第一作者李世龍男，博士生，1987年生

通信作者馬立元男，教授，博士生導師，1962年生

基于不完備實測模態(tài)數(shù)據(jù)的結構損傷識別方法研究

李世龍1，馬立元1，田海雷2，李永軍1

(1.軍械工程學院 導彈工程系，石家莊050003； 2.武漢軍械士官學校 光電裝備系，武漢430075)

摘要：在傳統(tǒng)的基于模型修正的損傷識別中，由于實測模態(tài)信息有限而待識別參數(shù)過多，往往導致?lián)p傷識別方程出現(xiàn)較大誤差，從而限制了該方法在復雜結構中的應用。為解決這一問題，對結構的自由度進行了分解，將損傷結構中模態(tài)振型的未測量部分表達為已測量到的模態(tài)振型、模態(tài)頻率以及結構其它參數(shù)的函數(shù)。將損傷視為結構單元剛度的減小，利用完好結構的計算模態(tài)數(shù)據(jù)以及損傷結構擴充后的實測模態(tài)數(shù)據(jù)，建立了結構的損傷識別方程。運用信賴域優(yōu)化算法對具有雙重約束條件的目標函數(shù)進行最小化，識別出了結構各單元的剛度損傷參數(shù)。通過兩個損傷識別數(shù)值仿真算例及實驗驗證，結果表明，在測點數(shù)量有限及測試噪聲等不利因素影響下，所提方法只需運用少量的實測模態(tài)信息，即可實現(xiàn)結構損傷位置及程度的準確識別，同時算法具有較好的魯棒性。

關鍵詞：模態(tài)數(shù)據(jù)；模型修正；目標函數(shù)；信賴域；魯棒性

收稿日期：2014-04-18修改稿收到日期：2014-09-12

中圖分類號:TB123；TU311文獻標志碼：A

基金項目：工信部高技術船舶專項;工信部聯(lián)裝(2010337);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助(2014-zyo-22)

Structural damage detection method using incomplete measured modal data

LIShi-long1,MALi-yuan1,TIANHai-lei2,LIYong-jun1(1.Department of Missile Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang, 050003, China；2. Department of Photoelectric Equipment, Wuhan Ordnance Sergeant School, Wuhan 430075, China)

Abstract:Owing to that the measured modal data is far less than parameters to be identified and the damage identification equations always have larger errors, these lead to the application of the traditional damage detection based on model updating is always limited in complex structures. Here, the drawback was solved by dividing structural DOFs into measured and unmeasured parts. Meanwhile, the unmeasured parts of the modal shapes of the damaged structure were characterized as a function of the structural parameters and the modal shapes of measured parts. Considering damage as a reduction of element stiffness, then the calculated modal data of an intact structure and the measured modal data of the corresponding damaged structure were used to establish the damage detect equation. The dual constrained objective function was minimized to recognize the changes of structural parameters by utilizing the trust region optimization method. The proposed method were verified with two numerical simulation examples and a damage detection test. The results showed that the proposed method has a good ability to detect any damage of structures using incomplete measured modal data, and the algorithm also has a good robustness.

Key words:modal data; model updating; objective function; trust region; robustness

近年來，基于試驗模態(tài)分析與有限元模型修正的損傷識別方法在航空航天、機械和土木工程等領域受到了越來越多的關注，并取得了許多研究成果[1-4]。但對于一些構件數(shù)目眾多、損傷形式多種多樣的大型復雜結構，這類方法在實際應用中仍存在諸多問題[5]。

模態(tài)測試的不利因素以及有限元建模的不利因素是影響復雜結構損傷識別的主要障礙之一[6]。模態(tài)測試的不利因素包括測試噪聲帶來的誤差以及測試條件的限制等，目前依然存在很多自由度無法測量的情況，包括結構的旋轉(zhuǎn)自由度以及一些內(nèi)部自由度等[7]；有限元建模的不利因素則包括結構自由度數(shù)目眾多、復雜的邊界條件以及結構的非線性特性等。在對復雜結構的損傷識別中，由于實測模態(tài)信息有限而待識別參數(shù)過多，往往使損傷識別方程出現(xiàn)較大誤差，從而導致識別結果產(chǎn)生偏離[8]。

模態(tài)擴充是應對測試信息不足的一種有效方法。Teughels等[9]在損傷識別數(shù)值仿真中，通過提取損傷結構多個自由度的“測試”信息，有效識別了損傷的位置及程度。Reynders等[10]提出一種模態(tài)擴充算法，利用部分自由度的實測信息，計算出了結構的剛度及質(zhì)量參數(shù)。劉金玉等[11]提出了一種基于攝動力的不完備模態(tài)擴充方法，對一個空間桁架結構模型進行了數(shù)值分析，結果表明該方法擴充后的模態(tài)相關性較好，各階模態(tài)誤差較小。

基于模態(tài)擴充思想，本文對結構的自由度進行了分解，將損傷結構中模態(tài)振型的未測量部分表達為結構已測量到的模態(tài)振型、模態(tài)頻率以及結構其它參數(shù)的函數(shù)。利用完好結構的計算模態(tài)數(shù)據(jù)以及損傷結構擴充后的實測模態(tài)數(shù)據(jù)，建立了結構的損傷識別方程。運用信賴域優(yōu)化算法對具有雙重約束條件的目標函數(shù)進行最小化，識別結構各單元的剛度損傷參數(shù)。

1理論推導

1.1自由度分解及振型擴充

未損傷結構的特征方程可描述如下：

(1)

式中:K(n×n)和M(n×n)分別為結構的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；ωi和φi分別為結構的第i模態(tài)頻率和模態(tài)振型；n為結構的自由度個數(shù)。

本文將結構的n個自由度分為兩部分：已測量部分及未測量部分，則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可分解如下：

(2)

式中:下標a和b分別表示結構已測量的自由度和未測量的自由度。

將式(2)代入式(1)并展開可得：

(3)

利用式(3)，結構模態(tài)振型的未測量部分可以計算如下：

(4)

由式(4)可以看出，結構模態(tài)振型的未測量部分可表達為已測量到的模態(tài)振型、模態(tài)頻率以及結構其它參數(shù)的函數(shù)。

1.2剛度矩陣的參數(shù)化

對結構的剛度矩陣進行如下分解：

[K]=[A][P][A]T

(5)

式中:Anp×np為剛度連接矩陣，[P]是對角線元素為P的對角陣，且diag[P]={P}。

由于結構的整體剛度矩陣為單元剛度矩陣的線性函數(shù)，且矩陣[A]和矩陣[P]是獨立的，因此對式(5)進行攝動可得：

[K+δK]=[A][P+δP][A]T

(6)

基于式(6)，對攝動的整體剛度矩陣分解如下：

[δK]=[A][δP][A]T

(7)

1.3損傷識別方程

有損傷結構的第k階模態(tài)的特征方程可描述如下：

(8)

(9)

(10)

將式(10)左側(cè)展開并變形可得：

(11)

式(11)說明了有損傷結構的剛度矩陣變化與結構模態(tài)參數(shù)之間的關系，然而該方程需要結構完整的實測模態(tài)振型，這對大多數(shù)結構來說是不現(xiàn)實的。特別對于一些同時包含平移自由度及旋轉(zhuǎn)自由度的結構，對旋轉(zhuǎn)自由度的測量需要非常昂貴的設備。為解決測試信息不足這一問題，將式(2)代入式(11)可得：

(12)

將式(12)展開可得：

φTiaδKaaφkda+φTibδKbaφkda+φTiaδKabφkdb+φTibδKbbφkdb-

(13)

式中:Rki為振型殘差向量。由式(4)可知，損傷結構中振型的未測量部分可由已測量部分求得，對式(13)中損傷結構振型的未測量部分進行替換可得：

φTiaδKaaφkda+φTibδKbaφkda-[φTiaδKab+φTibδKbb-

(14)

基于式(14)，利用完好結構的nu階計算模態(tài)數(shù)據(jù)以及損傷結構的nm階實測模態(tài)數(shù)據(jù)，則可建立nu×nm個損傷識別方程。在實際損傷識別中，當待識別單元數(shù)過多時，往往導致計算不能得到唯一解。為提高損傷識別結果的置信度，本文采用具有雙重約束條件的目標函數(shù)來解決。

1.4目標函數(shù)

損傷結構的特征值問題可描述如下：

(15)

將損傷結構的特征向量近似為完好結構對應的特征向量，則損傷結構的特征值問題可求解如下：

(16)

式中:Ei為殘差向量。對式(16)進行簡化可得：

(17)

結構的相對殘差大小為：

(18)

根據(jù)已測量的m階模態(tài)累計殘差，則可建立如下目標函數(shù)：

(19)

δP<0

(20)

基于式(14)中的等式約束及式(20)中的不等式約束，采用信賴域優(yōu)化算法對式(19)中的目標函數(shù)進行最小化，即可得出結構剛度參數(shù)的變化值。

2信賴域優(yōu)化算法

信賴域優(yōu)化算法既具有快速的局部收斂性，又具有理想的全局收斂性，它的主要思想是利用二次函數(shù)qk=f(xk)+gTkd+0.5dTGkd逼近目標函數(shù)f(x)，給定第k步迭代xk的一個鄰域內(nèi)qk(d)與目標函數(shù)一致，然后利用這個n維二次模型確定搜索方向dk[12]。

信賴域的數(shù)學模型為：

(21)

式中:f(p)為優(yōu)化問題的目標函數(shù)；q(s)即為近似于f(p)的二次函數(shù)；gk、Gk和pk分別為梯度矩陣、Hessian矩陣和優(yōu)化向量p在第k步迭代時的向量值；步長sk=pk+1-pk；hk為步長的上界。當給定hk時，可定義優(yōu)化變量pk的一個領域Ωk，即：

(22)

式中，‖?‖為向量范數(shù)。

設損傷識別的目標函數(shù)為：

(23)

式中:ei為模態(tài)參數(shù)列陣E中的第i個值。則梯度陣列為：

(24)

(25)

式中:S是E的靈敏度矩陣。

基于以上理論，聯(lián)合信賴域優(yōu)化算法，采用模型修正法對結構的損傷進行識別。本文采用的程序?qū)崿F(xiàn)方法是將Ansys作為Matlab的子程序進行調(diào)用。采用Ansys的參數(shù)化設計語言APDL編寫有限元參數(shù)化建模及模態(tài)分析的輸入流文件，并將需要修改的數(shù)據(jù)設置成參數(shù)；用Matlab編寫信賴域優(yōu)化算法程序的m文件，并將Matlab的輸入?yún)?shù)與Ansys命令流中的參數(shù)進行關聯(lián)。Ansys將模態(tài)分析計算結果生成數(shù)據(jù)流文件，供Matlab作為后續(xù)處理的參數(shù)值進行調(diào)用。最后通過收斂準則判斷迭代是否結束，若迭代結束，則列出對應的修正結果，否則繼續(xù)更新修正參數(shù)。

3損傷識別數(shù)值仿真

3.1平面桁架結構

采用文獻[13]中的五跨平面桁架模型，驗證本文所提識別方法的有效性。該模型包含12個節(jié)點，26個單元，共21個自由度，具體分布如圖1所示。單元的彈性模量E=7.03×1010N/m2，密度ρ=2685kg/m3，橫截面面積A=0.0011m2。待識別的損傷參數(shù)為單元的軸向剛度EA，其中E為彈性模量，A為單元橫截面面積。損傷識別中，單元的剛度損傷以降低彈性模量來模擬，即認為損傷只導致單元的彈性模量E發(fā)生改變，而橫截面面積A不變。

圖1　五跨平面桁架模型 Fig.1 Five-bay plane truss model

為驗證識別方法對不同類型損傷的識別效果，總共設置了4種損傷工況，具體如表1所示。

分別對完好結構及損傷結構進行有限元計算。為體現(xiàn)本文方法對實測信息依賴小的優(yōu)勢，依據(jù)工程經(jīng)驗，假設在對損傷結構的模態(tài)測試中僅測量了6個自由度，分別位于自由度9、10、12、17、19和21，即只從損傷結構的有限元計算結果中提取這6個自由度的振型信息。利用完好結構的前5階模態(tài)數(shù)據(jù)及損傷結構的前2階部分“實測”模態(tài)數(shù)據(jù)，對上述的4種損傷工況進行識別，識別結果如圖2所示。

圖2　平面桁架的損傷識別結果(無噪聲) Fig.2 Damage detection results of the plane truss (noise free data)

從識別結果可以看出，在沒有噪聲污染的情況下，本文方法只需利用少量的實測信息，即可實現(xiàn)不同損傷位置及程度的準確識別。

表1　平面桁架的損傷工況

3.2三維鋼框架結構

為驗證本文方法對復雜結構的損傷識別效果，采用文獻[14]中的5層空間鋼框架模型，該模型由20個柱單元、20個梁單元以及5個板單元組成，板單元的厚度為0.01m，其余尺寸見圖3。材料的彈性模量E=2.07×1011N/m2，密度ρ=7800kg/m3。模型共包含20個節(jié)點，每個節(jié)點3個自由度，共60個自由度。由于梁單元和板單元焊接在一起，不易出現(xiàn)損傷，故損傷識別中只考慮柱單元的損傷。待識別的損傷參數(shù)為柱單元的抗彎剛度EI，其中E為彈性模量，I為單元的截面慣性矩。損傷識別中，單元的剛度損傷同樣以降低彈性模量來模擬，截面慣性矩I保持不變。

總共設置了4種損傷工況，具體如表2所示。

圖3　三維鋼框架模型 Fig.3 Three-dimensional steel frame model

工況單元編號損傷程度/%110,1720,3026,1520,2033,9,1820,30,4045,12,1920,30,20

損傷識別中，假設在對損傷結構的模態(tài)測試中僅測量了11個自由度，分別為節(jié)點1(x，y)、節(jié)點7(x，y)、節(jié)點9(x，y)、節(jié)點15(x，y)和節(jié)點17(x，y，z)，即只從損傷結構的有限元計算結果中提取以上11個自由度的振型信息。利用完好結構的前5階計算模態(tài)數(shù)據(jù)及損傷結構的前3階部分“實測”模態(tài)數(shù)據(jù)，對上述的4種損傷工況進行識別，識別結果如圖4所示。

圖4　三維鋼框架的損傷識別結果(無噪聲) Fig.4 Damage detection results of thesteel frame (noise free data)

從識別結果可以看出，在沒有噪聲污染的情況下，利用少量的實測信息，本文方法可實現(xiàn)三維復雜結構不同損傷位置及程度的有效識別。

3.3測試噪聲影響下的損傷識別分析

在實際的模態(tài)測試中，由于受噪聲影響，往往導致測試結果產(chǎn)生誤差，因此本文采用在數(shù)值計算結果中加入噪聲的方法來模擬實際的測試環(huán)境。在目前的損傷識別領域，通常采用以下兩種方法來模擬噪聲：一種是在仿真振動信號中加入噪聲，以信噪比SNR表示噪聲大??；另一種是在有限元計算結果中加入噪聲[15]。

圖5　平面桁架的損傷識別結果(有噪聲) Fig.5 Damage detection results of the plane truss (noise data)

本文采用后者，在有限元計算得到的模態(tài)頻率及振型中加入由Matlab標準正態(tài)分布生成的隨機數(shù)來模擬噪聲：

xi=x(1+ε×randn)

(26)

式中:xi為加入噪聲后的模態(tài)參數(shù)，x為模態(tài)參數(shù)的真實值；ε為噪聲水平；randn為具有單位標準差和零均值的正態(tài)分布隨機變量。本文在模態(tài)頻率中加入的噪聲水平為4%，在模態(tài)振型中加入的噪聲水平為3%。

利用有噪聲污染的計算模態(tài)數(shù)據(jù)，平面桁架及三維鋼框架的損傷識別結果如圖5和圖6所示。

圖6　三維鋼框架的損傷識別結果(有噪聲) Fig.6 Damage detection results of thesteel frame (noise data)

從識別結果可以看出，本文方法在有噪聲污染的情況下，依然可以識別出結構不同位置、不同程度的損傷。平面桁架的識別效果非常好，未損傷單元的最大誤判未超過5%，損傷單元的最大誤判未超過2%，達到了預期的精度要求。由于振型對噪聲比較敏感，因此三維鋼框架的誤判稍大一些。最大誤判出現(xiàn)在工況4中，當3個單元的損傷程度均比較小時，未損傷單元的最大誤判接近9%，但損傷單元的最大誤判未超過4%，因此可以有效識別出所設置的不同損傷。

為研究本文方法的魯棒性，引入變異系數(shù)(Coefficients of Variance，即COV)向量，其被定義為識別得到的單元剛度參數(shù)向量P的標準差與相應均值的百分比，COV值越小，表明識別結果受測量噪聲的影響越小。平面桁架及三維鋼框架各單元識別剛度參數(shù)的COV值如圖7和圖8所示。

圖7　平面桁架各單元剛度參數(shù)的COV值 Fig.7 COV of predicted stiffness parameters of the plane truss

圖8　三維鋼框架各單元剛度參數(shù)的COV值 Fig.8 COV of predicted stiffness parameters of thesteel frame

從圖中可以看出，兩種結構的COV值均比較小，說明本文方法具有較好的魯棒性。相比而言，平面桁架的COV值更小一些，說明結構越簡單，損傷識別結果受測量噪聲的影響越小。

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若采用文獻[16]中的方法對以上兩種結構進行損傷識別，若想得到相同精度的識別結果，平面桁架至少需要前4階實測模態(tài)數(shù)據(jù)，而三維鋼框架則至少需要前7階實測模態(tài)數(shù)據(jù)。由于結構的高階模態(tài)一般不易測量且誤差較大，因此在對自由度數(shù)目較多的復雜結構損傷識別中，本文方法具有明顯優(yōu)勢。

4實驗驗證

4.1模型概況及模態(tài)試驗

某導彈發(fā)射臺骨架為鋼管焊接結構，其在長時間受壓以及導彈發(fā)射時沖擊載荷影響下，焊接節(jié)點易出現(xiàn)損傷，因此本文將對其進行損傷識別研究。實驗模型為發(fā)射臺骨架的1∶2縮尺模型，該模型由9根鋼管及兩個連接片焊接制成，材料為Q235鋼，模態(tài)測試現(xiàn)場如圖9所示。

圖9　發(fā)射臺骨架模態(tài)測試 Fig.9 The modal experiment sense

圖10　損傷識別單元組及候選測點分布 Fig.10 Distribution of elements group and measuring points

運用Ansys軟件，采用beam189單元，建立其三維空間梁模型。彈性模量E為2.07×1011N/m2，泊松比μ為0.27，密度ρ為7800 kg/m3。有限元模型包含26個節(jié)點，31個單元，共計156個自由度。由于模型為鋼管焊接結構，焊縫處易出現(xiàn)損傷，因此將焊縫所在位置的16個節(jié)點作為模態(tài)測試的候選測點。同時，依據(jù)發(fā)射臺的結構特點，將焊接節(jié)點的損傷視為所在鋼管剛度的降低，本文把易損傷的鋼管作為一個單元組進行處理，參加損傷識別的單元組共計9個，具體分布如圖10所示。

模態(tài)測試中，用橡膠繩將模型懸吊起來，使其處于“自由狀態(tài)”。為比較激勵方式對結構動力特性的影響，分別采用激振器和力錘對結構施以激勵，單點激勵，多點響應。為驗證方法利用不完備實測模態(tài)進行損傷識別的有效性，模態(tài)測試中僅對16個候選測點中的10個平移自由度進行了測量，測試自由度具體分布如表3所示。

表3　測試自由度分布

在兩種激勵方式下分別進行了多次重復測試，選擇測試較為穩(wěn)定的數(shù)據(jù)組，從而減小人為的操作誤差給測試數(shù)據(jù)產(chǎn)生的影響。采樣頻率為10kHz，每個響應信號取20000個采樣點。加速度信號經(jīng)電荷放大器放大進入DH5920動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)，測試分析軟件采用東華模態(tài)分析軟件(DHMA)。

4.2損傷識別分析

為模擬發(fā)射臺在使用中的真實損傷狀況，本文采用靜力加載的方式制造損傷，并分別對完好結構和損傷結構進行模態(tài)測試。損傷設置在圖10中7號單元組右端的焊接節(jié)點處，包括三種不同程度的損傷，如圖11所示。

圖11　發(fā)射臺骨架實驗損傷工況 Fig.11 Damage cases of the framework in experiment

結構的理論頻率和位移模態(tài)由Ansys模型計算獲得，利用完好結構的前5階計算模態(tài)數(shù)據(jù)及損傷結構的前3階部分實測模態(tài)數(shù)據(jù)，采用模型修正法對上述的3種不同程度的損傷進行識別，識別結果如圖12所示。

圖12　損傷識別結果 Fig.12 Damage identification results

從圖中可以看出，當工況1的損傷比較輕微時，由于小損傷對結構模態(tài)參數(shù)的影響較小，且模態(tài)測試中存在一定誤差，導致識別結果出現(xiàn)了一定程度的誤判，但能夠有效識別出實際發(fā)生損傷的單元組位置。隨著損傷程度的加大，損傷識別結果越來越清晰。

5結論

本文提出了一種基于不完備實測模態(tài)數(shù)據(jù)的損傷識別方法，解決了傳統(tǒng)基于模型修正的損傷識別方法在復雜結構中應用難的問題。通過兩個損傷識別數(shù)值仿真算例及實驗分析，驗證了本文方法的有效性。通過研究，得出以下主要結論：

(1)實測模態(tài)信息不足是限制基于模型修正的損傷識別方法應用于復雜結構的主要障礙，可通過有限元模型縮聚或?qū)崪y模態(tài)進行擴展來解決。

(2)通過對結構的自由度進行分解，將損傷結構中模態(tài)振型的未測量部分表達為結構已測量到的模態(tài)振型、模態(tài)頻率以及其它參數(shù)的函數(shù)，可有效解決結構損傷識別方程不準確的問題。

(3)將損傷視為結構單元剛度的降低，利用完好結構的計算模態(tài)數(shù)據(jù)及損傷結構擴充后的實測模態(tài)數(shù)據(jù)，運用信賴域優(yōu)化算法對具有雙重約束條件的目標函數(shù)進行最小化，可有效識別出結構各單元的剛度損傷參數(shù)。

(4)通過測試噪聲影響下的損傷識別數(shù)值仿真以及實驗分析，結果表明在實測自由度有限及測試噪聲等不利因素影響下，本文方法只需運用少量的實測模態(tài)信息，即可實現(xiàn)結構損傷位置及程度的準確識別，同時算法具有較好的魯棒性。

(5)由于結構的高階模態(tài)一般不易測量且誤差較大，所以對于待識別單元數(shù)目眾多的大型復雜結構，研究對小損傷及多損傷更為敏感的損傷識別方法是本文后續(xù)的研究方向。

參考文獻

[1]Chellini G,De Roeck G,Nardinia L,et al. Damage analysis of a steel-concrete composite frame by finite element model updating[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2010,66:398-411.

[2]Fang Sheng-En, Perera R. Damage identification by response surface based model updating using D-optimal design[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011,25:717-733.

[3]楊小森, 閆維明, 陳彥江,等. 基于模型修正的大跨斜拉橋損傷識別方法[J]. 振動、測試與診斷,2012,32(2):276-281.

YANG Xiao-sen, YAN Wei-ming, CHEN Yan-jiang, et al. Damage detection method for long span cable-stayed bridge based on model updating [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012,32(2):276-281.

[4]李世龍,馬立元,李永軍,等.基于模型修正的鋼管焊接結構焊縫損傷識別[J].振動與沖擊,2012,31(15):127-131.

LI Shi-long,MA Li-yuan, LI Yong-jun, et al. Damage detection for weld seam on steel tube welded structures based on model updating[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(15):127-131.

[5]Yan Y J, Cheng L, Wu Z Y,et al. Development in vibration-based structural damage detection technique[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2007,21 (5): 2198-2211.

[6]方圣恩.基于有限元模型修正的結構損傷識別方法研究[D].長沙:中南大學,2010.

[7]Jaishi B, Ren W X. Structural finite element model updating using ambient vibration test results[J]. Journal of Structural Engineering,2005,131:617-628.

[8]Bakhtiari-Nejad, Rahai, Esfandiar. Structural damage detection and assessment using incomplete measured eigenvectors and eigenvalues[C].7th MOVIC Conference,Washington University,2004.

[9]Teughels A, De Roeck G. Structural damage identification of the highway bridge Z24 by FEmodel updating[J].Journal of Sound and Vibration,2004,278(3):589-610.

(下轉(zhuǎn)第228頁) G,De Roeck G,Nardinia L,et al. Damage analysis of a steel-concrete composite frame by finite element model updating[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2010,66:398-411.

[2]Fang Sheng-En, Perera R. Damage identification by response surface based model updating using D-optimal design[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011,25:717-733.

[3]楊小森, 閆維明, 陳彥江,等. 基于模型修正的大跨斜拉橋損傷識別方法[J]. 振動、測試與診斷,2012,32(2):276-281.

YANG Xiao-sen, YAN Wei-ming, CHEN Yan-jiang, et al. Damage detection method for long span cable-stayed bridge based on model updating [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012,32(2):276-281.

[4]李世龍,馬立元,李永軍,等.基于模型修正的鋼管焊接結構焊縫損傷識別[J].振動與沖擊,2012,31(15):127-131.

LI Shi-long,MA Li-yuan, LI Yong-jun, et al. Damage detection for weld seam on steel tube welded structures based on model updating[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(15):127-131.

[5]Yan Y J, Cheng L, Wu Z Y,et al. Development in vibration-based structural damage detection technique[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2007,21 (5): 2198-2211.

[6]方圣恩.基于有限元模型修正的結構損傷識別方法研究[D].長沙:中南大學,2010.

[7]Jaishi B, Ren W X. Structural finite element model updating using ambient vibration test results[J]. Journal of Structural Engineering,2005,131:617-628.

[8]Bakhtiari-Nejad, Rahai, Esfandiar. Structural damage detection and assessment using incomplete measured eigenvectors and eigenvalues[C].7th MOVIC Conference,Washington University,2004.

[9]Teughels A, De Roeck G. Structural damage identification of the highway bridge Z24 by FEmodel updating[J].Journal of Sound and Vibration,2004,278(3):589-610.

[10]Reynders E, De Roeck G, Bakir P G,et al. Damage identification on theTiff Bridge by vibration monitoring using optical fiber strain sensors[J]. Journal of Engineering Mechanics,2007,133(2):185-193.

[11]劉金玉,姜建華. 一種基于攝動力的不完備模態(tài)擴充方法[J].力學季刊 ,2012,33(4):590-595.

LIU Jin-yu, JIANG Jian-hua. Incomplete modal expansion method using perturbed force[J]. Chinese Quarterly of Mechanics ,2012,33(4):590-595.

[12]譚晉鵬.基于信賴域法的結構動力優(yōu)化設計方法研究[D].北京:清華大學,2006.

[13]Chou J H,Gha Bou Sai J. Genetic algorithm in structural damage detection[J].Computers and Structures,2001,79(14):1335-1353.

[14]Hsu Ting-Yu,Loh Chin-Hsiung. Damage diagnosis of frame structures using modified modal strain energy change method[J]. Journal of Engineering Mechanics,2008,134(11):1001-1011.

[15]Tondreau G, Reynders E,Deraemaeker A. Towards a more realistic modelling of the uncertainty on identified mode shapes due to measurement noise[C]. 9th International Conference on Damage Assessment of Structures,2011:1-7.

[16]Rahai, Bakhtiari-Nejad, Esfandiari. Damage assessment of structure using incomplete measured mode shapes[J].Struct. Cont. Health Monit,2007,14(5):808-829. E, De Roeck G, Bakir P G,et al. Damage identification on theTiff Bridge by vibration monitoring using optical fiber strain sensors[J]. Journal of Engineering Mechanics,2007,133(2):185-193.

[11]劉金玉,姜建華. 一種基于攝動力的不完備模態(tài)擴充方法[J].力學季刊 ,2012,33(4):590-595.

LIU Jin-yu, JIANG Jian-hua. Incomplete modal expansion method using perturbed force[J]. Chinese Quarterly of Mechanics ,2012,33(4):590-595.

[12]譚晉鵬.基于信賴域法的結構動力優(yōu)化設計方法研究[D].北京:清華大學,2006.

[13]Chou J H,Gha Bou Sai J. Genetic algorithm in structural damage detection[J].Computers and Structures,2001,79(14):1335-1353.

[14]Hsu Ting-Yu,Loh Chin-Hsiung. Damage diagnosis of frame structures using modified modal strain energy change method[J]. Journal of Engineering Mechanics,2008,134(11):1001-1011.

[15]Tondreau G, Reynders E,Deraemaeker A. Towards a more realistic modelling of the uncertainty on identified mode shapes due to measurement noise[C]. 9th International Conference on Damage Assessment of Structures,2011:1-7.

[16]Rahai, Bakhtiari-Nejad, Esfandiari. Damage assessment of structure using incomplete measured mode shapes[J].Struct. Cont. Health Monit,2007,14(5):808-829.

01