巧用等效法解決階梯型物理問題*

尹德興

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院云南 昆明650500;武定縣第一中學(xué)云南 楚雄651600)

彭朝陽

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院云南 昆明650500)

*云南師范大學(xué)物理教師教育課程改革研究項(xiàng)目.

摘 要：舉例說明，用物理作用的等效替換，可巧妙解決形式多樣的階梯型物理問題.

關(guān)鍵詞：等效替換階梯型物理問題

收稿日期：(2014-11-04)

等效替換法就是在保證某一方面效果相同的前提下，用理想的、熟悉的、簡單的對象、過程、現(xiàn)象替換實(shí)際的、陌生的、復(fù)雜的對象、過程、現(xiàn)象的思想方法.等效替換法能使一些繁雜、困難問題的處理得以簡化，能使一些難以直接研究的問題得以解決.等效替換法不僅是物理學(xué)研究問題的一種主要方法，也是解物理題的常用方法.解物理題運(yùn)用等效法，不僅可以化難為易，化繁為簡，化陌生為熟悉，起到事半功倍的效果，還能提高學(xué)生對物理知識的理解和運(yùn)用，并能促進(jìn)其思維能力的發(fā)展和提高，培養(yǎng)學(xué)生分析、概括問題和推理的能力.

等效替換法在解物理題方面的應(yīng)用，主要有模型的等效替換、過程的等效替換、本質(zhì)的等效替換、作用的等效替換等.本文僅從物理作用的等效替換方面舉例闡述，巧用等效替換法解決階梯型物理問題.所謂物理作用的等效替換是指，在某一物理過程中對外界所產(chǎn)生的作用效果相同出發(fā)，來研究物理事物的本質(zhì)和規(guī)律，分析和處理物理問題的一種思維方法.所謂階梯型物理問題是指一類形似樓梯一樣的物理問題.

1滑輪組分析

下面舉例說明巧用等效替換法分析兩類典型的階梯型滑輪組問題.

【例1】如圖1所示，由n個動滑輪組成的階梯型滑輪組，在忽略滑輪自重和摩擦的情況下，重物G勻速上升時，求拉力F多大.

圖1 圖2

圖3

同理，對動滑輪2受力分析得

對動滑輪3受力分析得

以此類推.對動滑輪n受力分析得

【例2】如圖4所示，由n個動滑輪組成的階梯型滑輪組，在忽略滑輪自重和摩擦的情況下，重物G勻速上升時，求拉力F多大.

圖4 圖5

如圖5所示，把虛線框等效看做一個整體，利用等效替換法分析，對重物進(jìn)行受力分析，如圖6所示.

圖6

即

所以拉力

2等效電阻的計(jì)算問題

等效電阻的計(jì)算問題也是利用等效替換法的一個好例子.實(shí)際電路一般比較復(fù)雜.要計(jì)算等效電阻，需進(jìn)行電路分析，搞清各電阻之間的串并聯(lián)關(guān)系.下面舉例說明巧用等效替換法解決階梯型電路的等效電阻問題.

【例3】如圖7所示，已知電阻R1,R2,R3組成無窮長階梯型電路，求A,B兩端的等效電阻Rx.

解法1： 利用等效替換法求解等效電阻Rx

圖7

假設(shè)A，B兩端電阻為Rx，如圖7所示，則a，b間的等效電阻亦為Rx，即

整理后得

解得

因?yàn)镽x必須大于(R1+R3),所以舍去

故得

為驗(yàn)證等效替換法解此題的正確性，我們不妨使用傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)法再解一次.

解法2：利用節(jié)點(diǎn)法求解等效電阻Rx

在節(jié)點(diǎn)Ⅰ，設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為I,流出節(jié)點(diǎn)的電流分別為I1和I1′,如圖8所示.

圖8

I1=kI

(1)

I1′=(1-k)I

(2)

在節(jié)點(diǎn)Ⅱ，設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為I1,流出節(jié)點(diǎn)的電流分別為I2和I2′,如圖8所示.

由階梯形電阻連接的規(guī)則性可得出，在節(jié)點(diǎn)Ⅱ有

將式(1)、(2)代入，整理得

I2=k2I

(3)

I2′=k(1-k)I

(4)

由于節(jié)點(diǎn)Ⅰ和節(jié)點(diǎn)Ⅱ之間的并聯(lián)電路電壓相等得

I1′R2=I1(R1+R3)+I2′R2

(5)

將式(1)、(2)、(4)代入式(5)得

(1-k)IR2=kI(R1+R3)+k(1-k)IR2

整理后得

R2k2-(R1+2R2+R3)k+R2=0

(6)

解得

(7)

根據(jù)題意得k應(yīng)該小于1，故舍去

(8)

由歐姆定律得

UAB=I(R1+R3)+I1′R2=

I(R1+R3)+(1-k)IR2=

(9)

UAB=IRx

(10)

將式(9)代入式(10)得

兩種解法結(jié)果完全相同，但是利用等效替換法求解，明顯比利用節(jié)點(diǎn)法求解容易得多.

3等效電容的計(jì)算問題

等效電容的計(jì)算問題是利用等效替換法的又一個好例子.要計(jì)算等效電容，則需搞清各電容之間的串并聯(lián)關(guān)系.下面舉例說明巧用等效替換法解決階梯型電路的等效電容問題.

【例4】如圖9所示，已知電容C1,C2,C3組成無窮長階梯型電路，求A,B兩端的總電容Cx.

圖9

解法1：利用等效替換法求解等效電容Cx

假設(shè)A，B兩端電容為Cx，如圖9所示，則a，b間的等效電容亦為Cx，即

整理后得

解得

因?yàn)镃x必須為正，所以舍去

故得

同樣，為驗(yàn)證等效替換法解此題的正確性，我們不妨使用傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)法再解一次.

解法2： 利用節(jié)點(diǎn)法求解等效電容Cx

在節(jié)點(diǎn)Ⅰ，設(shè)節(jié)點(diǎn)Ⅰ周圍電容器的帶電量分別為q，q1和q1′，如圖10所示.

圖10

q1=kq

(11)

q1′=(1-k)q

(12)

在節(jié)點(diǎn)Ⅱ,設(shè)節(jié)點(diǎn)Ⅱ周圍電容器的帶電量分別為q1，q2和q2′，如圖10所示.

由階梯形電容連接的規(guī)則型可得知，在節(jié)點(diǎn)Ⅱ有

將式(11)、(12)代入，整理得

q2=k2q

(13)

q2′=k(1-k)q

(14)

由于節(jié)點(diǎn)Ⅰ和節(jié)點(diǎn)Ⅱ之間的并聯(lián)電路電壓相等得

(15)

將式(11)、(12)、(14)代入式(15)得

(16)

整理后得

C1C3k2-(2C1C3+C1C2+C2C3)k+

C1C3=0

(17)

解得

根據(jù)題意得k應(yīng)該小于1，故舍去

得

(18)

由分壓原理的得

UAB=U1+U2+U3=

(19)

設(shè)A，B之間的等效總電容為Cx，則有

代入式(19)即得

(20)

式(18)代入式(20)解得

兩種解法結(jié)果完全相同，但不難看出，等效替換法求解，明顯要比節(jié)點(diǎn)法求解容易得多.

結(jié)論：從以上例解可以看出，采用等效替換法不僅可以將問題轉(zhuǎn)換為我們熟悉的物理模型，而且可以簡化解題步驟.在教學(xué)中教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生多思考、多類比，通過等效替換來提高知識的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力.

如果教師在教學(xué)時能引導(dǎo)學(xué)生在形成物理概念、解答物理習(xí)題過程中運(yùn)用等效法，使學(xué)生明確在分析和解答物理問題時，需要將復(fù)雜的問題通過等效法進(jìn)行提煉、簡化，找出問題的本質(zhì)，學(xué)生就會在學(xué)習(xí)中逐漸嘗試用等效法開創(chuàng)性地解決問題.在掌握知識的同時又能靈活運(yùn)用知識，促進(jìn)知識、技能的遷移，在學(xué)習(xí)過程中體會到樂趣，從而調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性、主動性，主動地探索物理，進(jìn)而提高科學(xué)素養(yǎng).等效思維具有一定的靈活性和技巧性，必須在認(rèn)真分析物理特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)行合適的等效變換，才能獲得簡捷的求解方法.

參 考 文 獻(xiàn)

1閻金鐸,田世昆．中學(xué)物理教學(xué)概論.北京：高等教育出版社，1999

2許國梁.中學(xué)物理教學(xué)法.北京：高等教育出版社，1993

3王承貴.物理中的等效代換.遼寧教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1998(5)

4梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學(xué).北京：高等教育出版社，1980

5張小溪.規(guī)則連接的電阻、電容網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型.大學(xué)物理，1999(2)