定理：

即

可以類似構(gòu)造柯西中值定理的輔助函數(shù).

例2 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]上連續(xù),且區(qū)域D關(guān)于x軸是對(duì)稱的,那么(1)若在D上恒有f(x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù),則

(2)若在D上恒有f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)關(guān)于y是偶函數(shù),則其中D1是D在y≥0部分的區(qū)域.

分析 可以類比一元函數(shù)類似的定理：設(shè)f(x)在[-a,a]上連續(xù),那么當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),則)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),則及其證明.

證明 (1)由于f(x,y)在D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]連續(xù),且f(x,y)是奇函數(shù),有

則

設(shè)y=-t有dy=-dt,則

因此

(2)由于f(x,y)在D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]上連續(xù),且f(x,y)是偶函數(shù),有

則

設(shè)y=-t有dy=-dt,則

解：由于

則

解 由于對(duì)?n∈N+有,所以xn是單調(diào)遞增的.

其次,對(duì)?n∈N+,有即,數(shù)列{xn}有界.根據(jù)單調(diào)有界定理,數(shù)列{xn}是收斂的.

4 結(jié) 語(yǔ)

類比思想是數(shù)學(xué)分析中一種重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用類比思想可以揭示數(shù)學(xué)分析中的許多概念,引出相關(guān)的性質(zhì),也能幫助我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,其對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)科的發(fā)展起到了極大地促進(jìn)和推動(dòng)作用.同樣,數(shù)學(xué)分析課程作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課,通過(guò)對(duì)該課程的學(xué)習(xí),可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)微分方程、復(fù)變函數(shù)、數(shù)值計(jì)算方法以及概率論等后繼課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).而在教學(xué)過(guò)程中,教師如果能將類比思想與具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合,使學(xué)生不只停留在形式的推演上,而且能深入理解數(shù)學(xué)分析知識(shí)的本質(zhì)和意義,讓學(xué)生知其然,而且知其所以然.同樣,在學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生如果能靈活運(yùn)用類比思想來(lái)指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí),則不僅能增加其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的理解,而且也有利于其獨(dú)立創(chuàng)新能力的養(yǎng)成.

[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義：第5版[M].北京：高等教育出版社,2008.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型類題和方法：第2版[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析：第2版[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第4版[M].北京：高等教育出版社.2011.

Application of Analogy in Mathematics

CHEN Yijia BAI liyan
(School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100,China)

mathematical analysis;analogy;mathematical concept

As an important mathematical idea,analogy can reveal many concepts in mathematical analysis and draw forth related characteristics.Its use can lead to the solution of many mathematical problems and the promotion of the development of mathematical analysis.

陳亦佳,碩士,講師,主要從事復(fù)分析方向研究.

O174.52

A

1009-9506(2015)08-0029-06

2015年5月11日