第一作者位秀雷男，博士生，1988年10月生

通信作者劉樹(shù)勇男，博士，副教授，1975年11月生

小波-SG-EEMD混合算法及混沌去噪應(yīng)用研究

位秀雷,林瑞霖,劉樹(shù)勇,王強(qiáng)

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033)

摘要：混沌信號(hào)和噪聲頻譜部分甚至全部重疊，單一的去噪方法無(wú)法有效地從強(qiáng)干擾中提取有用信號(hào)，為此，提出了小波-SG-EEMD混合去噪算法。該算法將小波-SG作為EEMD的預(yù)濾波單元，有效降低白噪聲和局部強(qiáng)干擾的影響，并結(jié)合EEMD抑制模式混疊的特性，可以有效地將混沌信號(hào)從復(fù)雜干擾中提取出來(lái)。利用Lorenz時(shí)間序列詳述了混合濾波算法的實(shí)施過(guò)程，并將該方法用于兩自由度混沌振動(dòng)信號(hào)中。結(jié)果表明該方法切實(shí)可行，具有非常好的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：混沌信號(hào)；小波變換；SG算法；EEMD

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51179197);海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué))開(kāi)放課題(1009)

收稿日期：2014-05-19修改稿收到日期：2014-08-29

中圖分類(lèi)號(hào):O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.017

Abstract:Since some or all of spectral bands of chaotic signals and those of noise overlap, chaotic signals cannot be extracted effectively from strong disturbances with a single denoising method. Here, the hybrid wavelet-SG-EEMD algorithm was proposed. With the proposed algorithm, the wavelet-Savitzky-Golay(wavelet-SG) algorithm was taken as the pre-filter element of the ensemble empirical mode decomposition(EEMD) in order to reduce the effects of random white noise and local strong disturbances, and then the hydrid algorithm was combined with the characteristics restraining mode mixing of EEMD to extract the chaotic signals from complex and strong disturbances effectively. The implementation of the hybrid filtering algorithm was evaluate with Lorenz time series. Finally, the method was applied in 2-DOF chaotic vibration signals, and the results showed that the strong noise can be filtered normally.

Hybrid wavelet-SG-EEMD algorithm and its application in chaotic de-noising

WEIXiu-lei,LINRui-lin,LIUShu-yong,WANGQiang(College of Power Engineering，Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Key words:chaotic signal; wavelet transformation; SG algorithm; EEMD

近年來(lái)，由確定系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象在很多學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用[1]。但是，由于受到測(cè)量工具以及外界環(huán)境等影響，實(shí)際采集到的混沌信號(hào)不可避免地混有噪聲，掩蓋了混沌信號(hào)的真實(shí)動(dòng)力學(xué)行為[2]?；煦缧盘?hào)具有功率譜寬帶性和似噪聲性，其頻帶與疊加的其他信號(hào)的頻帶往往全部或部分重疊，尤其對(duì)于較低信噪比的混沌信號(hào)，現(xiàn)有的單一方法難以實(shí)現(xiàn)有效濾波[3]。

Huang等[4]提出了處理非線性非平穩(wěn)信號(hào)的新方法——經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)，與小波變換方法相比，EMD無(wú)需信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，其分解完全依賴信號(hào)本身，數(shù)據(jù)分解真實(shí)可靠。冷建成等[5]將EMD應(yīng)用于混沌信號(hào)去噪，展現(xiàn)了EMD簡(jiǎn)單、實(shí)效、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。但是，Boudraa等[6]比較了EMD和小波閾值去噪方法，發(fā)現(xiàn)后者去噪效果要優(yōu)于EMD，特別在受到脈沖強(qiáng)干擾的情況下，EMD方法分解出來(lái)的本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function，IMF)會(huì)發(fā)生畸變，導(dǎo)致信號(hào)失真[7]，且EMD本身存在一些不足，如模式混疊、端點(diǎn)效應(yīng)、停止條件等[8]。為了抑制模式混疊，Wu等[9]提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，有效地克服了這一缺陷，隨后，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，并應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的去噪處理，取得了較好的效果[8,10]。實(shí)測(cè)的混沌振動(dòng)信號(hào)往往存在較強(qiáng)的隨機(jī)噪聲和脈沖干擾，尤其低信噪比條件下，信號(hào)幾乎被噪聲淹沒(méi)，以上單一的方法很難有效地將混沌信號(hào)從強(qiáng)干擾中提取出來(lái)，從而嚴(yán)重影響了混沌信號(hào)進(jìn)一步的識(shí)別或預(yù)測(cè)等處理。為此，本文根據(jù)混沌信號(hào)本身的特點(diǎn)，結(jié)合小波和Savitzky-Golay(SG)濾波方法，在保留混沌信號(hào)特征的前提下最大限度地抑制白噪聲和局部強(qiáng)干擾的影響，再將預(yù)處理后的信號(hào)作為EEMD的輸入信號(hào)，以減少其不必要的分解層數(shù)，提高實(shí)效性，形成小波-SG-EEMD的混合去噪模型，并將這一模型應(yīng)用于兩自由度混沌振動(dòng)信號(hào)中，結(jié)果表明該方法簡(jiǎn)單可行，切實(shí)有效，具有非常好的應(yīng)用價(jià)值。

1EEMD基本原理

EEMD的基本思想是利用白噪聲頻譜的均勻分布來(lái)使不同尺度的信號(hào)自動(dòng)分布到合適的參考尺度上。同時(shí)，利用白噪聲的零均值特性，經(jīng)過(guò)多次平均使噪聲相互抵消，從而抑制甚至完全消除噪聲的影響。其步驟如下：

(1)在原始信號(hào)x(t)中疊加均值為0，幅值和標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的高斯白噪聲ni(t)，i=1～M，疊加次數(shù)為M(M>1)，即：

xi(t)=x(t)+ni(t)

(1)

(2)對(duì)xi(t)進(jìn)行EMD分解，得到N個(gè)IMF記為aij(t)，j=1～N，余項(xiàng)表示為ri(t)。

(3)由于不相關(guān)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)均值為0，所以將以上步驟所得的IMF進(jìn)行平均運(yùn)算，即可消除多次疊加高斯白噪聲對(duì)真實(shí)IMF的影響，平均后得到的IMF為：

(2)

aj(t)表示對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行EEMD分解后所得的第j個(gè)IMF。

2小波-SG模型建立

小波變換是近年來(lái)新發(fā)展起來(lái)的時(shí)頻表征工具，對(duì)白噪聲具有很強(qiáng)的抑制能力[11]，但是抑制局部脈沖干擾的能力較弱，這是由于脈沖干擾幅值較大，波寬較窄時(shí)，經(jīng)小波分解后其小波系數(shù)大于設(shè)定的閾值，致使經(jīng)過(guò)多尺度分解濾波，脈沖干擾仍不能得到有效抑制[12]。相反，Savitzky-Golay平滑濾波算法是一種移動(dòng)窗口的加權(quán)平均算法，在平滑脈沖干擾的同時(shí)，還可以保留信號(hào)的細(xì)節(jié)特征[13]。因此，建立小波-SG模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，可以同時(shí)有效地減少隨機(jī)白噪聲和局部脈沖干擾的影響。

小波-SG濾波算法具體步驟如下：

(1)對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行J尺度小波分解，得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)：

(3)

式中:cj,k和dj,k分別表示近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)，h和g表示濾波器的脈沖響應(yīng)，j為響應(yīng)的分解尺度。

(2)為了抑制脈沖干擾，對(duì)近似系數(shù)cj,k和細(xì)節(jié)系數(shù)dj,k均按式(4)做SG平滑處理。以第一層小波分解后的近似系數(shù)c1,k為例，設(shè)ci是其中的一個(gè)小波系數(shù)，在ci附近以nl+nr+1個(gè)點(diǎn)在最小二乘意義下擬合一個(gè)M次多項(xiàng)式pi(c)，多項(xiàng)式pi(c)在ci的值，即光滑數(shù)值gi表示為：

(4)

nl為ci左邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)，nr為ci右邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)，bp為多項(xiàng)式的系數(shù)。設(shè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為yi，為了使pi(c)擬合測(cè)試數(shù)據(jù)，必須定義系數(shù)bp，使得式(5)達(dá)到最優(yōu)。

(5)

(3)保持平滑后的近似小波系數(shù)不變，根據(jù)式(6)對(duì)平滑后的細(xì)節(jié)小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。

(6)

(4)將經(jīng)過(guò)步驟1～3處理過(guò)的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)按照式(7)進(jìn)行重構(gòu)。

(7)

3小波-SG-EEMD混合去噪分析

基于以上分析，小波-SG-EEMD混合去噪的基本流程可用圖1表示。被分析信號(hào)x(t)通過(guò)小波-SG預(yù)處理，將處理后的信號(hào)進(jìn)行EEMD分解，最后重構(gòu)IMF分量達(dá)到去噪目的。

圖1　小波-SG-EEMD混合去噪框架 Fig.1 The denoising flow chart of hybrid Wavelet-SG-EEMD

下面以加入白噪聲和脈沖干擾的Lorenz時(shí)間序列為例，對(duì)本文方法進(jìn)行分析。

3.1EEMD抗混分析

文獻(xiàn)[4]指出，引起模式混疊的主要原因是受外部異常事件的影響，如間斷信號(hào)，脈沖干擾和白噪聲等。為了驗(yàn)證受干擾條件下混沌信號(hào)EEMD分解的抗混能力，本文以疊加5 dB的Lorenz時(shí)間序列和Gauspuls脈沖分量組成的信號(hào)進(jìn)行仿真分析，其中Gauspuls脈沖干擾的中心頻率fc=1 000 Hz，相對(duì)帶寬bw=0.5。

圖2(a)為仿真信號(hào)的EMD分解結(jié)果，包括三個(gè)IMF分量(a1～a3)和一個(gè)余項(xiàng)res。其中，a1完全失真，失去了物理意義，a2在干擾附近(箭頭所標(biāo)位置)是干擾和Lorenz序列的模式混疊，分布有兩者的特征時(shí)間尺度。圖2(b)為仿真信號(hào)的EEMD分解結(jié)果，加入0.4倍信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)偏差的高斯白噪聲，加入次數(shù)M=100，包括八個(gè)IMF分量和一個(gè)余項(xiàng)res，為了方便和EMD的分解結(jié)果作比較，將第三至第七個(gè)IMF分量疊加，結(jié)果如a3所示?？梢钥闯?，第二個(gè)IMF分量a2并未出現(xiàn)明顯的模式混疊，其在時(shí)間尺度上介于a1和a3之間，是由于干擾和Lorenz序列調(diào)制所致。

圖2　仿真信號(hào)的EMD和EEMD結(jié)果 Fig.2 EMD and EEMD results of simulation signal

表1給出了EMD和EEMD去噪所耗時(shí)間以及去噪后信號(hào)的信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)，可以看出，EEMD的去噪效果要優(yōu)于EMD，但是耗時(shí)過(guò)多，時(shí)效性差，這主要是由于高斯白噪聲的疊加以及過(guò)多的分解層數(shù)所致。

表1　兩種分解方法比較

3.2混合去噪的必要性分析

對(duì)于信噪比較高且受單一干擾影響的混沌含噪信號(hào)，常用的去噪方法，如小波分析、EMD、局部投影等都能取得較好的信噪分離效果。若是受到復(fù)雜強(qiáng)干擾的混沌信號(hào)，單一的信噪分離方法效果將會(huì)如何。以信噪比為-5 dB的Lorenz時(shí)間序列為例，并疊加Gauspuls脈沖干擾對(duì)本文所提方法的必要性進(jìn)行分析，干凈的Lorenz時(shí)間序列和疊加干擾的含噪序列見(jiàn)圖3。

圖3　Lorenz時(shí)間序列 Fig.3 Lorenz time series

首先，利用小波分析和對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理。小波基選用正交性和緊支撐性較好的‘db4’小波，分解層數(shù)設(shè)為3。閾值函數(shù)和閾值分別選用軟閾值函數(shù)和固定閾值，去噪結(jié)果見(jiàn)圖4(a)，可以看出，脈沖干擾和白噪聲都未得到很好的抑制。圖4(b)為小波-SG的去噪結(jié)果，SG算法的擬合階數(shù)取3，數(shù)據(jù)窗口為15，脈沖干擾雖然得到了有效地抑制，但是信號(hào)局部存在明顯畸變。

圖5(a)為含噪信號(hào)EEMD的分解過(guò)程。得到八個(gè)IMF分量(a1～a8)和一個(gè)余項(xiàng)res。舍去a1，將a2和a3進(jìn)行軟閾值處理，并和低頻部分a4～a8、余項(xiàng)res疊加重構(gòu)便得到去噪結(jié)果見(jiàn)圖5(b)，部分脈沖干擾并未去除，且由噪聲引起的信號(hào)畸變比較突出。

圖4　兩種方法的去噪結(jié)果 Fig.4 The denoising results of the two methods

圖5　仿真信號(hào)的EEMD處理結(jié)果 Fig.5 The EEMD results of simulation signal

圖6是本文方法的去噪結(jié)果，只需分解7個(gè)IMF分量便可得到平滑的Lorenz序列，減少了過(guò)多分解層累積的端點(diǎn)誤差，且分解得到的IMF分量未發(fā)生明顯畸變。這是由于小波-SG作為EEMD的預(yù)濾波單元，消除了大部分白噪聲和脈沖干擾，減少了EEMD分解過(guò)程中不必要的高頻噪聲分解層，降低了過(guò)多分解層積累的端點(diǎn)誤差，提高了分解的準(zhǔn)確性。表2給出了以上方法的運(yùn)行時(shí)間，本文方法耗時(shí)要小于EEMD，大大提高了EEMD的時(shí)效性。

圖6　仿真信號(hào)的小波-SG-EEMD處理結(jié)果 Fig.6 The denoising results of simulation signal based on Wavelet-SG-EEMD

小波分析小波-SGEEMD本文方法耗時(shí)/s0.04490.139911.46928.6176

4兩自由度非線性振動(dòng)信號(hào)處理

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法對(duì)于混沌信號(hào)的去噪效果，以兩自由度非線性振動(dòng)信號(hào)為對(duì)象，模擬混沌振動(dòng)信號(hào)，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型見(jiàn)圖7，根據(jù)牛頓定理，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(x1-x2)3=fcos(ωt)+G

圖7　兩自由度振動(dòng)系統(tǒng) Fig.7 Two-degree-of-freedom vibration isolation model

當(dāng)參數(shù)ξ1=0.02，ξ2=0.2，K=100，f=8.8，G=96時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)[16]。x1-x3的相圖見(jiàn)圖8(a)。對(duì)其疊加-5 dB的高斯白噪聲和脈沖干擾，分別利用小波-SG、EEMD和本文方法對(duì)其進(jìn)行去噪處理,圖8(b)、(c)和(d)分別對(duì)應(yīng)其去噪效果圖，通過(guò)比較可以看出，小波-SG和EEMD去噪效果不是很明顯，信號(hào)曲線較為粗糙，而本文所提方法對(duì)于混沌振動(dòng)信號(hào)去噪效果優(yōu)于以上兩種方法。為了定性比較以上三種方法的去噪效果，表3分別列出了去噪后信號(hào)的信噪比和均方誤差，可以看出，本文方法的降噪指標(biāo)SNR相對(duì)較高，而MSE相對(duì)較低，可見(jiàn)，利用小波-SG作為EEMD的預(yù)處理單元對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理能達(dá)到較好的效果，切實(shí)可行，具有非常好的應(yīng)用價(jià)值。

圖8　三種方法去噪結(jié)果比較 Fig.8The denoising results of three methods above

小波-SGEEMD本文方法SNR/dB14.295313.873215.3742MSE1.35271.42531.2742

5結(jié)論

本文結(jié)合小波分析抑制白噪聲和SG平滑脈沖干擾的功能，將小波-SG作為EEMD分解的預(yù)濾波單元，減少了白噪聲和脈沖干擾的影響，避免了EEMD分解過(guò)程中不必要的高頻噪聲分解層以及過(guò)多分解層累積的端點(diǎn)誤差，克服了IMF分量選取的問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)和兩自由度混沌振動(dòng)信號(hào)去噪結(jié)果表明，小波-SG-EEMD可以有效地從復(fù)雜強(qiáng)干擾影響下提取混沌信號(hào)，保證了混沌識(shí)別的準(zhǔn)確性，具有非常好的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]Alexander L F，Robin J E. Control of chaos: Methods and applications in engineering[J] . Annual Reviews in Control，2005，29( 1)：33-56.

[2]Kostelich E J，Schreiber T. Noise reduction in chaotic time series: A survey of common methods[J]. Physical Review E (S1063-651X)，1993，48(3)：1752-1763.

[3]Elshorbagy A，Simonovic S P，Panu U S. Noise reduction in chaotic hydrologic time series: facts and doubts[ J]. Journal of Hydrology，2002，256(3-4)：147-165.

[4]Huang N E，Shen Z，Long S R，et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society of London Series A-Mathematical Physical and Engineering Science，1998，454：903-995.

[5]冷建成，劉樹(shù)林. 基于EMD的混沌信號(hào)去噪研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2006，25(增刊)：326-328.

LENG Jian-cheng，LIU Shu-lin. Noise reduction of chaotic signal based on EMD method[J]. Journal of Vibration and Shock，2006，25(Sup)：326-328.

[6]Boudraa A O，Cexue J C. De-noising via empirical mode decomposition[C]//Proceedings of the IEEE International Symposium on Control Communications and Signal Processing，Marrakech，Morocco：IEEE，2006：4-8.

[7]柏林，劉小峰，秦樹(shù)人. 小波-形態(tài)-EMD綜合分析法及其應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2008，27(5)：1-4.

BO Lin，LIU Xiao-feng，QIN Shu-ren. Hybrid wavelet-morphology-EMD analysis and its application[J]. Journal of Vibration and Shock，2008，27(5)：1-4.

[8]陳仁祥，湯寶平，馬靖華. 基于EEMD的振動(dòng)信號(hào)自適應(yīng)降噪方法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2012，31(15)：82-86.

CHEN Ren-xiang，TANG Bao-ping，MA Jing-hua. Adaptive de-noising method based on ensemble empirical mode decomposition for vibration signal[J]. Journal of Vibration and Shock，2012，31(15)：82-86.

[9]Wu Z，Huang N E. A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method[J]. Proc. R. London A，2004，460：1597-1611.

[10]張?jiān)?，李舜酩，胡伊賢，等. LMS方法的改進(jìn)及聯(lián)合EEMD在振動(dòng)信號(hào)去噪中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊，2013，32(20)：61-66.

ZHANG Yuan-yuan，LI Shun-ming，HU Yi-xian，et al. Improvement of LMS method and its application combined with EEMD in vehicle vibration signal denoising[J]. Journal of Vibration and Shock，2013，32(20)：61-66.

[11]Chiementin X，Kilundu B，Rasolofondraibe L，et al. Performance of wavelet denoising in vibration analysis：highlighting[J]. Journal of Vibration and Control，2012，18(6)：850-858.

[12]滕軍，朱焰煌，周峰，等. 自適應(yīng)分解層數(shù)的小波域中值濾波振動(dòng)信號(hào)降噪法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2009，28(2)：58-62.

TENG Jun，ZHU Yan-huang，ZHOU Feng，et al. Vibration signal denoising method based on median filter in wavelet domain with self-adaptive level decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock，2009，28(2)：58-62.

[13]李亢，楊紹清. 基于Savitzky-Golay算法的圖像平滑去噪[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理，2010，25(增刊)：72-74.

LI Kang，YANG Shao-qin. Image smooth denoising based on Savitaky-Golay algorithm[J]. Journal of Data Acquisition & Processing，2010，25(Sup)：72-74.

[14]Roggen Y. Wavelet denoising using principal component analysis[J]. Expert Systems with Applications，2011，81(2)：1073-1076.

[15]劉樹(shù)勇，位秀雷，許師凱，等. 非線性混沌振動(dòng)響應(yīng)的試驗(yàn)分析[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2014，34(2)：5-7.

LIU Shu-yong，WEI Xiu-lei，XU Shi-kai，et al. Experimental research of nonlinear chaotic vibration responses[J]. Noise and Vibration Control，2014，34(2)：5-7.

[16]樓京俊. 基于混沌理論的線譜控制技術(shù)研究[D]. 武漢：海軍工程大學(xué)，2006.