揭秘量子密碼、量子糾纏與量子隱形傳態(tài)

施郁

復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系，上海 200433

揭秘量子密碼、量子糾纏與量子隱形傳態(tài)

施郁?

復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系，上海 200433

以光子的偏振態(tài)為例，對(duì)量子力學(xué)、量子態(tài)、量子密碼、量子糾纏和量子隱形傳態(tài)作簡要通俗而又力求準(zhǔn)確的介紹。首先通過與經(jīng)典物理的對(duì)比，引進(jìn)量子力學(xué)的基本思想和量子態(tài)的基本涵義；接著介紹量子密碼的BB84量子密鑰分配方案；然后介紹量子糾纏，強(qiáng)調(diào)它不違反相對(duì)論。在此基礎(chǔ)上，介紹了量子隱形傳態(tài)，強(qiáng)調(diào)了經(jīng)典通信在這個(gè)過程中的必不可少。

量子力學(xué)；量子態(tài)；量子密碼；量子糾纏；量子隱形傳態(tài)

量子信息指利用量子力學(xué)的基本原理進(jìn)行信息處理，在最近一些年得到了很大發(fā)展。量子信息包括量子通信、量子計(jì)算等等。量子通信包括量子密碼、量子隱形傳態(tài)等等。量子隱形傳態(tài)和量子計(jì)算都基于量子糾纏。量子糾纏是量子力學(xué)中的一個(gè)基本概念。

1 揭秘量子力學(xué)與量子態(tài)

為了解釋什么是量子力學(xué)，我們從經(jīng)典物理說起。

經(jīng)典物理包括以牛頓三大定律為核心的牛頓力學(xué)(或稱經(jīng)典力學(xué))以及以麥克斯韋方程組為核心的經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(或稱電磁學(xué))。對(duì)于速度接近光速以及強(qiáng)引力場情況，還要考慮狹義及廣義相對(duì)論，但是相對(duì)于量子力學(xué)而言，它們?nèi)匀粚儆诮?jīng)典物理的范疇。

在經(jīng)典物理中，每個(gè)物理量，比如位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、電場強(qiáng)度、電流等等，在每個(gè)時(shí)刻都有明確的取值，都是一個(gè)客觀實(shí)在。它們隨時(shí)間變化的情況就是動(dòng)力學(xué)，由牛頓力學(xué)及經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的基本定律決定。只要知道某個(gè)時(shí)刻的物理量的值，就可以從動(dòng)力學(xué)得到其他任意時(shí)刻的取值。因此本質(zhì)上經(jīng)典物理是決定論的。

經(jīng)典物理里也有幾率，或稱概率，但這是一種粗粒化描述。在不了解或者無法控制細(xì)節(jié)時(shí)，考慮各種可能性，從而得到幾率分布。比如擲骰子。骰子的運(yùn)動(dòng)其實(shí)是一個(gè)決定論的過程，沒有本質(zhì)上的隨機(jī)性。如果了解它的力學(xué)細(xì)節(jié)，比如質(zhì)量分布、初始位置、方位、速度、整個(gè)下落過程中的受力情況等等，其實(shí)是可以預(yù)言最后哪一面朝上的。當(dāng)然，在實(shí)際中一般做不到這一點(diǎn)。對(duì)于各種細(xì)節(jié)情況作平均，就可以預(yù)言，如果投擲N次，其中每一面朝上的次數(shù)大約N/6次。也就是說，每一面朝上的幾率大概是1/6。

經(jīng)常有這樣的情況，即細(xì)節(jié)描述不但不可能，而且沒有必要，而幾率描述更抓住問題的本質(zhì)。比如一團(tuán)氣體在給定溫度下，各種微觀狀態(tài)有一個(gè)幾率分布，由此可以得到給定溫度下的宏觀性質(zhì)，比如平均總能量、壓強(qiáng)等等。這就是統(tǒng)計(jì)物理。基于經(jīng)典力學(xué)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的幾率抓住了問題的本質(zhì)，但這種幾率和骰子類似，不是實(shí)質(zhì)性的，也就是說，微觀細(xì)節(jié)仍然是服從經(jīng)典物理的決定論過程。

那么，什么樣的幾率是實(shí)質(zhì)性的，也就是說背后沒有決定論的過程？答案就是量子力學(xué)中的幾率。量子力學(xué)的中心概念是量子態(tài)，而根據(jù)量子態(tài)，可以計(jì)算出各種幾率分布。下面我們將了解到，量子態(tài)比幾率分布的涵義還要多。

量子態(tài)不是一個(gè)物理量，而是一個(gè)描述。由此決定各相關(guān)物理量被測(cè)量后的各種取值的幾率，從而可以計(jì)算出每個(gè)相關(guān)物理量的期望值，或稱平均值。一旦做了某個(gè)物理量的測(cè)量，就得到這些可能值中的一個(gè)，量子態(tài)也相應(yīng)地更新為一個(gè)新的量子態(tài)。在這個(gè)量子態(tài)上，剛測(cè)得的物理量取值的幾率為1。

舉一個(gè)例子。光有個(gè)性質(zhì)叫偏振，代表了電場振動(dòng)方向，它總是位于與傳播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿著這個(gè)平面上的一個(gè)特定方向，這種光就是線偏振光。如果偏振方向在這個(gè)平面上旋轉(zhuǎn)，這種光就是圓偏振光。偏振性質(zhì)不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光，而非偏振的自然光透過偏振片，可以產(chǎn)生偏振方向沿著透光軸的線偏振光。如果讓線偏振光垂直入射一個(gè)偏振片，它透過的強(qiáng)度是原來強(qiáng)度的cos2θ，其中θ是光入射前的線偏振方向與偏振片透光軸方向的夾角。

光是由光子組成的，光子服從量子力學(xué)?，F(xiàn)在讓我們考慮單個(gè)的光子。單個(gè)光子的偏振方向總是位于與動(dòng)量正交的平面上。線偏振的光子透過偏振片的幾率是cos2θ。

幾率的涵義如下：如果有N個(gè)(N很大)偏振量子態(tài)都是|θ〉的光子分別入射到這個(gè)偏振片上，也就是說，對(duì)于同樣的量子態(tài)|θ〉，重復(fù)N次相同的過程，那么有Ncos2θ個(gè)光子透射過去。

但是對(duì)于每一個(gè)光子來說，無法預(yù)測(cè)它究竟能否透射過去，完全不能。所以我說量子力學(xué)的幾率是實(shí)質(zhì)性的。

量子力學(xué)有一套理論框架描述這些性質(zhì)。光子的偏振由一個(gè)量子態(tài)描述，我們可以把它記為|ψ〉，它在數(shù)學(xué)上是一種矢量。

我們知道，空間中的矢量，比如位置，由幾個(gè)坐標(biāo)(或者叫分量)確定。任意一個(gè)矢量都可以分解為幾個(gè)互相正交的基本矢量。它們平行或反平行于坐標(biāo)軸，長度大小就是坐標(biāo)的絕對(duì)值，方向由坐標(biāo)的符號(hào)代表，它們稱作基矢。與之類似，量子態(tài)這種矢量也可以分解為幾個(gè)互相正交的基矢，它們稱為基矢態(tài)。這里的矢量不是在我們所生活的空間，而是在一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)空間里，稱作矢量空間。它是這個(gè)量子系統(tǒng)的所有可能的量子態(tài)的集合，服從一定的運(yùn)算規(guī)則。這些矢量的正交也有它的定義。

在我們生活的空間里，坐標(biāo)的選擇是任意的。與之類似，對(duì)于一個(gè)量子態(tài)來說，選擇哪一套基矢態(tài)來展開或者分解也是任意的。但是為了計(jì)算某個(gè)測(cè)量的幾率，選擇與這個(gè)測(cè)量對(duì)應(yīng)的基矢態(tài)比較方便。光子透過偏振片可以看作一個(gè)測(cè)量過程：如果偏振方向沿著偏振片的透光軸方向，就會(huì)穿透；而如果垂直于透光軸方向，就不能穿透。

為簡單起見，我們考慮某個(gè)垂直入射偏振片的線偏振光子。假設(shè)在偏振片上定義一個(gè)xy平面，光子的線偏振沿著θ方向。我們將這個(gè)偏振量子態(tài)記作|θ〉。

現(xiàn)在先假設(shè)偏振片的透光軸沿著x方向。為了計(jì)算光子透過偏振片的幾率，可以把光子原來的量子態(tài)分解如下：

其中|?〉與|?〉互相正交，|?〉代表光子偏振方向沿著x方向，即目前偏振片的透光軸，|?〉代表光子偏振方向沿著y方向，即垂直于偏振片的透光軸。

光子入射偏振片，量子態(tài)變得非此基矢態(tài)即彼基矢態(tài)：要么變成|?〉，從而透過偏振片；要么變成|?〉，從而不能通過偏振片。前者的幾率是cos2θ，后者的幾率是sin2θ。幾率等于展開式(1)式右側(cè)各基矢態(tài)前面系數(shù)(通常稱作展開系數(shù))的模的平方。這是由量子態(tài)決定幾率的基本規(guī)則。這些系數(shù)的模的平方之和等于1，因?yàn)楦鞣N可能的幾率之和應(yīng)該是1。因此，光子穿透偏振片的幾率是cos2θ，穿透后的量子態(tài)變?yōu)閨?〉。

現(xiàn)在我們改變一下偏振片的方位，將它逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45°，然后再將處于同樣偏振量子態(tài)|θ〉的光子入射?，F(xiàn)在將光子的量子態(tài)|θ〉作如下分解比較方便：

反過來就是

后兩式也可以分別通過將θ= 45°和θ=135 °代入式(2)得到。

也有復(fù)雜一點(diǎn)的測(cè)量方法，可以做到測(cè)量一個(gè)光子的偏振態(tài)而且不失去它。比如，借助于一個(gè)雙折射晶體和兩個(gè)偏振片，使得每個(gè)光子都能隨機(jī)地從一個(gè)偏振片透射出來，非此即彼，每個(gè)偏振片分別對(duì)應(yīng)于一個(gè)基矢態(tài)。下面所討論的對(duì)偏振態(tài)的測(cè)量就是這樣。為了簡單起見，這里不贅述細(xì)節(jié)。

一般來說，一個(gè)量子態(tài)用基矢態(tài)展開，比如圓偏振態(tài)用線偏振基矢態(tài)展開，展開系數(shù)是復(fù)數(shù)。但是為簡單起見，本文所用的例子中，展開系數(shù)都是實(shí)數(shù)。

對(duì)于不同的物理性質(zhì)有不同的量子態(tài)。比如偏振是一個(gè)物理性質(zhì)，動(dòng)量是另一個(gè)物理性質(zhì)。如果不同的物理性質(zhì)之間沒有耦合，相應(yīng)的量子態(tài)也沒有耦合，只需要考察相關(guān)的量子態(tài)。比如在上面這個(gè)例子里，關(guān)于光子的動(dòng)量或者位置當(dāng)然也有量子態(tài)，但是與我們關(guān)心的偏振現(xiàn)象沒有關(guān)系，所以不去關(guān)心。

在測(cè)量之前，量子態(tài)隨時(shí)間的演化是由一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程決定的，這個(gè)方程被稱作薛定諤(E. Schr?dinger)方程，因?yàn)闅v史上第一個(gè)例子(描寫氫原子中的電子)是由薛定諤提出的。與相關(guān)物理性質(zhì)有關(guān)的能量是一個(gè)常數(shù)時(shí)，相應(yīng)的量子態(tài)在測(cè)量之前就不變。下面的討論都屬于這種情況。在量子力學(xué)里，量子態(tài)、幾率分布以及物理量的期望值都可以有決定論的動(dòng)力學(xué)演化，但是這改變不了量子力學(xué)的幾率本質(zhì)，因?yàn)樵诿總€(gè)量子態(tài)上，作一個(gè)物理量的測(cè)量，都有一個(gè)內(nèi)在隨機(jī)性。

什么情況下用經(jīng)典物理，什么情況下必須用量子力學(xué)？它們的分界線在哪里？嚴(yán)格來說，這是一個(gè)沒有完全解決的問題。對(duì)于具體的實(shí)際情況(for all practical purposes)，一般能夠判斷。比如，一般來說，小分子層次以下的微觀粒子必須要用量子力學(xué)，而我們周圍的宏觀物體服從經(jīng)典物理。但是隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，越來越大的物體表現(xiàn)出量子效應(yīng)。所以有可能所有的物質(zhì)本質(zhì)上都服從量子力學(xué)，只是在環(huán)境的作用下，表觀上顯示出經(jīng)典物理。但是也有可能量子力學(xué)的適用范圍是有限的。筆者認(rèn)為，按物理學(xué)目前的水平來說，這兩種可能都是存在的。

2 量子密碼，巧妙在哪？

一個(gè)量子系統(tǒng)的基矢態(tài)的數(shù)目可能無限多，基矢態(tài)對(duì)應(yīng)的物理量取值的分布是連續(xù)的。比如動(dòng)量量子態(tài)，不同的動(dòng)量就對(duì)應(yīng)不同的基矢態(tài)，而動(dòng)量是可以連續(xù)變化的。一個(gè)量子系統(tǒng)的基矢態(tài)數(shù)目也可能是有限的，基矢態(tài)所對(duì)應(yīng)的物理量取值的分布是分立的，比如我們這里討論的偏振量子態(tài)。分立的情況適合用于信息處理，這就是量子信息。可以用一個(gè)雙態(tài)系統(tǒng)(基矢態(tài)只有兩個(gè))的兩個(gè)基矢態(tài)代表比特(二進(jìn)制數(shù))0和1。因?yàn)樗鼈兪橇孔討B(tài)，所以它們代表的是量子比特，服從量子力學(xué)的規(guī)律。

量子信息包括若干方面。本章介紹量子密碼。密碼的一個(gè)關(guān)鍵是密鑰，比如一串比特，即每個(gè)數(shù)是二進(jìn)制數(shù)0或1。發(fā)出信息的一方將信息轉(zhuǎn)換為一串比特，然后將每個(gè)比特與密鑰中的比特以二進(jìn)制規(guī)則相加，而且每個(gè)比特保持一位，即逢2回到0。這就是加密。加密后的比特串發(fā)給接收信息的一方。其收到后再將每個(gè)比特分別與密鑰中的比特相加并逢2回0(也就是相減，二者結(jié)果一樣)，由此就得到原來的信息。這就是解密。量子密碼的一個(gè)主要方法就是利用量子態(tài)產(chǎn)生密鑰，這就是量子密鑰分配。注意，最后得到的密鑰本身仍然是經(jīng)典的。

量子密鑰分配的一個(gè)主要方案是由Bennett和Brassard在1984年提出的BB84方案[1]。下面我用光子的偏振態(tài)解釋。假設(shè)兩個(gè)人A和B要確定一組共享的密鑰。A先隨機(jī)地用|?〉或者|?〉代表0，并隨機(jī)地用|?〉或者|?〉代表1。A以此方法產(chǎn)生一批光子，發(fā)送給B。B對(duì)于每個(gè)光子測(cè)量其偏振態(tài)，每次測(cè)量又都是隨機(jī)選擇|?〉和|?〉這組基或者|?〉和|?〉這組基。然后A和B交流，對(duì)于每個(gè)光子的產(chǎn)生和測(cè)量，分別是用了哪組基，但不說明具體的態(tài)。他們的這個(gè)交流不需要保密，可以是公開的。然后將產(chǎn)生和測(cè)量用的基不一樣的情況剔除，剩下的光子的偏振態(tài)在A發(fā)出和B測(cè)量后應(yīng)該是一樣的，而且別人不知道。

理想情況下，這些光子既然產(chǎn)生與測(cè)量的基一致，那么它們?cè)贐測(cè)量后的偏振態(tài)也就應(yīng)該與在A處產(chǎn)生時(shí)一樣，除非被“竊聽”過。假設(shè)某個(gè)光子曾在傳輸途中被E截留，E測(cè)量其偏振態(tài)，然后再發(fā)給B。這就是所謂“竊聽”。E當(dāng)時(shí)不知道該光子是通過哪組基產(chǎn)生的。假設(shè)他隨機(jī)地選擇這兩組基之一來測(cè)量。如果E測(cè)量所用的基碰巧與光子在A處產(chǎn)生時(shí)的基一致(有1/2幾率是這樣)，那么E就會(huì)正確地測(cè)量得到光子的偏振態(tài)，而且未作改變，又發(fā)給了B。這樣，光子的偏振態(tài)就與沒有被竊聽的情況一樣。B收到該光子后，如果用與A一樣的基測(cè)量，得到的結(jié)果就與光子產(chǎn)生發(fā)出時(shí)的偏振態(tài)一樣。E的竊聽就不能被發(fā)現(xiàn)。但是如果E竊聽時(shí)用的基與原來的不一樣(有1/2幾率是這樣)，那么測(cè)量之后，光子偏振態(tài)就改變了，變成E測(cè)量所用的基上的兩個(gè)基矢態(tài)之一。B 收到該光子后，如果用與A一樣的基測(cè)量，那么其中只有1/2幾率得到的結(jié)果與產(chǎn)生時(shí)一樣。另有1/2幾率得到的結(jié)果與產(chǎn)生時(shí)的偏振態(tài)相正交，這就出錯(cuò)了。這些幾率是從式(3)和(4)算出的。因此總的來說，如果存在竊聽，就會(huì)引起可觀的錯(cuò)誤率，在上述竊聽方案下，引起的錯(cuò)誤率是1/4。

舉個(gè)更具體的例子。假設(shè)A產(chǎn)生一個(gè)偏振態(tài)|?〉的光子，被E截獲，E在|?〉和|?〉這組基上測(cè)量，結(jié)果當(dāng)然是|?〉。然后E將光子發(fā)出，被B收到。B選擇了在|?〉和|?〉這組基上測(cè)量(所以后來這個(gè)光子的信息在A和B交流產(chǎn)生與測(cè)量時(shí)所用的基以后才會(huì)留下)，結(jié)果當(dāng)然還是|?〉，情況與沒有被E竊聽的情況一樣。但是如果E截留后，在|?〉 和|?〉這組基上測(cè)量，結(jié)果要么是|?〉 ，要么是|?〉。測(cè)量后，發(fā)給B。B在|?〉和|?〉這組基上測(cè)量。不管光子偏振態(tài)在E測(cè)量后是|?〉，還是|?〉，B的測(cè)量結(jié)果中有1/2幾率是|?〉，1/2幾率是|?〉?？傊?，雖然B測(cè)量該光子所用的基與A產(chǎn)生它時(shí)一致，但是有1/2幾率光子的偏振態(tài)與產(chǎn)生時(shí)不一樣了。

因此A和B可以從產(chǎn)生與測(cè)量所用的基相同的光子中選擇一部分來做抽查，將它們產(chǎn)生與測(cè)量的偏振態(tài)作比較。如果沒有被竊聽過，這些光子被B測(cè)量得到的結(jié)果應(yīng)該與在A處產(chǎn)生時(shí)一樣；而如果被竊聽過，其中有一些光子的偏振態(tài)就有變化。如果E每次竊聽是完全隨機(jī)選擇這兩套基中的一個(gè)，那么偏振態(tài)發(fā)生變化的光子占1/4。由此A和B可以判斷出是不是存在竊聽。

這個(gè)方案的保密性基于不同的基之間的不相容，既互為疊加態(tài)。

3 量子糾纏違反相對(duì)論嗎？

現(xiàn)在我們開始討論量子糾纏。這是復(fù)合量子系統(tǒng)(由2個(gè)或以上的子系統(tǒng)構(gòu)成)的量子態(tài)的性質(zhì)。

我們還是用偏振態(tài)作為例子?？紤]兩個(gè)光子a和b的偏振量子態(tài), 記作|ψ〉ab。下標(biāo)代表這個(gè)態(tài)的載體。有一種可能是這兩個(gè)光子a和b的偏振分別由一個(gè)量子態(tài)描述，也就是說，兩者是互相獨(dú)立的。這可以寫成

這種情況下，對(duì)a光子做任何測(cè)量或操作都不會(huì)影響b光子的量子態(tài)，二者相互獨(dú)立。無論你將|φ〉a或者|φ〉b用什么樣的一套基矢態(tài)分解，都改變不了|ψ〉ab=|φ〉a|φ〉b，這樣的量子態(tài)稱作可分離態(tài)。

但是還有一種情況，每個(gè)光子的偏振沒有獨(dú)立的量子態(tài)，也就是說|ψ〉ab不可能寫成|φ〉a|φ〉b的形式。對(duì)于光子a的偏振，或者光子b的偏振，不管選擇怎樣的一套基矢態(tài)，|ψ〉ab的展開式中總是至少有兩項(xiàng)相加。這樣的量子態(tài)稱作量子糾纏態(tài)。比如：

這里左邊是兩個(gè)光子組成的復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)，右邊每一項(xiàng)中的兩個(gè)態(tài)依次分別是兩個(gè)光子a和b的基矢態(tài)。每個(gè)態(tài)的載體省略未寫，一方面是為了簡潔，另一方面也為了后面將這個(gè)表達(dá)式用于另外的光子。如果這兩個(gè)光子都用|?〉和|?〉這組基，那么|Φ+〉 就改寫為另一種形式。將變換式(4)代入式(6)，得到

式(6)和(7)代表的是同一個(gè)雙光子態(tài)|Φ+〉。

為了討論方便，我們假設(shè)光子a被A所控制，光子b被B所控制。現(xiàn)在A測(cè)量a的偏振，假設(shè)偏振片的透光軸沿著x方向，那么根據(jù)式(6)，可以知道有1/2的幾率測(cè)得它的偏振沿著x，測(cè)量之后其量子態(tài)變?yōu)閨?〉。式(6)的兩項(xiàng)之和變?yōu)榈谝豁?xiàng)，也就是說整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)閨?〉|?〉。在這個(gè)態(tài)中，光子b的態(tài)顯然是|?〉。另一方面，如果a的偏振測(cè)得是沿y方向，也就是說它的量子態(tài)在測(cè)量之后變?yōu)閨?〉。式(6)中的兩項(xiàng)之和變?yōu)榈诙?xiàng)，也就是說整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)閨?〉|?〉，在這個(gè)態(tài)中b的態(tài)是|?〉。因此，A通過對(duì)兩個(gè)糾纏光子中一員a的偏振進(jìn)行測(cè)量，可以預(yù)言另一個(gè)光子b的偏振。

這一點(diǎn)奇怪嗎？其實(shí)經(jīng)典幾率中也有類似的情況。量子態(tài)是一種描述，經(jīng)典幾率也是一種描述。假設(shè)有一個(gè)容器里裝著紅色的球，另一個(gè)容器里裝著藍(lán)色的球，但是從外面看不出哪個(gè)容器裝著什么顏色的球?，F(xiàn)在隨機(jī)選擇一個(gè)容器，從中拿出兩個(gè)球分別放在密封的盒子里，交給A和B。A和B只知道它們來自同一個(gè)容器，所以顏色一樣，但不知道顏色究竟是什么。然后A和B 分別到相距很遠(yuǎn)的兩地。在A打開盒子之前，她的球是紅色和藍(lán)色的幾率各為1/2。A打開盒子，知道了她的球的顏色，所以也立即知道了B的球的顏色。對(duì)此，沒有人覺得奇怪。所以在這一點(diǎn)上，量子糾纏還不奇怪。

與之相比較，量子糾纏的不同或者說“奇怪”如下。這個(gè)不同來自量子態(tài)具有超越幾率的涵義，而測(cè)量可以選擇不同的基。A完全可以用另外一個(gè)基來測(cè)量光子a的偏振態(tài)。比如可以用|?〉和|?〉這組基。那么將|Φ+〉寫成式(7) 比較方便。從中可以看出，A有1/2的幾率測(cè)得光子a的偏振沿著45°方向，也就是說，測(cè)量之后a的量子態(tài)變?yōu)閨?〉。式(7)的兩項(xiàng)之和變?yōu)榈谝豁?xiàng)，也就是說整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)閨?〉 |?〉。其中光子b的態(tài)是|?〉。另一方面，如果光子a的偏振測(cè)得是沿135°方向，也就是說它的量子態(tài)在測(cè)量之后變?yōu)閨?〉。式(7)中的兩項(xiàng)之和變?yōu)榈诙?xiàng)，也就是說整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)閨?〉|?〉，其中光子b的態(tài)是|?〉。

但是，這并不意味著違反相對(duì)論。雖然A通過對(duì)光子a的測(cè)量，確定或者說預(yù)言了光子b的偏振，但是如果A不把測(cè)量結(jié)果告知B，B是無法確認(rèn)的。如果這時(shí)B測(cè)量光子b，結(jié)果確實(shí)與A的預(yù)言一致。但是，原來的糾纏態(tài)也預(yù)言了B是有1/2幾率測(cè)量得到b的這個(gè)偏振態(tài)的，所以B無法覺察A做過測(cè)量。如果A分別對(duì)處于同樣的|Φ+〉的N個(gè)光子對(duì)a和b作測(cè)量，N個(gè)光子a的測(cè)量結(jié)果是隨機(jī)分布的，由此導(dǎo)致的A對(duì)光子b的態(tài)的預(yù)言也是隨機(jī)分布的。對(duì)于光子b來說，兩種情況——一個(gè)是在糾纏態(tài)|Φ+〉下測(cè)量，一個(gè)是在光子a已經(jīng)被A測(cè)量但是B不知道——多次測(cè)量的幾率分布和相關(guān)物理量的平均值，結(jié)果是完全一樣的。也就是說單靠B對(duì)于光子b的測(cè)量，是無法分辨的，而如果A將測(cè)量光子a所得的結(jié)果告訴B，這個(gè)通信過程就受到物理定律的限制，不能超過光速。對(duì)這一點(diǎn)的忽略使得很多人覺得量子糾纏很神秘。

我們?cè)倭信e3個(gè)糾纏態(tài)的例子：

|Φ+〉、|Φ-〉、|Ψ+〉和|Ψ-〉這4個(gè)糾纏態(tài)的結(jié)構(gòu)類似，有時(shí)統(tǒng)稱貝爾(Bell) 態(tài)， 其中|Ψ-〉又稱愛因斯坦-波多爾斯基-羅森-玻姆(EPRB)態(tài)。它們都是最大糾纏態(tài)。上面與|Φ+〉相比較的經(jīng)典情形也適用于與|Φ-〉作比較，而可以用來與|Ψ+〉和|Ψ-〉相比較的一個(gè)經(jīng)典情形是一雙手套(一左一右)分裝在一個(gè)密封盒子里，被A和B隨機(jī)拿走其中一只。A打開盒子知道自己的是哪一只之后，立即知道B處的手套是哪一只。量子糾纏超越這一點(diǎn)，因?yàn)榭梢栽诹硪粋€(gè)基上測(cè)量。

貝爾態(tài)也可以作為兩光子偏振態(tài)的基矢態(tài)。將貝爾態(tài)的表達(dá)式(6)、(8)～(10)反過來，可以得到

量子糾纏的特別之處是愛因斯坦、波多爾斯基和羅森首先發(fā)現(xiàn)的[2]，然后薛定諤賦予“量子糾纏”這個(gè)名詞，并指出“我不說這是量子力學(xué)的一個(gè)特征，而說這就是量子力學(xué)的特征，它導(dǎo)致了與經(jīng)典思想的徹底偏離”[3]。關(guān)于愛因斯坦等人的觀點(diǎn)以及后來的發(fā)展，筆者將另文評(píng)述。

4 量子隱形傳態(tài)

前文已指出，雖然糾纏的兩個(gè)粒子中的一個(gè)被測(cè)量造成整個(gè)量子態(tài)發(fā)生變化，但是除非將測(cè)量結(jié)果通知另一方，這個(gè)變化不會(huì)被另一方所覺察。所以量子糾纏與相對(duì)論沒有矛盾，和平共處。

另一方面，如果借助經(jīng)典通信，就可以利用量子糾纏實(shí)現(xiàn)一些特殊的信息處理過程。量子隱形傳態(tài)[4]就是其中的典型。下面我們還是用光子偏振態(tài)來介紹。

在量子隱形傳態(tài)中，除了一對(duì)處于最大糾纏態(tài)(比如|Φ+〉)的光子a和b以外，還有一個(gè)單光子c，這個(gè)單光子c的偏振量子態(tài)|ψ〉可以是未知的。上面我們說過任意的量子態(tài)都可以用基矢態(tài)展開，所以|ψ〉總可以寫成

其中α和β是展開系數(shù)，可以是未知的。處于糾纏態(tài)|Φ+〉中的光子a和b分別為A和B控制，A和B處于可以相距很遠(yuǎn)的兩地，光子c也處于A處。隱形傳態(tài)是將光子c的量子態(tài)傳到光子b上，使得b的量子態(tài)變?yōu)閨ψ〉，不再與光子a糾纏，而光子c和a則糾纏起來。過程如下：

一開始，3個(gè)光子的量子態(tài)是

將右邊展開，也就是

為了方便起見，現(xiàn)在我們對(duì)于c和a這兩個(gè)光子用上一章最后所說的貝爾態(tài)作為基矢態(tài)展開。將式(11)～(14)代入，可以發(fā)現(xiàn)這3個(gè)光子的偏振態(tài)可以寫為

注意，到目前為止，物理上什么也沒做，只是數(shù)學(xué)表達(dá)式的改寫。

現(xiàn)在A對(duì)于她所掌握的c和a兩個(gè)光子作一個(gè)貝爾測(cè)量，也就是一個(gè)以4個(gè)貝爾態(tài)為基矢態(tài)的測(cè)量，從而c和a的量子態(tài)以各1/4的幾率成為4個(gè)貝爾態(tài)中的一個(gè)，相應(yīng)地，這3個(gè)光子的量子態(tài)成為上式4項(xiàng)中的一項(xiàng)。

這是前面所講的2個(gè)糾纏光子中一方被測(cè)量的情況的推廣。如果A不把測(cè)量結(jié)果通知B，B無法覺察b的任何變化。隱形傳態(tài)的一個(gè)關(guān)鍵步驟是A告知B關(guān)于光子c和a的測(cè)量結(jié)果，即光子c和a的量子態(tài)變成了哪個(gè)貝爾態(tài)。這可以用通常的經(jīng)典通信手段。B從而就知道了光子b處于以下4個(gè)可能量子態(tài)中的哪一個(gè)：

注意，α和β可以是未知的。但是不管α和β是什么， 這4個(gè)態(tài)與最初c的態(tài)|ψ〉=α|?〉+β|?〉的關(guān)系是普適的，即不依賴于α和β。上列4個(gè)可能的態(tài)中，從上到下，第一個(gè)態(tài)就是|ψ〉，第二個(gè)態(tài)是將基矢態(tài)|?〉變?yōu)?|?〉，第三個(gè)態(tài)是將|?〉與|?〉互換，第四個(gè)態(tài)是將基矢態(tài)|?〉變?yōu)閨?〉，同時(shí)又將|?〉變?yōu)?|?〉(注意，這兩個(gè)改變是同一操作對(duì)于不同基矢態(tài)的效果)。

所以得知A的測(cè)量結(jié)果后，B只要對(duì)b作相應(yīng)的操作，總可以得到|ψ〉。具體來說，如果c和a的態(tài)成為|Φ+〉，b的態(tài)就是|ψ〉，不需要做任何操作；如果c和a的態(tài)成為|Φ-〉，那么對(duì)b做使得|?〉變?yōu)?|?〉的操作；如果c和a的態(tài)成為|Ψ+〉，那么對(duì)光子b做將|?〉與|?〉互換的操作；如果c和a的態(tài)成為|Ψ-〉，那么對(duì)b做將|?〉變?yōu)?|?〉，同時(shí)又將|?〉變?yōu)閨?〉的操作。這些操作可以通過光子b的動(dòng)力學(xué)演化實(shí)現(xiàn)。

這樣，就將量子態(tài)|ψ〉從光子c傳到了光子b上。注意：①光子本身沒有傳送，是量子態(tài)被傳送；②該量子態(tài)原來的載體光子c改載其他態(tài)，事實(shí)上它與光子a一起處于一個(gè)糾纏態(tài)；③經(jīng)典通信必不可少。最后一點(diǎn)容易被人忽略而造成誤解。

(2016年5月23日收稿)■

[1] BENNETT C H, BRASSARD G. Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing[C]//Proceeding of IEEE International Conference on Computers, Systems and Sigmal Processing, IEEE, New York, 1984.

[2] EINSTEIN A, PODOLSKY B, ROSEN N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? [J]. Phys Rev, 1935, 47: 777-780.

[3] SCHR?DINGER E. Die gegenw?rtige situation in der quantenmechanik [J]. Naturwissenschaften, 1935, 23: 807-812; 823-828; 844-849.

[4] BENNETT C H, BRASSARD G, CRéPEAU C, et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical EPR channels [J]. Phys Rev Lett, 1993, 70: 1895-1899.

(編輯：溫文)

Demystifying quantum cryptography, quantum entanglement and quantum teleportation

SHI Yu

Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China

Exemplifed by the polarized states of photons, we make a concise, accurate and easily comprehensible introduction to the concepts of quantum mechanics, quantum states, quantum cryptography, quantum entanglement and quantum teleportation. First, the fundamental ideas of quantum mechanics and the meaning of quantum states are introduced through the comparison with classical physics. Then the BB84 scheme of quantum key distribution in quantum cryptography is explained. Afterwards, the concept of quantum entanglement is introduced, with the emphasis that it does not violate the theory of relativity. On the basis of this, quantum teleportation is explained, with the necessity of classical communication in the process emphasized.

quantum mechanics, quantum state, quantum cryptography, quantum entanglement, quantum teleportation

10.3969/j.issn.0253-9608.2016.04.002

?通信作者，E-mail: yushi@fudan.edu.cn