前后向時間序列模型聯(lián)合估計的時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識

第一作者楊武男，博士生，1986年生

通信作者劉莉女，教授，1964年生

前后向時間序列模型聯(lián)合估計的時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識

楊武，劉莉，周思達，馬志賽

(北京理工大學宇航學院飛行器動力學與控制教育部重點實驗室， 北京100081)

摘要：為提高時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識精度和抗噪聲能力，提出一種前后向泛函向量時變自回歸滑動平均(FS-VTARMA)時間序列模型聯(lián)合估計的模態(tài)參數(shù)辨識方法。首先建立前后向FS-VTARMA模型聯(lián)合估計的均方誤差形式的費用函數(shù)，其次引入非平穩(wěn)信號中前向模型和后向模型估計系數(shù)的近似共軛關(guān)系，再利用兩步最小二乘法(2SLS)得到時變模型系數(shù)，最后把時變模型特征方程轉(zhuǎn)換為廣義特征值問題提取出模態(tài)參數(shù)。利用時變剛度系統(tǒng)非平穩(wěn)振動信號驗證該方法，結(jié)果表明：能有效地克服前向模型估計中模態(tài)參數(shù)一步延遲以及起始時刻無法準確獲得，以及后向模型估計中模態(tài)參數(shù)一步超前以及終止時刻無法準確獲得的缺點，具有更高的模態(tài)參數(shù)辨識精度和更強的抗噪聲能力。

關(guān)鍵詞：時變結(jié)構(gòu)；模態(tài)參數(shù)辨識；前后向時間序列；向量；泛函

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2014-03-02

中圖分類號:V414；N945.14文獻標志碼：A

Modal parameter identification of time-varying structures using a forward-backward time series model based on joint estimation

YANGWu,LIULi,ZHOUSi-da,MAZhi-sai(MOE Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vechile, School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract:To improve modal parameter identification precision and anti-noise performance for time-varying structures an identification approach using a forward-backward functional series vector time-dependent ARMA time series model (FS-VTARMA) based on joint estimation was presented. Firstly, a cost function in the form of mean square error for joint forward-backward estimation of FS-VTARMA model was established. Secondly, the estimated parameters of forward and backward models for a non-stationary signal were approximately complex conjugate. Then, the time-varying model coefficients were obtained using the two-stage least square (2SLS) method. Finally, its modal parameters were extracted from a generalized eigenvalue problem transformed from an eigenvalue equation of the time-varying model. The identification approach was validated with non-stationary vibration signals of a system with time-varying stiffness. The results indicated that the proposed method can not only overcome shortages of one-step delay and initial prediction error in the forward model’s modal parameter estimation, but also overcome shortages of one-step step lead and terminal prediction error in the backward model’s modal parameter estimation, it has higher modal parameter identification precision and better anti-noise performance.

Key words:time-varying structures; modal parameter identification; forward-backward time series; vector; functional series

工程實際中，工作中的機械臂、車輛通行中的橋梁、發(fā)射中的運載火箭、帆板展開中的航天器等結(jié)構(gòu)都存在隨時間變化的動力學特性。由于這些結(jié)構(gòu)常常在工作中才表現(xiàn)出時變動力學特性且所作用的激勵力未知或隨機，因此采用工作模態(tài)分析(僅輸出模態(tài)分析，OMA)來辨識模態(tài)參數(shù)。

現(xiàn)有時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識按照辨識域分為頻域和時域。時域辨識方法主要分為隨機子空間法[1]和時間序列法。其中時間序列法近80年以來得到長足發(fā)展，已經(jīng)從時不變結(jié)構(gòu)拓展到時變結(jié)構(gòu)。最近參數(shù)化時域模態(tài)參數(shù)辨識是一個熱點問題[2-3]。為提高辨識精度和抗噪聲能力，Sodsri[4]把運用在平穩(wěn)信號中的前后向線性預測(FBLP)[5]擴展到非平穩(wěn)信號，提出一種前后向泛函時變自回歸(FS-TAR)模型聯(lián)合估計的瞬時頻率辨識方法。蘆玉華等[6]在對滾動軸承故障診斷中運用前后向FS-TAR模型聯(lián)合估計方法，采用遞推最小二乘(RLS)技術(shù)提取出特征頻率。Kazlauskas等[7]運用前后向FS-TAR模型聯(lián)合估計方法辨識噪聲環(huán)境中調(diào)制信號的瞬時頻率。同時，為讓模型參數(shù)簡約，且能辨識工作參考向量和反共振點，Spiridonakos等[8]提出泛函向量時變自回歸滑動平均(FS-VTARMA)模型，但是該模型是一種前向模型，對辨識的模態(tài)參數(shù)產(chǎn)生一步延遲，且無法準確地獲得起始時刻的模態(tài)參數(shù)。

本文結(jié)合FS-VTARMA模型和前后向FS-TAR模型各自的優(yōu)點，提出一種模型參數(shù)簡約、辨識精確、抗噪聲強、能辨識工作參考向量和反共振點的前后向泛函向量時變自回歸滑動平均模型(FS-VTARMA)聯(lián)合估計的模態(tài)參數(shù)辨識方法。首先建立前后向FS-VTARMA模型聯(lián)合估計的均方誤差形式的費用函數(shù)，再根據(jù)非平穩(wěn)信號中前向模型和后向模型估計系數(shù)的近似共軛關(guān)系，利用兩步最小二乘方法得到時變模型系數(shù)，最后把時變模型特征方程轉(zhuǎn)換為廣義特征值問題提取出模態(tài)參數(shù)。利用時變剛度系統(tǒng)非平穩(wěn)振動信號對該辨識方法的有效性進行驗證。

1前向和后向FS-VTARMA模型的建立

(1)

(2)

其中:t為離散時間，上標“f”和“b”分別為前向和后向估計標識符，x[t]k×1為非平穩(wěn)復時間序列，w[t]k×1為滿足零均值和協(xié)方差Σ[t]k×k的不相關(guān)復殘差序列，p和q分別為自回歸(AR)和滑動平均(MA)階數(shù)，且滿足p≥q，而Ai[t]k×k和Ci[t]k×k分別為相應的復時變系數(shù)。把Ai[t]、Ci[t]和Σ[t]分別在函數(shù)子空間

(3)

上展開，得到泛函向量時變自回歸滑動平均模型FS-VTARMA(p,q,k)[l,m,n]，其中，l、m和n分別為子空間Υ、Γ和Ψ的維度，而下標ar(i)(i=1,…,l)，ma(i)(i=1,…,m)，co(i)(i=1,…,n)為對應子空間的基函數(shù)標識。該基函數(shù)可以從任何函數(shù)族(如三角函數(shù)、切比雪夫、勒讓德等)中選擇。而Ai[t]、Ci[t]和Σ[t]在函數(shù)子空間上展開形式為：

(4)

?Af[R,t]·x[t]=Cf[R,t]·wf[t]

?Gf[R,t]·x[t]=wf[t]

(5)

?(Af[L,t])*·x[t]=(Cf[L,t])*·wb[t]

?(Gf[L,t])*·x[t]=wb[t]

(6)

其中:定義多項式算子矩陣

Gf[R,t]?(Cf[R,t])-1。Af[R,t]=

(Gf[L,t])*?((Cf[L,t])*)-1。(Af[L,t])*=

(7)

2前后向模型聯(lián)合估計

根據(jù)參數(shù)估計原理[13]，建立前后向模型聯(lián)合估計的費用函數(shù)，再最小化費用函數(shù)得待估參數(shù)。

2.1聯(lián)合估計的費用函數(shù)

把前向和后向模型的殘差序列均方誤差(MSE)求和，得到聯(lián)合估計的費用函數(shù)為

(8)

一般地，含MA的費用函數(shù)，估計參數(shù)θ是一個非線性優(yōu)化過程，十分耗時且可能為局部最優(yōu)。需要把該過程轉(zhuǎn)化為線性求解過程，主要方法包括[12]：多項式-代數(shù)法(P-A)、遞推擴展最小二乘法(RELS)和兩步最小二乘法(2SLS)。P-A法精度高但耗時；RELS法精度不高；2SLS法精度較高且計算效率高。

2.2AR和MA時變系數(shù)矩陣估計

2SLS法的基本思想為利用逆函數(shù)把FS-VTARMA模型轉(zhuǎn)化成兩個可以線性求解的FS-VTAR模型：第一步對FS-VTARMA模型相等價的無限階時變FS-VTAR逆函數(shù)模型進行o階截斷，求出該模型的殘差序列值；第二步利用該殘差序列值把原FS-VTARMA模型轉(zhuǎn)換成一個MA已知的可線性求解的FS-VTAR模型。

2.2.1第一步：逆函數(shù)估計

對式(5)中Gf[R,t]取o階截斷得逆函數(shù)模型為

t=1～N-o

(10)

其中:

。

利用wb[t,g]和wb[t,g])*不會改變費用函數(shù)值的特性，得前后向逆函數(shù)模型聯(lián)合估計的費用函數(shù)為

(11)

(12)

(13)

2.2.2第二步：AR和MA系數(shù)估計

其中:

Φf[t]=φf[t]?Ik,

φf[t]=[(-x[t-1]?Υar[t])T,…,

(-x[t-p]?Υar[t])T,

Υar[t]=[Υar(1)[t],…,Υar(l)[t]]T,

Γma[t]=[Γma(1)[t],…,Γma(m)[t]]T

同理，后向模型轉(zhuǎn)化為一個后向的線性估計過程為，

x[t]=(Φb[t])T·θ*+wb[t,θ],

t=1～N-p

(15)

其中:

Φb[t]=φb[t]?Ik,

(16)

2.3協(xié)方差時變系數(shù)矩陣投影系數(shù)估計

(18)

(19)

3模型結(jié)構(gòu)選擇

模型結(jié)構(gòu)選擇基本過程為：根據(jù)經(jīng)驗和信號變化特性，選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)族，再對信號進行分析，確定FS-VTARMA(p,q,k)[l,m,n]模型參數(shù)p，q，l，m，n，ar(i)，ma(i)和co(i)的值。函數(shù)族類型的選擇沒有一個固定準則，只要函數(shù)空間維度足夠大，任何變化形式的模型都可以得到很好近似。模型結(jié)構(gòu)的確定分解為兩個子問題：①模型階數(shù)(p,q)選擇；②函數(shù)子空間(l,m,n,ar(i),ma(i),co(i))選擇。

3.1模型階數(shù)(p,q)選擇

目前確定模型階數(shù)的準則很多，包括AIC、BIC和FPE等[10]，本文采用向量模型的BIC準則[14]，

(w[t,θ])H·(∑(t,σ))-1·w[t,θ])+

(20)

其中:d為模型獨立估計參數(shù)個數(shù)k·k·(p·l+q·m+n)。

3.2函數(shù)子空間(l,m,n,ar(i),ma(i),co(i))選擇

考慮到(ar(i),ma(i),co(i))才是獨立變量，若以“1”表示存在，“0”表示不存在，從而可以把函數(shù)子空間的選擇問題轉(zhuǎn)換為求BIC最小的離散變量優(yōu)化問題。

4時變模態(tài)參數(shù)估計

4.1“時間凍結(jié)”的功率譜密度函數(shù)

其中:ω為圓頻率，Ts為采樣周期，j為虛數(shù)單位。

4.2“時間凍結(jié)”的模態(tài)參數(shù)

在t時刻“時間凍結(jié)”，取R=z-1(z變量)，得到離散系統(tǒng)特征多項式為

(22)

為了避免求解非線性方程組，該多項式的根可以轉(zhuǎn)換為一個廣義特征值問題[15]，

(D-λrI)·Vr=0

(23)

其中:λr為特征根(r=1,…,k·p)，系統(tǒng)特征矩陣

特征向量

Lr為工作參考向量。相應的，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比為

fr[t]=2π|lnλr[t]|/Ts

ζr[t]=-Re(λr[t])/|lnλr[t]|

(24)

5精度與抗噪聲測試

選擇三角余弦函數(shù)族：

(25)

圖1　無噪聲周期變化正弦信號模態(tài)頻率辨識結(jié)果對比 Fig.1 Comparation with modal frequency identification of the noise-free sine signal

圖2　含噪聲周期變化正弦信號模態(tài)頻率辨識結(jié)果對比 Fig.2 Comparation with modal frequency identification of the noisy sine signal

圖3　時變剛度系統(tǒng) Fig.3 A system with time-varying stiffnesses

由圖1可知，前向估計中模態(tài)頻率一步延遲，且在起始時刻出現(xiàn)很大的偏差；后向估計中模態(tài)頻率一步超前，且在在終止時刻出現(xiàn)很大的偏差；然而前后向聯(lián)合估計中模態(tài)參數(shù)在起始時刻和終止時刻均有很好的估計精度。由圖2可知，加入噪聲后，前向估計和后向估計中模態(tài)頻率精度均降低，而前后向聯(lián)合估計具有一定的抗噪聲能力，模態(tài)參數(shù)精度依然較高。

表1　估計誤差對比

由表1可知，噪聲會導致估計誤差的增加，而前后向聯(lián)合估計誤差比前向和后向均小，抗噪能力強。

6非平穩(wěn)振動下時變剛度系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識

以時變剛度系統(tǒng)非平穩(wěn)振動[12](如圖3所示)對前后向FS-VTARMA模型聯(lián)合估計模態(tài)參數(shù)辨識方法進行驗證。

該時變系統(tǒng)的運動學方程為

(26)

其中:x(t)為位移響應，r(t)為白噪聲隨機激勵，

ki(t)=ki,0+ki,1·sin(2πt/Pi,1)+ki,2·sin(2πt/Pi,2),(i=2,3)。系統(tǒng)的各個參數(shù)值如表2所示。

表2　時變系統(tǒng)參數(shù)

為消除初始影響取t=[-16.67,850]s，采用變積分步長龍格-庫塔法對時變系統(tǒng)的運動學方程式(26)求解，再進行48 Hz重采樣、6 Hz濾波和12 Hz重采樣，最后取t=[0,850]s(N=10 200)為分析信號。利用Monte Carlo分析，產(chǎn)生50組白噪聲激勵，重復以上過程，生成50組分析信號，該信號不含測量噪聲。

時變剛度系數(shù)以正弦變化，故選擇三角函數(shù)族：

其中:n為基函數(shù)階數(shù)，t=1,…,N。選擇逆函數(shù)模型的截斷階數(shù)o=20，滑動時間窗長度L=256。確定前向、后向和前后向估計的初始模型都為FS-VTARMA(6,6,3)[50,10,40]，以前向估計為例(隨機選擇一個分析信號)，以BIC為準則的模型階數(shù)選擇過程如圖4所示。

圖4　前向估計模型階數(shù)選擇 Fig.4 Modal order selection for forward estimation

由圖4可知，AR階數(shù)從p=2，MA階數(shù)從q=1開始趨于平緩。確定出前向估計的模型階數(shù)為(2,1)，同理，確定出前向估計和前后向估計的模型階數(shù)均為(2,1)。利用遺傳算法(GA)，基函數(shù)子空間優(yōu)化得到：

前向FS-VTARMA(2,1,3)[35,6,15]、后向FS-VTARMA(2,1,3)[37,4,14]和前后向FS-VTARMA(2,1,3)[28,4,8]。

利用所確定的模型結(jié)構(gòu)，對50組信號分別進行模態(tài)參數(shù)辨識，前向、后向和前后向辨識的模態(tài)頻率分別如圖5、6和7所示(圖中“○”為“時間凍結(jié)”理論值)，估計誤差E(50組均值/方差)如表3所示。

由圖5～7可知：在起始時刻和終止時刻，少數(shù)組分析信號對第2和3階模態(tài)的前向和后向估計誤差都較大，這是由于白噪聲激勵的隨機性影響模態(tài)參數(shù)辨識精度；而前后向估計在整個時段中受白噪聲激勵隨機性影響小、魯棒性好。

圖5 前向模型估計模態(tài)頻率值Fig.5Modalfrequenciesofforwardmodelestimation圖6 后向模型估計模態(tài)頻率值Fig.6Modalfrequenciesofbackwardmodelestimation圖7 前后向模型估計模態(tài)頻率值Fig.7Modalfrequenciesofforward-backwardmodelestimation

表3　估計誤差均值和方差對比

由表3可知，三種估計方法對第1階模態(tài)的估計誤差均值近似相等，前后向聯(lián)合估計對第2和3階模態(tài)的誤差均值比前向和后向估計誤差均值略大，這是由于前向估計中模態(tài)頻率一步延遲和后向估計中模態(tài)頻率一步超前與采樣頻率相關(guān)，隨著采樣頻率的增加，延遲和超前值減小[4]。本算例中采樣頻率相對較高，故三者的誤差值相近。三階模態(tài)中前后向聯(lián)合估計的方差均最小，受白噪聲激勵隨機性影響小。

為了研究噪聲對前后向聯(lián)合估計的影響，分別在50組無噪聲信號中加入SNR為30 dB和20 dB的白噪聲，選擇與無噪聲相同的模型結(jié)構(gòu)參數(shù)值，分別進行模態(tài)參數(shù)辨識，估計誤差E如表4所示。

表4　含噪聲估計誤差均值/方差對比

由表4可知，加入噪聲后前后向估計誤差的均值和方差較無噪聲情況有較小增加，估計結(jié)果受測量噪聲激勵影響小且魯棒性好。

7結(jié)論

針對時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識中辨識精度和抗噪聲問題，提出一種前后向泛函向量時變自回歸滑動平均模型聯(lián)合估計的模態(tài)參數(shù)辨識方法。通過頻率周期變化的實正弦信號和時變剛度系統(tǒng)非平穩(wěn)振動信號對該方法進行驗證，結(jié)果表明：能有效地消除前向估計中模態(tài)參數(shù)一步延遲以及起始時刻無法準確獲得，后向估計中模態(tài)參數(shù)一步超前以及終止時刻無法準確獲得的缺點；具有更高的模態(tài)參數(shù)辨識精度和更強的抗噪聲能力。該方法可以進一步應用于工作參考向量和反共振點的辨識。

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