劉彥樓 辛 濤, 李令青 田 偉 劉笑笑

(1北京師范大學(xué)發(fā)展心理研究所,北京 100875) (2中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100875)(3泰山學(xué)院教師教育學(xué)院,山東泰安 271000)

1 引言

認(rèn)知診斷模型可以提供關(guān)于受測者知識(shí)或技能掌握程度的細(xì)粒度的、多維診斷性反饋信息,因此,引起了學(xué)生、教師、心理測量學(xué)家以及認(rèn)知心理學(xué)家等的關(guān)注(Greeno,1980;Leighton &Gierl,2007),是當(dāng)前心理測量領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。迄今為止,研究者提出了許多認(rèn)知診斷模型,這些模型可以被分為一般性的認(rèn)知診斷模型框架以及特殊的認(rèn)知診斷模型。一般性的認(rèn)知診斷模型框架,主要包括von Davier (2005)的一般診斷模型(

General Diagnostic Model,

GDM)、Henson,Templin 和 Willse (2009)提出的對數(shù)線性認(rèn)知診斷模型(

Log-Linear Cognitive Diagnosis Model,

LCDM)以及 de la Torre (2011)的G-DINA模型,常見的特殊的認(rèn)知診斷模型有決定性輸入,噪音與門模型(

Deterministic Input,Noisy And Gate,

DINA) (de la Torre &Douglas,2004;Haertel,1989;Junker &Sijtsma,2001),補(bǔ)償?shù)闹貐?shù)化統(tǒng)一模型(

Compensatory Reparameterized Unified Model,

C-RUM) (e.g.,Hartz,2002)等。

從統(tǒng)計(jì)上來講,以上這些一般性的認(rèn)知診斷模型與特殊的認(rèn)知診斷模型都屬于有約束的潛在類別模型(von Davier,2009)。這些“約束”主要是通過Q矩陣來實(shí)現(xiàn)的。Q矩陣是一個(gè)設(shè)計(jì)矩陣,其中的元素一般是“0”與“1”,雖然有研究(Chen &de la Torre,2013)已經(jīng)將 Q矩陣擴(kuò)展為多級(jí)的,但在絕大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中仍假定其是二分的,因此本研究仍假定Q矩陣是二分的。在認(rèn)知診斷模型中一般將受測者的知識(shí)或技能統(tǒng)稱為潛在屬性,簡稱屬性。Q矩陣的功能在于設(shè)定認(rèn)知診斷測驗(yàn)中項(xiàng)目與屬性之間的對應(yīng)關(guān)系,Q矩陣中元素取值為1代表正確作答某一項(xiàng)目需要某一對應(yīng)的屬性,取值為0則代表不需要。將認(rèn)知診斷模型與Q矩陣在項(xiàng)目水平上進(jìn)行組合,可以反映出研究者對于受測者在作答項(xiàng)目時(shí)的潛在認(rèn)知過程或操作的假定。

在使用認(rèn)知診斷測驗(yàn)對于受測者的屬性掌握狀況進(jìn)行診斷的時(shí)候,研究者面臨的一個(gè)重要的理論及現(xiàn)實(shí)問題是如何進(jìn)行項(xiàng)目功能差異(

Differential Item Functioning,

DIF)檢驗(yàn)。因?yàn)楫?dāng)測驗(yàn)中含有功能差異的項(xiàng)目時(shí),不僅會(huì)產(chǎn)生測驗(yàn)公平性的問題,而且也會(huì)影響到受測者屬性掌握模式的判別(王卓然,邊玉芳,郭磊,2015)。在認(rèn)知診斷模型中一個(gè)被廣泛接受的 DIF定義是不同組中具有相同屬性掌握模式的受測者正確作答某一項(xiàng)目的概率不同(Hou et al.,2014;Li,2008)。當(dāng)前研究者們提出了一些不同的方法用于檢驗(yàn)認(rèn)知診斷模型中的DIF (Hou et al.,2014;Li,2008;王卓然,郭磊,邊玉芳,2014;Li &Wang,2015;Zhang,2006)。Zhang (2006)提出使用 MH法(Holland &Thayer,1988;Mantel &Haenszel,1959)以及SIBTEST法(Shealy &Stout,1993),用受測者的測驗(yàn)總分以及屬性掌握模式作為匹配變量去檢驗(yàn) DINA模型中的 DIF。Zhang (2006)所提出的方法中的不足之處在于：目標(biāo)組以及對照組的項(xiàng)目參數(shù)以及屬性掌握模式參數(shù)是作為一個(gè)整體被同時(shí)估計(jì)出來的,因此會(huì)導(dǎo)致其估計(jì)值不準(zhǔn)確;另外,MH法以及SIBTEST法只能檢驗(yàn)一致性DIF。Hou(2013)的研究中指出邏輯斯蒂克回歸法(

Logistic Regression,

LR) (Swaminathan &Rogers,1990),MH法以及 SIBTEST法的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力都受到測驗(yàn)中DIF項(xiàng)目比例的影響。Li (2008)使用改進(jìn)的高階DINA模型(de la Torre &Douglas,2004)去檢驗(yàn)DIF,然而,Li研究的不足之處在于：在某些模擬條件下,經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率(指的是在實(shí)際模擬中所觀察到的一類錯(cuò)誤)過高或者過低;另外這一方法只適用于高階模型而非一般性的模型。Hou等人(2014)提出使用 Wald統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)項(xiàng)目功能差異,并且認(rèn)為Wald統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)方法的效果接近或者是優(yōu)于MH以及SIBTEST方法,然而,Hou等人所提出的Wald統(tǒng)計(jì)量存在以下不足：首先是一類錯(cuò)誤率過高,不符合預(yù)先設(shè)置的顯著性水平;其次,統(tǒng)計(jì)功效研究中,正確拒絕率是使用的每個(gè)模擬條件下的10,000次重復(fù)所獲得統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布來計(jì)算的,這使得其研究結(jié)果無法推廣到一般性的模型以及實(shí)際應(yīng)用中。另外,需要指出,Hou等人(2014)在計(jì)算Wald統(tǒng)計(jì)量時(shí)使用的是de la Torre (2009,2011)所提出認(rèn)知診斷模型信息矩陣的計(jì)算方法。王卓然等人(2014)的研究發(fā)現(xiàn)盡管 Wald方法的檢驗(yàn)力要高于LR法與MH法,但是也存在一類錯(cuò)誤率膨脹的問題。Li和Wang (2015)比較了使用馬爾可夫鏈蒙特卡羅(

Markov chain Monte Carlo,

MCMC)法計(jì)算項(xiàng)目參數(shù)時(shí),LCDM-DIF方法以及Wald方法在評價(jià)項(xiàng)目功能差異時(shí)的表現(xiàn)。Li和Wang發(fā)現(xiàn),他們所使用的LCDM-DIF方法以及Wald統(tǒng)計(jì)量具有較好的一類錯(cuò)誤控制率(僅有稍許的膨脹),并且當(dāng)被比較的組數(shù)為 3時(shí),Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)功效要優(yōu)于LCDM-DIF。

通過以上文獻(xiàn)綜述我們可以發(fā)現(xiàn),盡管研究者們一致地認(rèn)為Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)有著高的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力,但是不同的研究對于 Wald統(tǒng)計(jì)量的一類錯(cuò)誤控制率的表現(xiàn)卻有著不同的結(jié)果。澄清不同的方法構(gòu)建的Wald統(tǒng)計(jì)量為什么在一類錯(cuò)誤控制率的表現(xiàn)不同這個(gè)問題,不僅在理論上具有重要意義,而且對于測驗(yàn)實(shí)踐也有重要意義。Hou等人(2014)以及王卓然等人(2014)所使用Wald統(tǒng)計(jì)量,均是基于de la Torre (2009,2011)所提出的項(xiàng)目參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣而構(gòu)建的,而非基于全部的模型參數(shù)(即模型中所有自由估計(jì)的參數(shù))。然而,相關(guān)研究指出(Tian,Cai,Thissen,&Xin,2013;Paek&Cai,2013)通過對信息矩陣求逆計(jì)算誤差—協(xié)方差矩陣時(shí),信息矩陣應(yīng)該包括全部的模型參數(shù),而非僅僅是項(xiàng)目參數(shù);并且研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)模型的參數(shù)是通過EM (Expectation-Maximization)方法(de la Torre,2009,2011)所估計(jì)獲得時(shí),應(yīng)該通過對觀察信息矩陣(基于樣本觀測數(shù)據(jù)所計(jì)算的信息矩陣,有些研究中也將其簡稱為觀察矩陣)求逆的方法計(jì)算誤差—協(xié)方差矩陣(Kenward &Molenberghs,1998;Louis,1982)。已有研究發(fā)現(xiàn)在項(xiàng)目反應(yīng)理論中觀察信息矩陣的逆可以很好的漸近誤差—協(xié)方差矩陣(Paek &Cai,2013)。

針對以往研究中Wald統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建方法的局限,解決在認(rèn)知診斷模型中更加準(zhǔn)確地估計(jì)Wald統(tǒng)計(jì)量這一重大理論問題,促進(jìn)認(rèn)知診斷測驗(yàn)在實(shí)踐中的運(yùn)用,本研究擬將觀察信息矩陣的計(jì)算方法引入到認(rèn)知診斷模型中,期望獲得一個(gè)好的誤差—協(xié)方差矩陣的估計(jì)方法,從而改進(jìn) Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的表現(xiàn)。研究包括主要包括以下3個(gè)部分：首先,介紹用于檢驗(yàn)認(rèn)知診斷模型中 DIF的 Wald統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)誤差—協(xié)方差矩陣在構(gòu)建中所起的重要作用;其次,介紹認(rèn)知診斷模型中經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣以及觀察信息矩陣的計(jì)算方法;第三,采用模擬的方法,探索本研究所提出的改進(jìn)后的Wald統(tǒng)計(jì)量在計(jì)算DIF時(shí)的一類錯(cuò)誤控制率以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力的表現(xiàn),并且與通過經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣而構(gòu)建的Wald統(tǒng)計(jì)量所獲得的結(jié)果進(jìn)行比較;為了更好的說明本研究中的研究結(jié)果,我們也將本研究的結(jié)果與其他采用相同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的研究的結(jié)果(如,Hou et al.,2014;Li &Wang,2015)進(jìn)行了直接的比較。

2 改進(jìn)的Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法

在本研究中,我們將使用LCDM作為例子,說明在認(rèn)知診斷模型中如何應(yīng)用改進(jìn)后的Wald統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行DIF檢驗(yàn)。LCDM是一個(gè)廣義的認(rèn)知診斷模型,對于其中的參數(shù)進(jìn)行約束,便可以獲得一些特殊的模型,如DINA以及C-RUM等(Henson et al.,2009)。

LCDM 假定在給定屬性掌握模式α的條件下,受測者

i

在各個(gè)項(xiàng)目上的作答是獨(dú)立的,其反應(yīng)向量X的似然函數(shù),可以表示如下,

反應(yīng)向量X的邊際概率,可以表示為：

在公式(5)中,

p

（α）是屬性掌握模式 α的概率,在LCDM中,所有屬性掌握模式的概率之和為1。為滿足這一約束,本研究參考 Rupp,Templin和 Henson(2010)所使用的概念,設(shè)η=(η,…,η)′為模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)(

structural parameters

),用以描述任一受測者來自特定屬性掌握模式的概率,使用以下表達(dá)式,

并且對結(jié)構(gòu)參數(shù)η施加約束,固定其中任一參數(shù)為0,一般而言,可以選擇固定最后一個(gè)模型參數(shù)η為0。

再進(jìn)一步假定,受測者之間的作答都是獨(dú)立的,因此所有受測者作答X的似然函數(shù)為可以用如下公式來表示,

從公式(8)可以發(fā)現(xiàn)方差—協(xié)方差矩陣估計(jì)的準(zhǔn)確性,對于 Wald統(tǒng)計(jì)量會(huì)產(chǎn)生重大的影響,這也就是說LCDM中信息矩陣的估計(jì)會(huì)對Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算產(chǎn)生重大影響。

EM算法(Dempster,Laird,&Rubin,1977)對于心理測量學(xué)產(chǎn)生了非常大的影響,它將復(fù)雜的計(jì)算非完整數(shù)據(jù)似然函數(shù)最大值問題轉(zhuǎn)換為較為簡單的一系列偽完整數(shù)據(jù)問題,在認(rèn)知診斷模型分析軟件中得到了廣泛的應(yīng)用。然而,在通過EM算法計(jì)算參數(shù)時(shí),信息矩陣(或者是其逆方差—協(xié)方差矩陣)并不是伴隨產(chǎn)生的,因此,需要去進(jìn)行專門的計(jì)算。研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)使用期望—最大化算法去計(jì)算模型的極大似然估計(jì)值時(shí),使用觀察信息矩陣能夠很好的去漸近模型的方差—協(xié)方差矩陣(Louis,1982),感興趣的研究者可以參考 Kenward和 Molenberghs(1998)的研究。對于 LCDM 而言,包含所有自由估計(jì)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的公式可以表達(dá)如下：

3 方法

3.1 研究設(shè)計(jì)

采用 Monte Carlo的方法進(jìn)行研究,受測者的作答反應(yīng)、模型的參數(shù)估計(jì)以及Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算均采用

R

語言(R Core Team,2015)編程實(shí)現(xiàn)。每種實(shí)驗(yàn)條件均重復(fù)1000次,以獲得穩(wěn)定的結(jié)果。為了便于與以往研究結(jié)果進(jìn)行直接的比較,本研究所采用Hou等人(2014)所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)條件,這些實(shí)驗(yàn)條件也被Li和Wang (2015)所采用。與Hou等人(2014)研究不同的是,本研究中 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算是通過包含全部模型參數(shù)的觀察信息矩陣或者是經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣所計(jì)算獲得的。

本研究中所采用Q矩陣中包含30個(gè)測驗(yàn)項(xiàng)目,5個(gè)屬性,并且限制每個(gè)項(xiàng)目所包含的屬性數(shù)量最多為3。Q矩陣采用平衡設(shè)計(jì),每個(gè)屬性被項(xiàng)目所測量的次數(shù)相等,同樣使包含 1、2、3個(gè)屬性的項(xiàng)目數(shù)量也相等即包含1、2、3個(gè)屬性的項(xiàng)目分別有10個(gè)。具體的Q矩陣設(shè)計(jì)見表1。

為方便與以往研究結(jié)果進(jìn)行直接對比,本研究設(shè)計(jì)中的數(shù)據(jù)生成模型也同樣采用DINA模型,對照組中的猜測以及滑動(dòng)參數(shù)設(shè)置為相等,且有三個(gè)水平：0.1,0.2以及0.3,猜測以及滑動(dòng)參數(shù)值設(shè)置的越小,說明項(xiàng)目越能夠區(qū)分出受測者是否掌握了所測的屬性(Templin &Henson,2006)。DIF類型有兩個(gè)水平：一致性DIF以及非一致性 DIF。一致性 DIF指的是對于某一個(gè)組而言,正確作答某個(gè)項(xiàng)目的概率在所有可能的屬性掌握模式下均一致性地高或者是低;非一致性DIF指的是正確作答某個(gè)項(xiàng)目的概率在一些屬性掌握模式下高,在另外一些屬性掌握模式下低,或者是相反,即正確作答的概率具有非一致性。DIF大小有兩個(gè)水平：0.05與0.1,當(dāng)項(xiàng)目參數(shù)值為0.1時(shí)僅考慮了0.05這一水平的DIF大小,以防項(xiàng)目參數(shù)值等于 0。樣本大小有兩個(gè)水平：500與1000。在認(rèn)知診斷模型中樣本的大小會(huì)對模型參數(shù)估計(jì)值的精確性產(chǎn)生影響,進(jìn)而也會(huì)影響到Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算,因此,樣本大小也是一個(gè)需要考慮的重要因素。

表1 Q矩陣

3.2 評價(jià)指標(biāo)

本研究中所采用的評價(jià)指標(biāo)為經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力。經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率是通過 1000次模擬中,錯(cuò)誤地檢驗(yàn)出每個(gè)項(xiàng)目出現(xiàn)DIF的百分比,然后參照以往研究結(jié)果的呈現(xiàn)方式(Hou et al.,2014),分別對包含一個(gè)、兩個(gè)以及三個(gè)屬性的項(xiàng)目求平均。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力指的是在這1000次循環(huán)中正確拒絕原假設(shè)的比例。當(dāng)認(rèn)知診斷測驗(yàn)中不存在 DIF時(shí),如果我們所構(gòu)建 Wald統(tǒng)計(jì)量是漸近卡方分布的,那么它觀察到的一類錯(cuò)誤率應(yīng)該符合預(yù)先設(shè)置的理論上的一類錯(cuò)誤控制率,如0.05;如果在認(rèn)知診斷測驗(yàn)中存在 DIF,那么 Wald統(tǒng)計(jì)量正確拒絕的比例越高,說明它能夠檢驗(yàn)出DIF項(xiàng)目的能力越強(qiáng)。

4 研究結(jié)果

4.1 經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率

表2呈現(xiàn)了各個(gè)實(shí)驗(yàn)條件下的使用觀察信息矩陣估計(jì)方法的Wald統(tǒng)計(jì)量獲得的平均經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率。計(jì)算一類錯(cuò)誤控制率所使用的參照分布為自由度為2的卡方分布。通過表2可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)目的猜測以及滑動(dòng)參數(shù)都比較小的時(shí)候,即項(xiàng)目能夠較為有效的區(qū)分受測者是否掌握所測屬性的時(shí),一類錯(cuò)誤控制率能夠很好的接近預(yù)先設(shè)置的顯著性水平。隨著樣本量的增大,一類錯(cuò)誤控制率的表現(xiàn)也越好。另外,不論是包含一個(gè)、兩個(gè)還是三個(gè)屬性的項(xiàng)目,其觀察一類錯(cuò)誤率均能較好的接近0.05這一顯著性水平。另外需要指出的是,盡管在當(dāng)樣本量較小(

N

=500)且項(xiàng)目的猜測參數(shù)以及滑動(dòng)參數(shù)較大的情況下(

g

=

s

=0.3),平均的經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率表現(xiàn)較差,但根據(jù) Bradley (1978)的健壯寬松準(zhǔn)則(當(dāng)顯著性水平為 0.05時(shí)經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤控制率在0.025與 0.075之間),仍然可以認(rèn)為是得到了較好的控制?？梢园l(fā)現(xiàn),本研究中所提出的改進(jìn)的Wald統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法所獲得的結(jié)果并不存在過度膨脹的現(xiàn)象,這與 Hou等人(2014)以及王卓然等人(2015)的結(jié)果恰好相反,說明本研究中所提出的Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法明顯優(yōu)于以上兩個(gè)研究所使用的 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法。通過比較表2與表3中的一類錯(cuò)誤控制率可以發(fā)現(xiàn)基于觀察信息矩陣計(jì)算的Wald統(tǒng)計(jì)量的表現(xiàn)要優(yōu)于基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣而計(jì)算的Wald統(tǒng)計(jì)量?；诮?jīng)驗(yàn)交叉相乘矩陣而獲得的Wald統(tǒng)計(jì)量的一類錯(cuò)誤控制率較為保守,但是表3的結(jié)果同樣顯示包含一個(gè)、兩個(gè)以及三個(gè)屬性的項(xiàng)目的一類錯(cuò)誤控制率仍大致相等。Li和 Wang (2015)在 MCMC框架下采用LCDM-DIF以及Wald統(tǒng)計(jì)量對于DIF檢驗(yàn)方法進(jìn)行了研究,在其研究一中同樣采用了 Hou等人(2014)的研究設(shè)計(jì),因此本研究的研究結(jié)果同樣也是可以直接與 Li等人的結(jié)果進(jìn)行比較。通過對比研究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),本研究中所提出基于觀察信息矩陣計(jì)算的Wald統(tǒng)計(jì)量與Li等人的研究中所使用的LCDM-DIF以及Wald統(tǒng)計(jì)量均具有較好的一類錯(cuò)誤控制率。一個(gè)非常有意思的現(xiàn)象是在本研究中的一些實(shí)驗(yàn)條件下(見表2)Wald統(tǒng)計(jì)量一類錯(cuò)誤率有細(xì)微的保守而Li等人研究結(jié)果中的LCDM-DIF以及 Wald統(tǒng)計(jì)量在某些實(shí)驗(yàn)條件中一類錯(cuò)誤率卻有稍許膨脹。從公式(8)中可以發(fā)現(xiàn)Wald統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確性,依賴于模型參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性。當(dāng)受測者數(shù)量較少(如

N

=500時(shí))或者是模型中的“噪音”過大時(shí)(如項(xiàng)目的猜測與滑動(dòng)參數(shù)均為 0.3時(shí)),模型參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性會(huì)受到相對較大的影響,因此,在本研究的

N

=500以及

g

=

s

=0.3這兩種條件下Wald統(tǒng)計(jì)量一類錯(cuò)誤率有細(xì)微的保守。

表2 基于觀察信息矩陣的平均的經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率(α=0.05)

表3 基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的平均的經(jīng)驗(yàn)一類錯(cuò)誤率(α=0.05)

4.2 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力

表4中呈現(xiàn)的是當(dāng)認(rèn)知診斷測驗(yàn)中存在一致性DIF時(shí)的考察一個(gè)、兩個(gè)以及三個(gè)屬性項(xiàng)目在1000次循環(huán)中的基于觀察信息矩陣計(jì)算的 Wald統(tǒng)計(jì)量的平均經(jīng)驗(yàn)拒絕比例,所使用的參照分布同樣為自由度為2的卡方分布。從表4中可以看出,隨著DIF的增大,Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力也會(huì)隨之增大,并且當(dāng)項(xiàng)目的猜測以及滑動(dòng)參數(shù)都為 0.2的時(shí)候,總平均的拒絕率要大于同為0.3時(shí)的項(xiàng)目參數(shù)值的條件。這是由于同項(xiàng)目參數(shù)值0.3相比,DIF大小為0.1時(shí),這一值對于項(xiàng)目參數(shù)值0.2而言相對更大。隨著樣本量的增加,Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力也在變大,即樣本量的大小對用于檢驗(yàn)DIF的Wald統(tǒng)計(jì)量而言也是一個(gè)重要因素。因?yàn)殡S著樣本量的增加,模型參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性也會(huì)增加,進(jìn)而會(huì)使得參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤變小,因此,在對照組與目標(biāo)組項(xiàng)目參數(shù)差異相等的情況下,更傾向于獲得一個(gè)大的Wald統(tǒng)計(jì)量的值。另外,通過觀察平均值可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)目標(biāo)組具有負(fù)向的 DIF時(shí),同正向 DIF相比,Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力更大。比較表4與表5,可以發(fā)現(xiàn)基于觀察信息矩陣的Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力均要明顯優(yōu)于基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力。這也說明基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的Wald統(tǒng)計(jì)量存在保守的問題。

表4 基于觀察信息矩陣的一致性DIF的平均經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力(α=0.05)

表6中呈現(xiàn)的是非一致性DIF條件下采用觀察信息矩陣的Wald統(tǒng)計(jì)量的1000次模擬結(jié)果,計(jì)算統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力所使用的參照分布同樣為自由度為2的卡方分布。從表6中同樣可以發(fā)現(xiàn)隨著DIF的增大,Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力也在增大。隨著樣本量的增加,Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力同樣是在增大的。而且在DIF大小相同條件下,當(dāng)項(xiàng)目的猜測以及滑動(dòng)參數(shù)相對較小時(shí),Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力會(huì)相對較大。比較表6與表7同樣可以發(fā)現(xiàn),在非一致性DIF條件下,采用觀察信息矩陣計(jì)算的Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力均高于采用經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣而計(jì)算獲得的Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力。

表5 基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的一致性DIF的平均經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力(α=0.05)

表6 基于觀察信息矩陣的非一致性DIF的平均經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力(α=0.05)

表7 基于經(jīng)驗(yàn)交叉相乘信息矩陣的非一致性DIF的平均經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力(α=0.05)

5 討論

認(rèn)知診斷模型能夠提夠關(guān)于受測者屬性掌握模式的較為詳盡的診斷性信息,它不僅能為老師的教以及學(xué)生的學(xué)提供有針對性的建議,而且也有助于教育者深入理解受測者的認(rèn)知心理。在使用這一模型來解釋受測者的作答之前,研究者需要確定認(rèn)知診斷測驗(yàn)項(xiàng)目的參數(shù)對于所有受測者都是不變的,否則會(huì)對受測者的屬性掌握模式的估計(jì)帶來不良的影響(王卓然等,2015),進(jìn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤的診斷性信息。DIF檢驗(yàn)可以用以確認(rèn)不同組的受測者在同一個(gè)項(xiàng)目的作答上是否存在差異,即除了屬性掌握模式外,受測者所在的組會(huì)影響到他們對于項(xiàng)目的反應(yīng)。為保證測驗(yàn)的效度,在使用認(rèn)知診斷模型來擬合受測者的作答數(shù)據(jù)前,需要進(jìn)行DIF檢驗(yàn)。先前研究者發(fā)現(xiàn)Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí),有著許多其他統(tǒng)計(jì)量所不具備的優(yōu)點(diǎn),然而前人研究中對于Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的一類錯(cuò)誤率的表現(xiàn),存在明顯的結(jié)論沖突。如,Hou等人(2014)以及王卓然等人(2014)的模擬研究發(fā)現(xiàn) Wald統(tǒng)計(jì)量會(huì)存在一類錯(cuò)誤控制率膨脹的問題,Li和Wang (2015)的模擬研究卻發(fā)現(xiàn),其研究中所用的 LCDM-DIF以及Wald統(tǒng)計(jì)量在使用MCMC計(jì)算時(shí)有著良好的一類錯(cuò)誤控制率。本研究采用Hou等人以及Li等人研究中所使用的同等條件通過模擬發(fā)現(xiàn),這些差異主要是由于 Wald統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法的差異引起的。因此,我們認(rèn)為本研究提出的改進(jìn)的 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法解決了 DIF研究中一直困擾研究者的Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的一類錯(cuò)誤率的表現(xiàn)不同這一重要問題,具有重大的理論意義。

5.1 Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的一類錯(cuò)誤控制率

在模型正確設(shè)定的前提下,如果統(tǒng)計(jì)量能夠很好的服從漸近分布,那么,它的一類錯(cuò)誤控制率應(yīng)該能夠較好的接近預(yù)先設(shè)定好的顯著性水平。本研究中所提出改進(jìn)的 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法具有這一特征,從結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn),本研究的一類錯(cuò)誤控制率均較好地接近預(yù)先設(shè)定的 0.05這一顯著性水平。因此,我們認(rèn)為在Hou等人(2014)以及王卓然等人(2014)研究中所產(chǎn)生的 Wald統(tǒng)計(jì)量一類錯(cuò)誤膨脹的問題,是由于不恰當(dāng)?shù)男畔⒕仃嚬烙?jì)方法而引起的。本研究的這一結(jié)果明確地解釋了為什么 Wald統(tǒng)計(jì)量在不同研究中有不同表現(xiàn)的問題,對于認(rèn)知診斷模型的理論發(fā)展有一定的推動(dòng)作用。另外,相對于MCMC參數(shù)估計(jì)方法,MMLE/EM具有運(yùn)算量小、耗時(shí)短等優(yōu)點(diǎn),本研究所提出的改進(jìn)的 Wald統(tǒng)計(jì)量正是基于 MMLE/EM,因此,本研究不僅具有重大的理論意義,而且對于認(rèn)知診斷實(shí)踐也具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

5.2 Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力

當(dāng)確認(rèn)統(tǒng)計(jì)量的一類錯(cuò)誤控制率能夠較好的接近預(yù)先設(shè)定的顯著性水平后,接下來所要考慮的另外一個(gè)重要問題是當(dāng)認(rèn)知診斷測驗(yàn)中的項(xiàng)目中存在 DIF時(shí),這一統(tǒng)計(jì)量能否有效地拒絕不存在DIF的原假設(shè)而選擇備擇假設(shè)。通過表4與表6中的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)在樣本量較大時(shí)(

N

=1000),改進(jìn)后的Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力均明顯的高于樣本量比較小時(shí)(

N

=500)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力。因此,本研究建議在應(yīng)用Wald統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行DIF檢驗(yàn)的時(shí)候,如果想要達(dá)到較高的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力,應(yīng)保證較大的樣本量。因?yàn)镠ou等人(2014)發(fā)現(xiàn),其研究中所采用的 Wald統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方式,會(huì)導(dǎo)致一類錯(cuò)誤率膨脹,因此,在計(jì)算統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力的時(shí)候,她們采用了兩種方式進(jìn)行。第一種方式是直接用 Wald統(tǒng)計(jì)量的理論分布即自由度為2的卡方分布的理論值來計(jì)算,由于其開發(fā)的 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方式的一類錯(cuò)誤率膨脹會(huì)使得原本不存在 DIF的項(xiàng)目被誤判為存在 DIF,因此計(jì)算結(jié)果不夠可靠;她們所采用的第二種方式是計(jì)算當(dāng)不存在 DIF項(xiàng)目時(shí)Wald統(tǒng)計(jì)量在每種實(shí)驗(yàn)條件組合下10,000次模擬的經(jīng)驗(yàn)分布,然后通過獲得的顯著性水平的臨界值,來計(jì)算Wald統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力,這種計(jì)算方式雖然保證了模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較高的可靠性,但是不具備現(xiàn)實(shí)的可操作性,因此,對于其研究目的而言只能算是一種不完整解決的方案。因?yàn)镠ou等人(2014)的第二種計(jì)算方式具有較高的理論上的結(jié)果可靠性,因此可以作為研究結(jié)果的一個(gè)參考。通過研究結(jié)果對照我們發(fā)現(xiàn),本研究所采用的自由度為2的卡方分布理論值所計(jì)算獲得的研究結(jié)果與 Hou等人(2014)的第二種計(jì)算方式所獲結(jié)果具有很高的一致性,這也能夠間接的表明,本研究所使用的改進(jìn)后的Wald統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方式具有準(zhǔn)確性及可靠性的特點(diǎn)。

5.3 以后的研究方向

由于本研究關(guān)注的重點(diǎn)在于,在EM算法框架下提出一個(gè)恰當(dāng)?shù)?Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方式,用以準(zhǔn)確有效地來檢驗(yàn)認(rèn)知診斷測驗(yàn)中可能存在的DIF項(xiàng)目,澄清以往研究中所用de la Torre (2009,2011)所提出的信息矩陣方法計(jì)算Wald統(tǒng)計(jì)量時(shí)所產(chǎn)生的令人困惑的結(jié)果。因此,本研究僅采用了Hou等人(2014)的研究設(shè)計(jì),通過結(jié)果對比的方式來證明本研究所提出的改進(jìn)的Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí)具有準(zhǔn)確性可靠性等特點(diǎn)。具體而言,研究者可以就以下幾方面進(jìn)行后續(xù)研究：首先,樣本大小對于 Wald統(tǒng)計(jì)量有重要影響,因此,后續(xù)研究中可以使用本研究中所用Wald統(tǒng)計(jì)量考察這一因素對于DIF的影響;其次,目前的研究中普遍采用 DINA或者是高階DINA作為例證模型,本研究出于結(jié)果比較的因素考慮,也是以DINA模型為例,在其他認(rèn)知診斷模型中Wald統(tǒng)計(jì)量用以檢驗(yàn)DIF時(shí)的表現(xiàn),也是一個(gè)非常有意思的研究方向。由于本研究所采用的是對于LCDM模型進(jìn)行約束而獲得的DINA模型,因此,可以很方便的進(jìn)行擴(kuò)展;第三,本研究所采用的項(xiàng)目數(shù)量為 30,且受測者組的數(shù)量為 2,在不同項(xiàng)目數(shù)量下以及不同的受測者組數(shù)量數(shù)下,Wald統(tǒng)計(jì)量的表現(xiàn)也值得研究者關(guān)注;第四,在認(rèn)知診斷模型中,除了Wald統(tǒng)計(jì)量可以進(jìn)行DIF檢驗(yàn)之外,還有一些其他的統(tǒng)計(jì)量也可以進(jìn)行 DIF檢驗(yàn)(Li,2008;Sünbül &Sünbül,2015,July),雖然目前研究表明,Wald統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)DIF時(shí),具有一些其他統(tǒng)計(jì)量所不具有的優(yōu)點(diǎn),但是,在另外的應(yīng)用情景中,這些DIF檢驗(yàn)方法的優(yōu)缺點(diǎn),仍然值得研究者的關(guān)注。

6 結(jié)論

本研究中所提出的改進(jìn)的 Wald統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法,在認(rèn)知診斷測驗(yàn)中不存在DIF項(xiàng)目時(shí),有著良好的一類錯(cuò)誤控制率,能夠較為準(zhǔn)確地接近預(yù)先設(shè)定的顯著性水平,即當(dāng)認(rèn)知診斷模型為DINA時(shí),改進(jìn)的Wald統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的卡方分布;在認(rèn)知診斷測驗(yàn)中存在DIF時(shí),改進(jìn)的Wald統(tǒng)計(jì)量能夠準(zhǔn)確有效的鑒別出存在DIF的項(xiàng)目。本研究同樣發(fā)現(xiàn)樣本量對于 Wald統(tǒng)計(jì)量的一類錯(cuò)誤控制率及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力存在重要影響。另外,我們建議認(rèn)知診斷模型的研究者與使用者,當(dāng)采用EM算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),在確認(rèn)認(rèn)知診斷模型正確設(shè)定后,使用本研究中所使用觀察信息矩陣的方法計(jì)算項(xiàng)目參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。

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