集值優(yōu)化問題ε－強(qiáng)有效解的最優(yōu)性條件

余麗

(宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西宜春 336000)

0 引言

近年來，利用(次梯度)次微分刻畫集值優(yōu)化問題最優(yōu)性條件已成為很多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題．Tanino［1］引進(jìn)了集值映射弱次微分的概念．基于Tanino的研究，很多學(xué)者相繼提出了一些廣義(次梯度)次微分的概念［2－4］，例如，點(diǎn)集映射的錐弱次梯度、錐－Henig有效次微分及超次梯度的概念，并在這些概念下，建立了一些最優(yōu)性條件．

眾所周知，有效解與最優(yōu)性條件之間有著密切的聯(lián)系．由于集值映射向量優(yōu)化問題精確解的獲得通常比較困難，因而逼近解是集值優(yōu)化的重要組成部分．近年來，各種逼近解的概念相繼引出，并得到了一些有趣的結(jié)果［5－7］．最近，Wang［6］研究了集值優(yōu)化ε－強(qiáng)有效解的性質(zhì)，能否將次微分的概念進(jìn)一步推廣并用于研究集值優(yōu)化問題的逼近解?本文將在ε－強(qiáng)有效意義下對此問題進(jìn)行討論．

1 基本概念

設(shè)X為拓?fù)渚€性空間，Y和Z為Hausdorff局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g，Y*為Y的拓?fù)鋵ε伎臻g．設(shè)φ≠S?Y，我們以cl S、int S和cone S分別表示S的閉包、內(nèi)部和生成錐，其中cone S={λs:λ≥0，s∈S}．設(shè)C?Y為內(nèi)部非空的閉凸點(diǎn)錐．凸子集B?C稱為錐C的基，如果0?cl B且C=cone B．C的對偶錐C*定義為C*={c*∈Y*:c*(c)≥0，c∈C}，這里c*(c)表示c*在c上的值．Bst={φ∈Y*:存在t＞0使得φ(b)≥t，b∈B}，稱為基泛函．

定義1［7］設(shè)φ≠M(fèi)?Y，ε∈C．點(diǎn)y∈M稱為M關(guān)于錐C的ε－有效點(diǎn)，記為y∈ε－E(M，C)，如果M∩(y－C{0}－ε)=φ．

定義2［6］設(shè)B為C的基，N(0)是Y的零點(diǎn)鄰域基，ε∈C．點(diǎn)y∈M?Y稱為M關(guān)于錐C的ε－

Y強(qiáng)有效點(diǎn)，記為y∈ε－GE(M，C)．若?φ∈Y*，?U，V∈N(0Y)，使得φ［clcone(M+ε－y)∩(U－cone(V+B))］有界．

注1［6］在定義2中根據(jù)需要，U，V可以取為凸的對稱鄰域，且y∈ε－GE(M，C)，當(dāng)且僅當(dāng)?φ∈Y*，?U，V∈N(0Y)，使得φ［cone(M+ε－y)∩(U－cone(V+B))］有界．易知，ε－GE(M，C)?ε －E(M，C)．

引理1 設(shè)Y為局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g，序錐C是點(diǎn)凸錐，且有有界基B，ε∈C．如果φ≠M(fèi)?Y，則:ε－GE(M，C)=ε－GE(M+C，C)．

證明 由定義2及文獻(xiàn)［8］中引理1．3，易證．

設(shè)F:X→2Y是集值映射，則F的定義域，圖和上圖分別定義為

定義3［9］令F:X→2Y為一集值映射，(x0，y0)∈graph F．F稱為在點(diǎn)(x0，y0)處是下半連續(xù)的，如果對y0的任意鄰域N(y0)，存在x0的鄰域N(x0)，使得對所有的x∈N(x0)，有F(x)∩N(y0)≠φ．

定義4［9］設(shè)集值映射F:X→2Y，如果對任意的x，x∈X，0≤λ≤1，有:

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則稱F在X上是C－凸的．

定義5 設(shè)F:X→2Y是集值映射，點(diǎn)∈ X，∈F()，并且φ*∈X*，給定向量p∈int C，若:

則稱φ*∈X*是集值映射F在點(diǎn)關(guān)于向量p的ε－強(qiáng)有效次梯度．F在點(diǎn)關(guān)于向量p的ε－強(qiáng)有效次梯度的集合稱為F在點(diǎn)處關(guān)于向量p的ε－強(qiáng)有效次微分，記作?ε－GF．若?ε－GF≠φ，則稱F在點(diǎn))關(guān)于向量p是ε－強(qiáng)有效次可微的．

2 ε－強(qiáng)有效次微分的存在性定理

引理2［3］設(shè)F:X→2Y是一集值映射，且x0∈dom F，則下面三個條件只要滿足其中之一，就有int(epi F)≠φ．

1)存在y^∈F(x0)使得F在(x0，y^)處是下半連續(xù)的;

2)存在a∈Y，使得F(X)?a－C;

3)存在映射f:X→Y使得f(x)∈F(x)(?x∈X)，并且f在x0的一鄰域U(x0)內(nèi)連續(xù)．

引理3［10］Bst具有以下性質(zhì):1)Bst≠φ;2)Bst?C*;3)若B是C的有界基，則Bst=int C*．

定理1 令B為C的有界基，(x0，y0)∈graph F，存在W^∈W(0)，使得y0∈ε－GE(F(x0)，CW^(B))．設(shè)F:X→2Y是CW^(B)－凸的集值映射，p∈int C，則只要引理2中的條件滿足其中之一，就有 ?ε－GF(x0，y0)p≠ φ．

這樣，y0?ε－E(F(x0)，CW^(B))，因此，y0?ε－GE(F(x0)，CW^(B))，此與已知矛盾，所以(x0，y0－ε)? int．由凸集分離定理知，存在(φ*，Ψ*)∈X*×Y*，(φ*，Ψ*)≠(0X*，0Y*)，使得:

即:

由于y+ε∈F(x)+CW^(B)+ε?F(x)+CW^(B)+CW^(B)?F(x)+CW^(B)，令y^=y+ε，則(2)式等價為:

下證Ψ*≠0Y*．若不然，則有φ*(x－x0)≥0，?x∈X．對正實(shí)數(shù)λ＞0，任取v∈X，取x=±λv+x0，可得φ*(±λv)≥0．由此得到φ*=0X*，此與(φ*，Ψ*)≠(0X*，0Y*)矛盾．另一方面，在(3)式中取x=x0，=y0+q，?q∈CW^(B)，有:ψ*(q)≥0，?q∈CW^(B)．

由g≠0*及W^的吸收性得，存在s0∈W^W?C^(B)，使得g(s0)＜0．令t=－g(s0)，于是g(B)≥－g(s0)=t＞0．這就是g∈Bst．

下面證明若不成立，則由定義5及引理1知，存在φ∈Y*，使得對任意的U，V∈N(0Y)，有:

無界．取k＞0，δ＞0，使εt－δ＞0，令:

于是，存在λn＞0，xn∈X，yn∈F(xn)，cn∈C，μn≥0，un∈，vn∈，bn∈B使:

由(4)，(5)式可知存在一正整數(shù)N，使:

由Ψ*∈Bst，ε∈C知λnΨ*(ε)≥0，于是由(6)式得:

特別有:

由λN＞0及(8)式得:

其中:(xN，yN+cN)∈epi F?，上式與(3)式矛盾．

有界．這等價于:φ［clcone(∪x∈X(F(x)－0(x－)p+ε－))∩(U－cone(V+B))］有界，因此0X*∈?ε－GF，)p．

證明 必要性．由B為C的有界基及引理3知，存在t＞0，使Bst≠φ．設(shè)φ0∈Bst，由φ*∈?ε－GF(，)p及引理1知，對上述的φ0∈Bst，?U0，V0∈N(0Y)，使:

有界．由于F在X上是C－凸的，故∪x∈X(F(x)－φ*(x－)p+ε－+C)為凸集，于是cone(∪x∈X(F(x)－φ*(x－)p+ε－+C))是凸錐，于是，由文獻(xiàn)［10］中定理2．2知，存在ξ∈(cone(v0+B))*及

由U－B是開凸集，則:

由 cone(∪x∈X(F(x)－ φ*(x－)p+ε－+C))是凸集知，clcone(∪x∈X(F(x)－φ*(x－)p+ε－+C))是凸集，由凸集分離定理知，存在Ψ*∈Y*{0Y*}使得:

由 clcone(∪x∈X(F(x)－ φ*(x－x)p+ε－y+C))是錐及Ψ*在其上有下界，得:

由0∈clcone(∪x∈X(F(x)－φ*(x－)p+ε－+C))及(11)式，得:

因?yàn)棣?≠0，則存在u0∈U，使得Ψ*(u0)=t＞0，在(13)式中取u0∈U，得ψ*(B)≥Ψ*(u0)=t即Ψ*∈Bst．由0∈C及(12)式，有:Ψ*(y－φ*(x－)p+ε－)≥0(?x∈X，y∈F(x))，即:

2)充分性．設(shè)存在Ψ*∈Bst，使(9)式成立．若φ*??ε－GF(，)p，則存在φ1∈Y*，使得?U，V∈N(0Y)，有:φ1［cone(∪x∈X(F(x)－ φ*(x－)p+ε－))∩(U－cone(V+B))］無界．取k＞0，δ＞0，令，則，，，∈N(0Y)．令 U~=V~=∩V^∈N(0Y)，對 U~，V~∈N(0Y)，存在

滿足φ1(wn)→∞．將wn表示為:

其中:tn≥0，sn≥0，yn∈F(xn)，un∈，vn∈，bn∈B．而B有界及φ1(wn)→∞，因此，sn→+∞．

由于Ψ*(b+v)＞t+δ－t＞0，?v∈ V~，b∈B，于是存在n0，當(dāng)n＞n0時，有:

于是Ψ*(tn(yn－φ*(xn－)p+ε－))＜0．由于tn≥0，故Ψ*(yn－+ε)＜ φ*(xn－)Ψ*(p)，此與(9)式矛盾．

3 穩(wěn)定性

設(shè)Z為拓?fù)渚€性空間，Ω?Z是Z中半徑為r的球．S:Ω→2X，F(xiàn):X×Ω→2Y為兩集值映射，考慮參

數(shù)擾動集值優(yōu)化問題:

由參數(shù)優(yōu)化問題的ε－強(qiáng)有效點(diǎn)集定義的集值映射如下:

定理4 令B為C的有界基，設(shè)F:X×Ω→2Y為C－凸的集值映射，S(q)為凸的集值映射．如果對任意的q∈Ω，F(xiàn)(S(q)，q)?ε－GE(q)+CW(B)．給定p∈int C，只要ε－GE(q)滿足引理2中的一個條件，則對任意的q∈Ω，集值映射ε－GE(q)關(guān)于向量p是ε－強(qiáng)有效次可微的．

又因S(q)是凸的，所以:

因此，F(xiàn)(S(q)，q)在Ω上是C－凸的．

再注意到F(S(q)，q)?ε－GE(q)+CW(B)，所以就有:

再利用F(S(q)，q)?ε－GE(q)+CW(B)，并且由假設(shè)ε－GE(F(S(q)，q)，CW(B))≠φ可知:

所以，集值映射ε－GE(q)滿足定理1的條件，由此知結(jié)論成立．