由6個相似壓縮確定的自相似Cantor集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值

許紹元

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州 521041）

由6個相似壓縮確定的自相似Cantor集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值

許紹元

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州 521041）

研究了一個由6個相似壓縮確定的滿足開集條件的自相似Cantor集，得到了它的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值.

自相似Cantor集；Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度；開集條件

1 引言與預(yù)備知識

眾所周知，Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度是分形幾何的理論基礎(chǔ)，因此計算或估計分形集的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度是十分重要的問題.一般來說，分形集的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度計算或估計都十分困難，而計算分形的Hausdorff測度就更難了.至今為止，研究最成功的分形是滿足開集條件的自相似集，它的Hausdorff維數(shù)等于自相似維數(shù)，其Hausdorff測度則是一個有限正數(shù).但目前，就是對這么一個簡單的分形，其Hausdorff測度的計算仍然十分困難.

近年來，許多學(xué)者試圖計算自相似集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值，并得到一些有用的結(jié)果（見文獻[1-12]），其中文獻[12]介紹的一種基本方法（見下文引理2.1）計算滿足開集條件的自相似集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值，并舉例計算出由4個相似壓縮構(gòu)成的迭代函數(shù)系所確定自相似Cantor集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值.本文同樣采用這一方法，討論了由六個相似壓縮構(gòu)成的迭代函數(shù)系所確定的自相似Cantor集，得到了它的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值.

一些基本概念、符號和已知結(jié)果見文獻[9-12].

2 主要結(jié)果

首先，給出一個有用的引理.

（致謝：衷心感謝審稿人仔細審閱原稿，并提出了寶貴的修改意見.）

[1]ZHOU Z，F(xiàn)ENG L.Twelve Open Problems on the Exact Value of the Hausdorff Measure and on Topological Entropy:a Brief Survey of Recent Results[J].Nonlinearity，2004，17：493-502.

[2]MARION J.Mesures de Hausdorff D’ensembles Fractals[J].Ann.Sci.Math.Quebec，1987，11（1）：111-132.

[3]SRICHARTS R S.Exact Hausdorff Measure and Intervals of Maximum Density for Cantor Sets[J].Trans.Amer.Math.Soc.，1999，351（9）：3725-3741.

[4]WU M.The Hausdorff Measure of Some Sierpinski Carpets[J].Chaos，Solitons and Fractals，2005（24）：717-731.

[5]ZHOU Z.Hausdorff Measure of Self-Similar Set-the Koch Curve[J].Sci.China.（Ser.A）:1998，41（7）：723-728.

[6]ZHOU Z，F(xiàn)ENG L.A New Estimate of the Hausdorff Measure of the Sierpinski Gasket[J].Nonlinearity，2000，13：479-491.

[7]ZHOU Z，WU M.The Hausdorff Measure of a Sierpinski Carpet[J].Sci.China，（Ser.A）,1999,29（2）：138-144（in Chinese）.

[8]ZHOU Z，WU M，Zhao Y.The Hausdorff Measure of a Class of Generalized Sierpinski Sponges[J].Chin.J.Contemp.Math.，2001，22：55-64.

[9]FALCONER K J.The Geometry of Fractal Set[M].Cambridge:Cambridge University Press，1985.

[10]FALCONER K J.Fractal Geometry-Mathematical Foundations and Applications[M].New York：John and Sons，1990.

[11]HUTCHINSON J E.Fractals and Self-similarity[J].Indiana Univ.Math.J.1981，30：713-747.

[12]許紹元，周作領(lǐng)，蘇維宜.自相似集的質(zhì)量分布原理與Hausdorff測度及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，53（1）: 117-124.

On the Exact Hausdorff Measure of a Self-similar Cantor Set Yielded by 6 Similarities

XU Shao-yuan
（School of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou,Guangdong,521041）

In this paper,a self-similar Cantor set with the open set condition(OSC)yielded by 6 similarities is discussed and its exact Hausdorff measure is computed.

self-similar Cantor set；Hausdorff measure and dimension；open set condition

O 189.1

A

1007-6883（2015）06-0001-07

責(zé)任編輯 朱本華

2015-10-29

韓山師范學(xué)院創(chuàng)新強系項目（項目編號：2013）.

許紹元(1964-)，男，湖北武漢人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授.