基于概率熵判據(jù)的大壩位移預(yù)警概型比較

張 炯，葉 琦

（江西省贛撫平原水利工程管理局，江西 南昌 330096）

0 引言

大壩效應(yīng)量安全監(jiān)測(cè)資料眾多，其中位移監(jiān)測(cè)直觀、可靠，通過(guò)擬定大壩位移預(yù)警指標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)大壩安全監(jiān)控具有重要意義[1]。大壩產(chǎn)生變形的因素既包括如水壓、溫度及時(shí)效等已知因素，又包含眾多未知及不確定性因素。借助先進(jìn)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)工具，利用大壩位移原始監(jiān)測(cè)資料，針對(duì)大壩經(jīng)歷不利荷載時(shí)位移監(jiān)測(cè)序列，采用小概率估計(jì)方法建立位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)模型，是實(shí)現(xiàn)大壩位移預(yù)警的重要手段[2]。大壩服役性態(tài)一般可分為3個(gè)階段：運(yùn)行初期、正常運(yùn)行期和老化耗損期，其失效期分別對(duì)應(yīng)：早期失效期、正常運(yùn)行偶然失效期和耗損失效期[3]。各失效期失效率η(t)與服役時(shí)間t構(gòu)成浴盆曲線如圖1。

圖1 工程失效率浴盆曲線

系統(tǒng)可靠度分析中，因Weibull分布、Gamma分布和Log-normal分布能夠很好或較好的適應(yīng)浴盆曲線的3個(gè)失效期，故成為常用的小概率分析方法[4，5]。但分布是否能客觀描述系統(tǒng)性態(tài)以及分布優(yōu)劣評(píng)價(jià)判據(jù)研究較少。文獻(xiàn)[6]研究了3種概率分布對(duì)大壩服役性態(tài)的刻畫，但其通過(guò)經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布的差異性作為判據(jù)來(lái)度量服役性態(tài)描述效果有失客觀性。水工混凝土結(jié)構(gòu)具有很明顯的非線性自組織機(jī)制和多尺度耦合效應(yīng)，其宏觀效應(yīng)量是內(nèi)部不同尺度物理量協(xié)同作用的外在表現(xiàn)[7]。熵具有能量概念，可借助熵來(lái)完成不同尺度和層次的統(tǒng)一分析[8]。為能客觀描述大壩服役性態(tài)，本文基于文獻(xiàn)[6]研究思路，闡述了基于熵判據(jù)的大壩位移預(yù)警概型比較工作，并利用某壩典型壩段壩頂徑向位移實(shí)測(cè)資料，結(jié)合所擬定的大壩失事概率[7]，完成了位移預(yù)警指標(biāo)的估計(jì)，以期為其他工程位移預(yù)警提供借鑒。

1 建立大壩位移預(yù)警估計(jì)模型

1.1 大壩位移預(yù)警概率分布模型

1.1.1 Weibull分布模型及其參數(shù)估計(jì)

以大壩位移監(jiān)測(cè)年極值序列作為大壩經(jīng)歷不利荷載時(shí)的位移監(jiān)測(cè)序列{xi}，利用Weibull分布對(duì)其進(jìn)行擬合，得到Weibull分布概率密度函數(shù)(PDF)和分布函數(shù)(CDF)分別為：

式中：γ為位置參數(shù)，用來(lái)描述分布位置，γ=0時(shí)為二參數(shù)Weibull分布；η為尺度參數(shù)，對(duì)分布幅度進(jìn)行刻畫；β為形狀參數(shù)，為分布最重要參數(shù)，描述分布形狀，β取不同值時(shí)可使分布擬合圖1浴盆曲線不同階段，故Weibull分布是進(jìn)行可靠性分析的常用手段，可以很好的擬合各類可靠性數(shù)據(jù)[9]。通過(guò)文獻(xiàn)方法[4，6，10]對(duì)比，亦可采用文獻(xiàn)[4]中所述方法實(shí)現(xiàn)Weibull參數(shù)估計(jì)。

1.1.2 Gamma分布及其參數(shù)估計(jì)

同樣，利用Gamma分布擬合序列{xi}后的PDF和CDF分別為：

式中：k為形狀參數(shù)；θ為尺度參數(shù)；Γ為Gamma函數(shù)；u為中間變量。

Gamma分布參數(shù)估計(jì)方法主要有極大似然法，期望極大化算法等[11，12]。本文采用通用的極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

1.1.3 Log-normal分布及其參數(shù)估計(jì)

Log-normal分布擬合序列｛xi｝后的PDF和CDF分別為：

式中：μ為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；u為中間變量。

{xi}服從Log-normal分布的前提條件是{ln(xi)}服從Normal分布，本文通過(guò)計(jì)算{ln(xi)}的峰度和偏度系數(shù)，構(gòu)造JB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。并借鑒Normal分布參數(shù)估計(jì)方法利用極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

已知分布參數(shù)的情況下，結(jié)合大壩失事概率，由F-1(x)分布函數(shù)反函數(shù)可求得位移預(yù)警估計(jì)值。

1.2 位移預(yù)警概率分布模型合理性檢驗(yàn)

利用概率分布對(duì)位移監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行擬合，需對(duì)其擬合質(zhì)量進(jìn)行診斷。本文借助K-S檢驗(yàn)法對(duì)概率分布擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)[13]。其先考慮假設(shè)：

其中F0(x)為已知分布函數(shù)。利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)與已知分布函數(shù)F0(x)之間的偏差構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。記：

K-S檢驗(yàn)的方法是通過(guò)樣本xi計(jì)算Dn，若Dn＜D0，則接受原假設(shè)；否則，拒絕原假設(shè)。偏差統(tǒng)計(jì)量臨界值D0(取顯著性水平α=0.05)值通過(guò)查表[14]可得。

1.3 概率分布最大熵原理

最大熵原理是一種選擇隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性最符合客觀情況的準(zhǔn)則。大壩位移量源于設(shè)備實(shí)際監(jiān)測(cè)，帶有可靠的大壩服役性態(tài)信息，熵越大則表明大壩位移量越隨機(jī)，對(duì)大壩服役性態(tài)描述越客觀。它的定義式由香農(nóng)提出：

對(duì)離散隨機(jī)變量，熵定義為：

對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量，熵定義為：

式中：c為常數(shù)，常取 1；b，a為變量上下限；p(x)為概率密度函數(shù)。

根據(jù)熵的定義式（9）與（10）以及各分布的概率密度函數(shù)，推求得到：

Weibull分布熵計(jì)算公式：

式中：ξ為歐拉常數(shù)，取 0.577 215 6；η為該分布尺度參數(shù)；β為該分布形狀參數(shù)。

Gamma分布熵計(jì)算公式：

式中：ψ(k)=E(ln(X))-ln(θ)，k為該分布形狀參數(shù)；θ為該分布尺度參數(shù)。

Log-normal分布熵計(jì)算公式：

式中：μ為該分布位置參數(shù)；σ為該分布尺度參數(shù)。

1.4 大壩位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)過(guò)程

為了直觀了解位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)過(guò)程，其基本流程見(jiàn)圖2。

圖2 大壩位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)流程圖

2 實(shí)例分析

某水利樞紐位于廣西壯族自治區(qū)，地處珠江流域，以防洪發(fā)電為主，兼具航運(yùn)效益。樞紐包括攔河壩、壩后發(fā)電廠房、開關(guān)站和垂直升船機(jī)，溢流壩以碾壓混凝土壩為主。壩頂高程為233.00 m（黃海高程，下同），最大壩高為 110.00 m，壩頂全長(zhǎng) 525.00 m，分 28 個(gè)壩段。設(shè)計(jì)水位 223.00 m，總庫(kù)容為 26.12 億 m3，為大(1)型水電站。 本文依據(jù)該壩 3#，10#，18#，24#典型壩段在 1997～2006年間壩頂向下游徑向位移年極值構(gòu)成不利荷載效應(yīng)量序列{xi}，建立概率分布模型。并依工程概況，擬定該壩失事概率為1%。各壩段年極值序列列于表1，模型相關(guān)參數(shù)估計(jì)見(jiàn)表2。

表1 典型壩段壩頂向下游位移年極值序列 mm

從表3可以看出：在置信度0.05情況下，各分布K-S檢驗(yàn)值均小于臨界值0.409，故均滿足檢驗(yàn)。

根據(jù)概率分布熵公式，即式（11）～（13），結(jié)合表 1概率分布參數(shù)估計(jì)，計(jì)算各分布熵，見(jiàn)表4。

從表4并結(jié)合最大熵原理可以得到：Weibull-3分

表2 概率分布參數(shù)估計(jì)

對(duì)所建概率分布模型進(jìn)行K-S合理性檢驗(yàn)，見(jiàn)表3。布可較客觀描述 3#、10#、18#、24#壩段壩頂徑向位移。

最后，假定大壩失事概率1%，利用概率分布函數(shù)進(jìn)行大壩位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)，便于對(duì)比，將其他分布估計(jì)結(jié)果一并列于表5。

結(jié)合表 4 與表 5，可以得到：3#、10#、18#、24#典型壩段壩頂徑向位移預(yù)警估計(jì)值分別為4.24 mm、5.58 mm、7.08 mm、7.47 mm，其他分布模型存在欠估計(jì)或過(guò)估計(jì)現(xiàn)象。

表3 K-S檢驗(yàn)

表4 概率分布熵計(jì)算

表5 預(yù)警值估計(jì)mm

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)大壩服役性態(tài)自身特點(diǎn)，利用Weibull分布、Gamma分布、Log-normal分布對(duì)大壩典型壩段壩頂位移進(jìn)行概率擬合分析，完成了概率分布模型建立、檢驗(yàn)、對(duì)比及預(yù)警值估計(jì)工作。得到：對(duì)于 3#、10#、18#、24#典型壩段，依據(jù)最大熵原理，三參數(shù)Weibull分布模型能較可靠的實(shí)現(xiàn)位移預(yù)警估計(jì)，說(shuō)明三參數(shù)Weibull分布能最客觀描述典型壩段服役性態(tài)，是一種可靠的系統(tǒng)可靠度分析手段。

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