平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計的模型研究

張雪蕾，　王佳穎，　吳　雷

(1.北京師范大學數(shù)學科學學院，北京100875；　2.北京師范大學信息科學與技術(shù)學院，北京100875)

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平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計的模型研究

張雪蕾1，王佳穎1，吳雷2

(1.北京師范大學數(shù)學科學學院，北京100875；2.北京師范大學信息科學與技術(shù)學院，北京100875)

[摘要]現(xiàn)有一種創(chuàng)意平板折疊桌.建立初等函數(shù)模型，給出折疊桌的動態(tài)變化過程及開槽長度和桌腳邊緣線的函數(shù)表達；根據(jù)“穩(wěn)固性、加工難易、用材多少”等要求建立多目標函數(shù)的優(yōu)化模型，采用基于多目標函數(shù)的“模擬退火”算法，求得一定條件下的最優(yōu)設(shè)計方案.最后給出一種折疊桌設(shè)計軟件的初等目標函數(shù)數(shù)學模型，并利用次模型設(shè)計出三角形、六邊形兩種新的創(chuàng)意平板折疊桌.

[關(guān)鍵詞]平板折疊桌； 動態(tài)變化過程； 設(shè)計加工參數(shù)； 優(yōu)化問題； 約束條件下非線性多目標規(guī)劃； 模擬退火算法

1引言

為了生活方便，而且富有創(chuàng)意，現(xiàn)設(shè)計一種可折疊的桌子.桌面呈圓形，桌腿可隨著鉸鏈的活動平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度.先就該折疊桌的動態(tài)變化過程、設(shè)計加工參數(shù)等方面建立數(shù)學模型進行討論，考慮其最優(yōu)化的設(shè)計加工參數(shù)，最后旨在給出一種折疊桌設(shè)計軟件的數(shù)學模型，盡可能滿足客戶任意設(shè)定的要求而設(shè)計出折疊桌.

2圓形平板折疊桌設(shè)計模型

1.1　折疊桌動態(tài)變化過程模型

圖1　平板桌示意圖

在折疊過程中，將圓形桌面看作保持不動，桌腿上端點也確定，要描述折疊桌的動態(tài)變化過程，只需給出桌腿下端點的運動軌跡.本文以圓盤桌面的下表面圓心為原點，平行于長方形平板的長邊為x軸，平行于寬邊為y軸，垂直于板為z軸，建立3維的直角坐標系.

對于第n條桌腿，我們設(shè)其與x軸的夾角為φn，我們先考察長方形平板上桌面的及桌腿木條的分布情況.如桌面的俯視圖圖2所示，

圖2　平板桌俯視圖

每根木條頂端到桌面直徑的距離

每根木條的長度

每根木板長如表1所示：

表1　每根木條的長度

在折疊的某一過程中，每個桌腿下端點的坐標表示可根據(jù)圖3求出.

圖3　平板桌側(cè)視圖

因此第n條桌腿下端點坐標表達的參數(shù)方程為

可以看出，該方程正好表示每條桌腿繞頂端做半徑為桌腿長的圓周運動，與實際情況相符.

將ln和mn的表達式代入，得到最終的描述“折疊桌動態(tài)變化過程”的參數(shù)方程為

同時可根據(jù)如圖4所示的幾何關(guān)系，得到

圖4　平板桌側(cè)視圖

最后得到里面每根木條與地面夾角φn和最外側(cè)木條與地面夾角φ1的關(guān)系

代入上述參數(shù)方程即可得僅含參數(shù)最外側(cè)木條與地面夾角φ1與桌腿條數(shù)n的參數(shù)方程，即為最終的參數(shù)方程.(由于最終方程若將所有變量代入十分復雜，且無法清晰的展示各變量之間的關(guān)系，故沒有展示出代入后的最終結(jié)果.)

具體動態(tài)變化過程圖：

圖5　動態(tài)變化過程圖

2.2　木條開槽長度的數(shù)學描述

在折疊過程中，木條的開槽長度是很重要的設(shè)計加工參數(shù).平板時鋼筋所在的位置與折疊后鋼筋所在位置的差值即為木條的開槽長度，通過每根木條折疊前與折疊后的幾何關(guān)系(如圖6所示)即可求出.

圖6　平板桌側(cè)視圖

該圖是最外側(cè)木條轉(zhuǎn)動φ1角度時的平面圖，此時，第n根木條轉(zhuǎn)動了φn角度，從圖中很容易看出開槽長度

其中l(wèi)與圖2的q的長度相同，故

表2　每根木條開槽的長度

2.3　桌腳邊緣線的數(shù)學描述

首先，可以寫出桌面邊緣線關(guān)于y的參數(shù)方程

由于將木條無限細化，可暫時忽略木板的厚度以及m1的大小，且鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置，因此可以獲得鋼筋最外側(cè)的點的坐標方程如下

其中φn表示第n根木條與水平面的夾角.

桌子穩(wěn)定放置在地面時，由于鋼筋和地面平行，因此有

得

另外桌腳邊緣線的坐標滿足

(1)

又由于l1和a之間存在如下關(guān)系

分別將l1，φn帶入(1)，由此可得到“桌角邊緣線”關(guān)于y的參數(shù)方程：

將n=1,…,10的情況分別算出10根木條的下端點的位置，描點連線得到桌腳邊緣線的圖像，如圖7所示.

圖7　桌面邊緣線

3最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)

當只給出折疊桌的高度和圓形桌面的直徑來設(shè)計折疊桌，且使設(shè)計“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”.我們定義“穩(wěn)固性好”為當桌面邊緣放置重物時，桌面不會發(fā)生翻轉(zhuǎn)，并且如果水平推拉桌子，桌子仍不會發(fā)生翻轉(zhuǎn)或平移；定義“加工方便”為桌腿木條寬d越大(即個數(shù)越少、切割的次數(shù)越少)越方便；定義“用材最少”為木板本身的體積和開槽的總體積都盡可能小，則用材最少(考慮開槽的總體積是因為開槽的總體積表示浪費的木材，浪費的木材越多，用材越多).

此時桌子的設(shè)計與長方形平板材料(平板密度ρ，地面的摩擦因素μ及平板尺寸a×b×c)、折疊桌(桌腿條數(shù)N，鋼筋位置p(鋼筋距離最外側(cè)木條頂端的距離)及開槽長度xn)這些設(shè)計加工參數(shù)相關(guān).仍考慮平板為木板的情況，通常情況下，木板的密度ρ=0.6g/cm3，木板與地面的摩擦因素μ=0.4.

在考察穩(wěn)固性、加工及用材之前，要使桌子能夠設(shè)計出來，參數(shù)之間應首先滿足一些限制條件.

(i) 鋼筋的位置必定達到最短的桌腿木條頂端，否則不是所有的木條上都有鋼筋，桌子會散架.如圖8所示，即

p>mN-m1.

圖8　平板桌側(cè)視圖

(ii) 折疊過程中鋼筋一定不能超過木條的最低端.如圖8所示，即

3.1　考察穩(wěn)固性

根據(jù)定義分2種情況對桌子進行受力分析.一是在桌子邊緣放置重物，使桌子不會發(fā)生翻轉(zhuǎn).由于圓形桌面上與木條相切的邊無論怎樣放置重物都不會造成桌子的翻轉(zhuǎn)，故只考慮重物放置在桌面與x軸相交的最邊緣點處.如桌子xOz平面截圖圖9所示：

圖9　平板桌側(cè)視圖

翻轉(zhuǎn)的情況只會發(fā)生在圓形桌面的半徑超出支點，即r>d2的情況下.超出時，只有當重物放置的力F1小于重力mg對支點的力時，桌子才不會翻轉(zhuǎn)，才穩(wěn)固；在臨界條件下，

F1d1=mgd2，

d1=r-l1cosφ1-m1d2=l1cosφ1+m1.

故重物放置的力F1的參數(shù)方程為

另一種情況是用水平的力去推桌子，當水平推力F2小于重力mg對支點的力，同時水平推力F2小于最大靜摩擦力μmg時，桌子才既不會平移也不會發(fā)生翻轉(zhuǎn)，所以F2要小于重力mg對支點的力和最大靜摩擦力μmg的最小值，才穩(wěn)固性好.臨界條件下，

F2h=mgd2，F(xiàn)2=μmg，h=l1sinφ1.

故水平推力F2的參數(shù)方程為

3.2　考察加工方便性

桌腿木條的寬度表達式為

3.3　考察用材多少

因為長方形平板是規(guī)則的長方體，所以長方形平板的總體積

V=2(l1+m1)·c·2r,

(2)

代入(2)得

開槽的總長度

桌腿裁切后，桌面呈鋸齒狀而非純圓形，為了使最終桌面的形狀最大程度上近似于所要求設(shè)計的形狀，故考察要求設(shè)計的圓形桌面的面積與裁切后鋸齒狀桌面的面積之差(裁切后鋸齒狀桌面的面積=整個長方形木板的面積減去總的裁切的桌腿木條的面積)

所以根據(jù)定義，要使穩(wěn)固性好，重物放置的力F1和水平推力F2要越小越好.要做工方便，桌腿木條的寬度d要大(即條數(shù)、切割的次數(shù)少)；要使用材最少，長方形平板的總體積V和開槽的總長度K要越小越好.圓形桌面的面積與裁切后桌面的面積之差S越小，越符合設(shè)計需求.所以要得出使折疊桌“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，即相當于求解一個有約束條件的非線性的多目標函數(shù)的優(yōu)化問題[1-3]，此時的目標函數(shù)為最大邊界壓力F1的負值、水平推力F2的負值、桌腿木條個數(shù)N、長方形平板總體積V、開槽總長度K和圓形桌面的面積與裁切后桌面的面積之差S這6個參數(shù)方程，且都求取其最小值.

將目標函數(shù)的6個方程，看成6個元素，共同構(gòu)成一個6維的向量.因為6個函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，所以在選取領(lǐng)域解時，讓其在規(guī)定范圍內(nèi)隨機選取一個點作為該已知點的領(lǐng)域解.判斷是否為最優(yōu)解時，只有6維向量的每一個元素(即每一個目標函數(shù))均小于當前解，選取的領(lǐng)域解才為新的最優(yōu)解，可跳出.這屬于“多目標模擬退火[4]”.同時本文采用SMOSA算法[5]決定跳出局部最優(yōu)解的概率，則接受新解的概率為

本文采用模擬退火算法[6-7]求解設(shè)計模型的最優(yōu)方案，得到最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)為動態(tài)過程示意如圖10：

表3　最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)

表4　開槽長度

圖10　動態(tài)變化過程圖

4創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計模型

首先建立空間直角坐標系，根據(jù)客戶給出桌面邊緣線的形狀，用一個參數(shù)方程表示這個平面上的曲線

將切割方向旋轉(zhuǎn)至與x軸平行的位置，桌面位于xOy平面，因此可以通過折疊桌的位置，用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)來表示桌面邊緣線上各點的坐標，即

通過消參，可以得到一個含有變量t,n,d的方程，記作

H(t,n,d)=0.

(3)

其中t是桌面邊緣線參數(shù)方程參變量，n表示第幾個木條，d表示每個木條的寬度.

接著根據(jù)客戶給出桌腳邊緣線的形狀，表示出其對應的方程.另外在同一y值下，桌面邊緣線和桌腳邊緣線上點的連線即為該處的木條.根據(jù)桌子在坐標軸的位置可以得到：

其中t是桌面邊緣線參數(shù)方程參變量，n表示第幾個木條，d表示每個木條的寬度，其中φn表示第n根木條與水平面的夾角，ln表示第n根木條的長度，(xn,yn,zn)表示桌腳邊緣線的坐標.再將坐標帶入客戶給出的桌腳邊緣線的方程，記作

(4)

通過最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的分析有

其中φ1表示第1根木條與水平面的夾角.不妨記作

sinφn=G(φ1,l1,x0n,x01).

通過最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的分析有

不妨記作

l1=R(h,c,φ1).

將l1帶入sinφn可得

φn=G(φ1,l1,x0n,x01).

通過最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的分析有

l=l1+x01(t)=ln+x0n(t)=R(h,c,φ1)+x01(t).

因此

ln=R(h,c,φ1)+x01(t)-x0n(t).

將φn和ln代入(4)有

(5)

再將(5)和(3)聯(lián)立消去參變量n得到方程記作

該式中h為客戶設(shè)定的桌面高度，因此可以得到t,d,h,c,φ1的限制條件.

接下來仍用模擬退火[6-7]的方法，運用最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)中的六個目標函數(shù)的表達方式來選取最優(yōu)解，其中h由顧客提供，所以目標函數(shù)[5]如下：

約束條件為

表5　每根木條開槽的長度

若桌面為三角形，平板尺寸為160cm×50cm×3cm，鋼筋位置p=60cm.

表6　每根木條開槽的長度

其動態(tài)變化過程的示意圖為

圖11　六邊形和三角形平板桌動態(tài)圖

5模型總結(jié)及改進

本文先考慮了桌高、平板尺寸和形狀、桌面尺寸和形狀、木條寬度及鋼筋位置都確定的情況.通過分析，建立了初等函數(shù)模型，得到折疊桌桌面的參數(shù)方程和木條頂點坐標.通過描述木條下端點的變化軌跡，給出折疊桌的動態(tài)變化過程.在此基礎(chǔ)上分析了平板折疊前、后的幾何關(guān)系，得到木條的開槽長度.最后將木條細化，通過每根木條的下端點坐標，得到桌腳邊緣線的函數(shù)表達式.

當只給定桌高和桌面直徑時，根據(jù)設(shè)計上“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的要求，得出最大邊界壓力、最大水平推力、木條寬度、平板體積、開槽總長度、預想面積與實際面積之差的6個目標函數(shù).本文采取了基于多目標函數(shù)的“模擬退火”算法，通過SMOSA算法決定跳出局部最優(yōu)解的概率，從而求取出使該帶有約束條件的非線性多目標函數(shù)規(guī)劃問題達到最優(yōu)值的設(shè)計加工參數(shù).

對于客戶任意給定的創(chuàng)意折疊桌，我們可通過顧客給出的桌面和桌腳邊緣線的形狀得到它們的曲線方程，用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)來表示桌面邊緣線上各點的坐標.，進而得到桌腳邊緣線的參數(shù)方程，再將其轉(zhuǎn)化為用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)表示的曲線方程.將有關(guān)折疊桌形狀參數(shù)和位置參數(shù)的桌面、桌腳邊緣線的參數(shù)方程聯(lián)立，得到折疊桌加工參數(shù)的限制條件.最后在限定條件下運用模擬退火算法得到最優(yōu)解.

對于折疊桌最優(yōu)設(shè)計的確定，可請客戶明確給出考察“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的重要性排序，我們可根據(jù)重要性給出權(quán)重，采取給各個目標函數(shù)賦權(quán)的方法，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，而不是如本文所述，在模擬退火中，6維元素的初始溫度和下降系數(shù)都相同，這樣可使折疊桌的設(shè)計更加符合客戶的需求.

注本文獲得2014年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽全國一等獎.指導教師：北京師范大學數(shù)學科學學院王穎喆

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A Study on Optimal Design of Flat Folding Table

ZHANGXue-lei1，WANGJia-ying1，WULei2

(1. Beijing Normal University, School of Methematical Science, Beijing 100875, China;

2. Beijing Normal University, School of Information Science and Technology, Beijing 100875, China)

Abstract:There is a creative flat folding table.We build an elementary function model to give the dynamic change process of the table and functional expressions of the length of slots and the edge lines of legs of the desk.According to the stability,the difficulty of process and the quantity of material,we build a multi-objectives functional optimization model,and seek optimal design with simulated annealing algorithm based on multi-objectives function.At last,an elementary objective function model of the flat folding table is given.And then we design two new creative flat folding table by the model.

Key words:flat folding table; dynamic change process; the parameters of design; optimization; nonlinearmulti-objectives programming with constraints; simulated annealing

[中圖分類號]O224

[文獻標識碼]B

[文章編號]1672-1454(2015)05-0023-10

[收稿日期]2015-06-16