一個力學問題的數(shù)學解法

錢厚旺陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學校江蘇 泰州225500)

【題目】(2014年全國周培源大學生力學競賽第3題)：有一個內(nèi)壁光滑的固定容器，如圖1所示，該容器的內(nèi)壁是一條拋物線繞著其對稱軸旋轉(zhuǎn)而得到的曲面．為了確定這條拋物線的方程，小明和小剛用一根長度為400 mm的同樣光滑的勻質(zhì)直桿AB數(shù)次隨意放入容器之中時，發(fā)現(xiàn)盡管各次放入后桿件滑動和滾動的情況都不一樣，但最終靜止時與水平面的夾角每次都是45°，試確定這條拋物線的方程．

圖1

本題可用大學物理中的最小勢能原理、虛位移原理或剛體靜力學的知識分析求解，詳見解答和評分標準．但對于該題，也可以從數(shù)學的角度，用高中知識來求拋物線的方程．

解析：作出桿AB的受力情況，如圖2．根據(jù)3力匯交原理可知，桿平衡時，彈力N1，N2和重力G必相交于一點，記為D．

圖2

設(shè)桿AB靜止時與水平方向的夾角為α，其直線方程為y=kx+b，k=tanα．并設(shè)拋物線方程為y=ax2，桿與拋物線的交點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2)，質(zhì)心坐標為C(m,n)，則有

x1+x2=2m

將質(zhì)心坐標C(m,n)代入y=kx+b,求出

b=n-km

所以

y=kx+n-km

則直線和拋物線的交點滿足方程

ax2-kx-n+km=0

由韋達定理并結(jié)合質(zhì)心坐標，有

所以

2am=k

設(shè)桿長為2L，由幾何關(guān)系，有

x1=m+Lcosα

x2=m-Lcosα

則A點和B點的切線斜率分別為

2a(m+Lcosα)=2am+2aLcosα=k+2aLcosα

2a(m-Lcosα)=2am-2aLcosα=k-2aLcosα

所以AD所在的直線方程為

BD所在的直線方程為

因為AD和BD交于直線x=m上的點，將x=m代入AD和BD的表達式，有

整理后可得

將2am=k及k=tanα代入，整理后有

4a2L2cos2α=tan2α+1

從而

上式給出了桿在拋物面中處于傾斜平衡時，拋物線的形狀與桿長L及桿和水平方向的夾角α之間的制約關(guān)系．若已知其中的任意兩個量，便可根據(jù)上式求出第3個量．

所以拋物線的表達式為

收稿日期：(2015-04-07)