加速度定義的缺陷及在教學中導致的問題

田均光

(任丘市第四中學河北 滄州062550)

摘 要：本文通過實例分析了加速度定義的缺陷，并給出了解決的方法.

關鍵詞：加速度缺陷暫態(tài)過程壓力

收稿日期：(2015-04-20)

加速度是力學中最基本也是最重要的概念，它的定義實際上是數學中極限概念的物理化.極限在數學中有兩種形式：函數在該點有極限(左右導數均存在且相等)；函數在該點無極限.其中無極限又分為：左右導數均不存在；只存在左導數或右導數；左右導數均存在且不相等.加速度的定義選取的實際上只是函數在該點有極限這么一種情況.表面上看，這樣的定義并沒有問題，因為在實際的加速運動中，物體在每一點的加速度都存在且是唯一的.這樣的理解在一般運動中是沒有問題的，但在組合運動中(如物體先做勻速運動接著再做變速運動)問題便出現(xiàn)了.請看下面的例子.

一水平軌道和一半徑為R的半圓軌道平滑連接，一質量為m的小球在該軌道上運動，不計摩擦.問題一：當小球由水平軌道進入半圓軌道經過連接點時，小球的加速度和對連接點的壓力各是多少？問題二：當小球由半圓軌道返回進入水平軌道經過連接點時，小球的加速度和對連接點的壓力各是多少？

這里的問題并不難，問題出在連接點的公共身份上，它既在水平軌道上，又在半圓軌道上.按水平軌道上的運動解答與按半圓軌道上的運動解答，兩者的結果完全不同，導致答案無法確定.這是一個典型的左右導數均存在且不相等的問題，在加速度的定義中并沒有給出解決此類問題的方法，直接由加速度的定義來解決該問題并不具有天然的正確性.這正是人們所沒有注意到的加速度定義的缺陷.其實，數學中已有處理此類問題的例子，就是人為地確定取值，如級數中的狄里赫萊(Dirichlet)問題.只是在物理中，人們不承認加速度定義有缺陷，且實際問題總是連續(xù)有導數的，才導致該問題至今沒有解決，比如文獻[1]和[2]中對該問題的處理.下面，我們就給出解決這一問題的正確方法.

對軌道的壓力為

F=mg

對軌道的壓力為

在上面的分析中我們看到，解決問題的關鍵是把連接點確定為暫態(tài)過程變化的起點，有了這個認識，其余的問題就非常清楚了.而暫態(tài)過程，相當于一條曲率半徑由R∞～R(0～R)或R～R∞(R～0)連續(xù)變化的軌道.

最后我們解釋一點，速度和加速度兩者的定義在形式上是完全相同的，在該例中，為什么速度的定義沒有出現(xiàn)問題，而加速度定義卻出現(xiàn)了問題呢？這是因為兩軌道在連接點是有公共切線的，它反映在位移圖像上的對映點亦有公共的切線，所以速度的定義不會出現(xiàn)問題.軌道不是速度的圖像，若是在速度圖像上，兩曲線在連接點有公共切線，則加速度的定義也不會出現(xiàn)問題.我們想，速度的定義也有類似的缺陷.若兩軌道不是平滑的連接，則位移的圖像在連接點的對應處就可能沒有公共的切線，這時用速度的定義去求速度，就會出現(xiàn)兩個不同的值.比如在非彈性碰撞中，就可能出現(xiàn)位移的圖像是一條折線，在連接點就沒有公共的切線.

參 考 文 獻

1杜志建.2015高考《考試大綱》調研卷物理.延吉：延邊出版社，2015

2劉強.輕巧奪冠同步講解(人教版) 《高中物理·必修2》.北京：北京出版集團，北京教育出版社，2013.33