極限思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到結(jié)果。在數(shù)學(xué)中，極限思想滲透到函數(shù)、數(shù)列等章節(jié)，銜接高等數(shù)學(xué)，起到了承上啟下的作用。

【關(guān)鍵詞】極限 數(shù)學(xué) 函數(shù)

【中圖分類號(hào)】O1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）12-0133-01

1.極限思想在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)類題目中真正需要用到的具體的極限定理和公式，實(shí)際上并不很多，但所受到的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會(huì)到的極限思想和精神，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)揮著積極的作用。

在經(jīng)濟(jì)類題目中，用平均和邊際這兩個(gè)概念來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量 y 對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的變化。平均概念表示y在自變量x的某一個(gè)范圍內(nèi)的平均值。顯然， 平均值隨 x 的范圍不同而不同。邊際概念表示當(dāng) x 的改變量Δx趨于0時(shí)，y的相應(yīng)改變量 Δy與Δx比值Δy/Δx的變化， 即當(dāng) x 在某一給定值附近有微小變化時(shí)，y的瞬時(shí)變化。經(jīng)常用到的概念有邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)、邊際替代率等。如邊際替代率是指在維持效用水平或滿足程度不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)時(shí)所放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù)。

根據(jù)邊際替代率的定義求極限 （無(wú)限變化得精確值）。當(dāng)逐漸變小， 這是一個(gè)量變過(guò)程，但是量變達(dá)到一定界限， 平均邊際替代率問題向某點(diǎn)邊際替代率飛躍發(fā)生質(zhì)變， 由此可知， 為了求出某一點(diǎn)的量（某一點(diǎn)的邊際替代率）， 用在局部 “以勻代非勻”求得這個(gè)量的近似值， 然后再通過(guò)取極限的方法實(shí)現(xiàn)從近似到精確的過(guò)渡。在這里， 使“勻”與 “非勻”轉(zhuǎn)化的條件是取極限，不取極限就不能轉(zhuǎn)化。這是極限解決邊際問題的基本思想方法。

2.應(yīng)用極限思想解決無(wú)限的問題

所謂無(wú)限的問題是指人們需要求取一個(gè)數(shù)值，而這個(gè)數(shù)值求取的過(guò)程非常繁瑣，人們?nèi)绻F舉這個(gè)范圍內(nèi)所有的數(shù)值將會(huì)非常困難，但是如果人們有無(wú)限的思想，則可以就用無(wú)限接近的思想給出這個(gè)范圍內(nèi)最大的一個(gè)極限和一個(gè)最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內(nèi)所有的數(shù)值，直接可以判斷該范圍。

3.應(yīng)用極限思想解決逼近的問題

所謂逼近的問題是指人們遇到某種問題時(shí)，需要了解它的取值，然而這種取值是沒有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準(zhǔn)值最接近的一個(gè)答案，它即為該問題的最終答案，這種逼近的問題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問題。

4.應(yīng)用極限思想解決決策的問題

所謂的概述問題是指人們?cè)诮y(tǒng)計(jì)或計(jì)算中，需要了解某種數(shù)值，這種數(shù)值人們?nèi)绻珳?zhǔn)的計(jì)算，常常會(huì)得出不必要的循環(huán)小數(shù)，而在實(shí)踐生活中人們不需要特別精準(zhǔn)的答案，只需要一個(gè)大概的數(shù)值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算與統(tǒng)計(jì)全部省略，得到人們需要的大概數(shù)字。例如，在講算法初步時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，極限思想能幫人們化繁為簡(jiǎn)，解決實(shí)踐生活中的問題，實(shí)際上那位古老的賣羊故事即利用極限思想完成該類問題。

5.結(jié)論

從以上的極限思想應(yīng)用中可以看到，實(shí)際上極限思想擁有以下幾種思想：無(wú)窮大的思想，它是指用一種數(shù)學(xué)方式描述出一種事物的趨勢(shì)，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢(shì)，并在該趨勢(shì)范圍內(nèi)選取人們需要的一個(gè)范圍，它能避免人們無(wú)窮列舉的問題；無(wú)窮小的思想，它是指人們需要精準(zhǔn)的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準(zhǔn)的了解或描述，因此人們用無(wú)限小的思想盡可能地選取最接近于精準(zhǔn)答案的那個(gè)答案，它能避免人們無(wú)法精神描述的問題；輔助決策的思想，這是指人們?cè)跊Q策一件事物時(shí)，人們有時(shí)無(wú)法作準(zhǔn)最精密無(wú)誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問題，所以人們尋找一個(gè)能幫助自己決策的答案，這個(gè)答案能接近于人們需要的這個(gè)目標(biāo)。微積分是目前大專學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，常常會(huì)感覺到微積分知識(shí)復(fù)雜，他們覺得學(xué)習(xí)那么復(fù)雜的事物不知道能解決什么問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到無(wú)限思想應(yīng)用的方法，當(dāng)學(xué)生理解到無(wú)限思想的巨大用處時(shí)，就會(huì)對(duì)學(xué)生微積分知識(shí)產(chǎn)生興趣。

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作者簡(jiǎn)介：

王志攀（1982-），女，安徽淮北人，應(yīng)用數(shù)學(xué)碩士研究生，現(xiàn)任教于福建農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，講師。畢業(yè)院校：廣西大學(xué)；研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。