☉甘肅省天水市第一中學　宮前長

“厘清”思路抓本質(zhì)“講究”邏輯煉能力——新課程“線面垂直”一課的教學思考及感悟

☉甘肅省天水市第一中學宮前長

高中數(shù)學課程標準實驗教科書《數(shù)學》（必修2）（人教A版）第二章第三節(jié)“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”，只要認真讀懂教材內(nèi)容所蘊含的空間位置關(guān)系“垂直”的核心概念，就會體現(xiàn)“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認識過程，通過具體實例，按照直觀感知、操作確認的數(shù)學探索方式得出線面垂直的判定定理，并用精確的語言表達，領(lǐng)悟線面垂直的基本數(shù)學模式及其蘊含的數(shù)學思想，力爭在探究中學習、學習中探究.

一、提出問題

“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”是“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”第一課時，線面垂直作為直線與平面相交的一種特殊情況，是繼線面平行后又一種反映自然規(guī)律（位置關(guān)系）的基本數(shù)學模型.新課標強調(diào)直觀感知、操作確認，概括出線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理為重點目標，以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和空間想象能力，體現(xiàn)線面垂直的“平面化”思想，以及將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題的“降維”思想蘊含其中，加強引導(dǎo)學生通過具體實例的觀察、動手操作等活動獲得數(shù)學結(jié)論的過程，形成一定的邏輯推理思維方式，提升學習力和探究能力.因此，如何進行準確定位線面垂直，把握“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”的教學是后續(xù)立體幾何學習的重要環(huán)節(jié).

二、研讀教材，厘清編排，理解教材

1.準確定位定向

“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”一節(jié)的主要教學內(nèi)容就是直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理.“新課標”明確指出：“對有關(guān)線面平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理進行證明；對相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認.”每一位數(shù)學教師對課標的理解基本都會準確定位定向，但線面垂直的性質(zhì)定理是在感知確認線面垂直的判定定理之后的進一步研究，其采取的方式方法可以多種多樣，只要依照學生的認知次序和教材編排的順序，并能夠突破“如何有意識地將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”這個難點，創(chuàng)設(shè)積極動腦、動手的課堂平臺，充分發(fā)揮學生的主體作用，強化直觀感知、操作確認等數(shù)學活動，讓學生真正體驗課堂重點和難點所在，激發(fā)學生解決問題的迫切期望.

2.厘清教材思路

對教材《數(shù)學》（必修2）（人教A版）第二章第三節(jié)認真研讀之后，教學設(shè)計明確重視“線面垂直”的證明方法：通過直線間的垂直來推證直線與平面垂直，即將直線與平面垂直關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間垂直關(guān)系（平面問題），再將證明線面垂直的問題化歸成數(shù)學模式.能夠靈活運用“平面化”、“降維”思想是解決問題的關(guān)鍵.

教材第65頁安排了一個“探究”實驗：通過折疊三角形紙片，探究在什么條件下，就能夠使折痕與桌面垂直.目的就是給學生直觀感知、動手操作，形成對垂直的感性認識，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，學會在直觀感知、操作確認的基礎(chǔ)上，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理.為此，通過學生的動手實驗，發(fā)現(xiàn)“折痕與桌面垂直的關(guān)鍵點時”，后面有意安排一個“思考”進行交流，充分給予學生探究的時間和空間，得出判定定理，體現(xiàn)出教材編寫專家的“良苦用心”.緊接著又安排了一個“探究”（邏輯思維推理）：“四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直時，A′C⊥B′D′.”進一步強調(diào)線面垂直的重要性，在教學時，不能忽視這些編排的微妙變化，應(yīng)該給予重視，才能更好地領(lǐng)悟到教材編排思路.

教材通過旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，讓學生經(jīng)歷、親歷這一些，感知直線與平面垂直的位置關(guān)系.順勢提出“一條直線與一個平面垂直的意義是什么？有哪些基本的要求？”的思考，進一步剖析旗桿與其所在地面的射影的位置關(guān)系引出直線與平面垂直的概念.這樣對線面垂直概念的本質(zhì)有清晰的認識、把握，為后續(xù)立體幾何的學習、研究做好扎實的鋪墊.

在立體幾何知識的深廣度上，教材內(nèi)容精煉、直觀，更注重知識的應(yīng)用；在內(nèi)容的編排上，對每個知識點劃分都很有邏輯性，以知識模塊出現(xiàn)及知識點環(huán)環(huán)相扣，讓學生對立體幾何知識現(xiàn)成整體性的認識；在例題、習題的配置、教材編排“觀察”“思考”“探究”等欄目（部分章節(jié)后設(shè)置了閱讀材料），目的就是培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.

3.確定教學重點

化歸思想是解決立體幾何問題的重要思想方法，能夠?qū)⒅本€與平面的垂直問題化歸為直線與直線的垂直問題，再由直線與直線的垂直來判定直線與平面的垂直.這充分體現(xiàn)了“平面化”、“降維”思想認識，牢牢抓住“一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直”是線面垂直證明的方向、目標，更是解題時必須尋找的策略方法，自然成為教學的重點.

根據(jù)教材、教參（配套的教師用書）點滴提示，線面垂直的證明必須在線線垂直的基礎(chǔ)上進行，符合學生的最近發(fā)展區(qū)的認知特征，再進一步地學習面面垂直的知識，這樣做既合情又合理，也能體現(xiàn)教材編排的“螺旋式上升”的理念，更符合學生在認知上“循序漸進”的規(guī)律.所以確定教學重點和難點：線面垂直的定義、判定定理探究策略和方法.而線面垂直的概念理解和其證明思路、策略的探究和具體操作方式是這一節(jié)課的關(guān)鍵.

4.關(guān)注理解“線面垂直”概念

垂直的基本特征是“形成的角為直角”，如何在課堂中讓學生關(guān)注并理解“平面內(nèi)兩條相交直線”來傳達、表示“形成的角為直角”的特征.線面垂直的定義明確給出：線面垂直的判定方法，凸顯出線面垂直概念中依附于“直線”的兩個特征：第一，直線條數(shù)——“平面內(nèi)任意一條”；第二，直線位置——“平面外直線垂直于平面內(nèi)的直線”，這兩個特征揭示了線面垂直概念的本質(zhì).在探究、學習中深刻體會平面內(nèi)的直線的位置和個數(shù)的“任意性”與“無數(shù)條”的關(guān)系，以及如何準確地表達線面垂直概念的結(jié)論.

對于“直線位置——垂直”的實際操作分為兩種情況：相交垂直（兩條相交直線所成的角為直角）和異面垂直（兩條異面直線所成的角為直角），說明“垂直”中蘊含著“平移性”的變化，此時一定注意：一條直線和平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直并不能說明該直線與平面垂直.引導(dǎo)學生通過操作模型來認識、理解和確認：一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，就會得到它與這個平面內(nèi)的平行于那條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直.

對于定義中的、詞“直線條數(shù)——任意”的理解：“任意”是針對“平面內(nèi)的直線”來說的，就是“所有直線”，有平面內(nèi)的直線的位置含義和平面內(nèi)直線的條數(shù)含義兩個方面，但“無數(shù)條”卻不具備平面內(nèi)直線的“任意性”特征.“任意”與“無數(shù)”蘊藏的含義相差太大，注意對比、區(qū)別和感悟即可.

平面內(nèi)的直線通過“任意”體現(xiàn)直線的“直線的位置關(guān)系”和“直線的條數(shù)”，以及“平面內(nèi)”的表征才能承載線面垂直概念的本質(zhì)屬性（關(guān)鍵：線不在多，相交則行），為后續(xù)的線面垂直的判定定理的理解、概括和表達提供了可操作性的處理策略，更為學生正確地理解和應(yīng)用線面垂直的判定定理來證明線面垂直做好了鋪墊，充分體現(xiàn)線面垂直是空間垂直的核心概念.

5.教學注意的幾個細節(jié)點

教材中設(shè)置的“旁白”、“旁注”是新課程教材的一個亮點，為師生的數(shù)學學習留下了更為廣闊的思考與拓展空間.如本節(jié)教材第64頁的“如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？”的“旁白”給學生提出問題，促使學生積極思考、交流、合作探究；第65頁的“定理體現(xiàn)了‘直線與平面垂直’與‘直線與直線垂直’互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想”的“旁注”為學生學習線面垂直、探究其數(shù)學本質(zhì)起到“畫龍點睛”之效，在教學中要處理好，教材第65頁的線面垂直的判定定理在后面的沒有匹配相應(yīng)的例題，需要補充例題.

例題教學的目的是要讓學生學會思考，但備課時力求把已有的結(jié)論轉(zhuǎn)化成學生的思維過程，極力變成學生“再發(fā)現(xiàn)”的過程，在學習過程中最大化地實現(xiàn)知識到能力的轉(zhuǎn)化，促進能力到智慧的生長.

三、整體把握，剖析目標，確定關(guān)鍵

筆者查閱教師教學用書，書中表明用3課時完成“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”的教學.基于前面的對教材的深刻鉆研和全方位的剖析，再結(jié)合教學時間分配用3課時，如何把握線面垂直這節(jié)課的教學？如何更好地通過“直觀感知，操作確認”的數(shù)學活動尋求解決線面垂直問題的思路、策略和方式方法.筆者認為，教師只有站在整章、模塊高度準確地把握教材設(shè)計意圖，并潛心地研讀教材，竭盡全力地深化理念和完善教學策略，才能更大增強數(shù)學概念的信心和勇氣.

1.深化理念，站在制高點提升能力

數(shù)學概念凝聚著人類從數(shù)、形兩方面認識自然、事物的思想精華，在教學時，深化新課標理念，從數(shù)學的發(fā)展、數(shù)學概念的形成、學生的認知等制高點視角進行審視，才能有效提升能力.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“高中數(shù)學課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學生理解數(shù)學概念逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法.”數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點和支撐點，是學生學習數(shù)學概念的認知基礎(chǔ)，是數(shù)學思維活動的核心.數(shù)學概念的學習是一種經(jīng)歷、體驗，進而通過深化，才有感悟！

理解線面垂直定義時，一定要強調(diào)：一條直線垂直于一個平面，是指這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線.任何利用直線和平面垂直的定義直接判定線面垂直，就要對平面內(nèi)的每一條直線進行考查，看是否與已知直線垂直，實際操作幾乎是不可能的（由于平面內(nèi)的直線有無數(shù)條），進一步促使學生思考用什么可以操作的方法判定線面垂直，此時的學生處于思維的“憤”“悱”狀態(tài)，最容易激起學生積極思考，探究在“平面內(nèi)至少有幾條直線”與已知直線垂直，而且“這些直線處于怎樣的位置”就可以通過判定直線與直線垂直來解決直線與平面垂直的問題.

2.“線面垂直”的認知、能力要求上的剖析

從知識的認知情境看，設(shè)置了問題的情境，注重從生活中（旗桿與地面、大橋橋柱與水面的位置關(guān)系）、具體操作（正方體或長方體的豎直棱與底面的位置關(guān)系）、數(shù)學研究（直線與平面垂直、數(shù)學符號表述證明過程）、再進一步上升到數(shù)學教育（垂直的理解），從直觀感知到抽象理解再到數(shù)學教育的方式引導(dǎo)學生學習直線與平面垂直的學習.

從知識的量化看，線面垂直的學習在《數(shù)學》（必修2）（人教A版）中作為重點，與其相關(guān)的結(jié)論、定理需要依靠直觀感知、操作確認歸納出來的，強化了合情推理意識，線面垂直的理解和應(yīng)用進一步的體現(xiàn)了“化歸”思想，在線線垂直（相交垂直、異面垂直）的不同認知中，很自然地由平面內(nèi)的線線垂直提升到空間線線垂直，培養(yǎng)了空間想象能力，有利于學生加深對線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理理解，更為后續(xù)的線面角、面面垂直以及二面角的學習做好了鋪墊.

從能力的立意與提升看，教材凸顯了觀察、操作、分析、探索、轉(zhuǎn)化、歸納能力，體現(xiàn)了生活中的垂直，到數(shù)學中的垂直的整體認識，體悟線面垂直中蘊含的化歸思想.線面垂直的判定定理的學習為學生打開知識之門（旗桿與底面的位置關(guān)系抽象出線面垂直問題）、開闊視野（從平面問題走向空間問題）、拓展思維（三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題處理）、強化數(shù)學意識（“平面化”“降維”策略）和提升能力（化歸策略的形成和邏輯推理能力的培養(yǎng)）.

3.細化深化新課標，宏觀把握教學

數(shù)學課堂教學目標是實現(xiàn)高效課堂的必要條件，也是衡量、檢測學生學習目標達成的一把尺子.課標“以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中的線面垂直的性質(zhì)與判定.”其中涉及的行為動詞水平有“認識”“理解”，備課時領(lǐng)會這些“關(guān)鍵詞”，能夠更好地對于程序性知識理解水平的檢測準確對應(yīng)和細化理解水平層次的把握，讓學生在符合認知規(guī)律的情況下明確學習要求和課程目標，增強學生的空間想象能力和幾何直觀能力.

將垂直問題放置在情境之中，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，尤其是如何說明線面垂直的策略方法使學生產(chǎn)生釋疑的強烈愿望，這時新舊知識的恰當聯(lián)系，既可構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，又可將新知識納入原有的認知結(jié)構(gòu)，使新舊知識結(jié)構(gòu)的重新構(gòu)建，有利于線面垂直概念的形成和相關(guān)結(jié)論的歸納與概括.

數(shù)學是思維能力訓(xùn)練的最好素材，理性精神的培養(yǎng)更需要數(shù)學的支持，數(shù)學課堂教學生學會思考顯得更為重要.怎樣教？要以知識為載體，以知識的發(fā)生、發(fā)展為線路，建構(gòu)具有邏輯順序的學習過程，深化理解數(shù)學概念，運用科學探究方法，尋找問題解決突破口，采用螺旋上升的方式提升學生對線面垂直的學習，讓探究線面垂直的方法、思路和操作過程“常態(tài)”化，實現(xiàn)數(shù)學育人的根本即著力發(fā)展學生思維.

4.教學預(yù)設(shè)線路的確定

通過運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決具體問題，培養(yǎng)學生的空間想象能力、判斷思維能力、邏輯推理能力，讓學生進一步理解、掌握直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，并能正確靈活地運用解決一些具體問題，激發(fā)學生學習數(shù)學的自信心和積極性，培養(yǎng)學生不斷發(fā)現(xiàn)，勇于探索新知的精神，提高觀察問題、分析問題的能力，增強學習上戰(zhàn)勝困難的勇氣.其教學預(yù)設(shè)線路圖如下：

創(chuàng)設(shè)情境：直觀感知（生活實例）——給出三個情境（生活、學習、數(shù)學），感受“線面垂直”中的“垂直位置”的狀態(tài)，理解“直線與平面垂直”中“已知直線與平面內(nèi)直線垂直時直線的任意性”；并要歸納、概況出“垂直”特征：線面垂直的“任意性（任意一條直線）”化歸為“有限性（只需在平面內(nèi)尋找兩條相交直線）”體現(xiàn)方式方法.

數(shù)學建構(gòu)：

（1）構(gòu)建垂直概念——通過經(jīng)歷情境的直觀感知，揭示線面垂直的定義本質(zhì).

（2）歸納、探究定理（判定定理、性質(zhì)定理）——經(jīng)歷“分析、探究”的活動，引導(dǎo)學生獨立自主地分析、思考如何線面垂直的“無限、任意”問題通過“有限”方式來說明和解決，揭示其數(shù)學本質(zhì)特征，歸納出線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

定理運用：鞏固定理——簡單運用（由課本例題+補充例題）——尋找證明線面垂直的方法；通過例習題處理，化歸線面垂直證明的數(shù)學模式（重點）：尋找平面內(nèi)的“兩條”“相交”直線都與已知直線“垂直”，“垂直”的方式典例有兩種：蘊含于特殊圖形（等腰三角形、直角三角形、菱形的對角線、長方形、正方形和其對角線）；凸顯于三角形三邊的數(shù)字關(guān)系（三角形的三邊勾股數(shù)，如3，4，5）.

回顧反思：深化定理——學生總結(jié)，學到什么知識？掌握了什么方法？拓展了哪些方面的視野？作業(yè).

5.關(guān)注動手實驗，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律

在教學過程中，極力讓學生主動探究、獲取、形成知識的過程.如何讓學生發(fā)現(xiàn)、理解線面垂直的判定定理是本節(jié)的重點.為了加深定理理解，讓學生進行實驗操作，可以設(shè)計一個三角形紙片讓學生做折紙實驗，目標是通過尋找如何折才能使折痕垂直于桌面，體會尋找折痕的過程中“怎樣折”“怎樣展開才能讓折痕垂直于桌面”的道理，自然就揭示了實驗的本質(zhì)和規(guī)律，達到了“垂直什么”然后才能“垂直桌面”的目標，其中設(shè)問要從學生的視角出發(fā)，重點放在如何巧妙地設(shè)置問題上，實驗讓學生理解了判定定理，將所學知識與已有知識聯(lián)系，并對新知識產(chǎn)生興趣，加深認同感，發(fā)掘?qū)W生的學習潛能和主動性，形成高效設(shè)問.

課題設(shè)計主要考慮學生的思維層次和知識層次，以及對教材編寫專家的意圖理解和所學知識點在整個高中數(shù)學中的地位與作用的系統(tǒng)掌握，再有意設(shè)置學生做一些高效的數(shù)學活動（主動探究、數(shù)學實驗等），注重細節(jié)、講究結(jié)構(gòu).

四、教學片斷回放

師：上述三個例題都是涉及“形”的視角來證明線面垂直的，其證明過程中最關(guān)鍵的是什么？哪位同學說一說？

生：線面垂直的證明關(guān)鍵是：線線垂直，其中所要尋找的“兩條相交直線在平面內(nèi)”，滿足與“已知直線都要垂直”，才能判定線面垂直.

師：下面看看一道補充題，是涉及“數(shù)”的視角來證明線面垂直的.

設(shè)計意圖：讓學生通過線面垂圖1直的定義、判定定理的學習，能夠借用“數(shù)—式”關(guān)系來體會判斷線線垂直，完成線面垂直的證明.

又因為CD∥BE，∠BED=90°，則四邊形BCDE為直角梯形BCDE，連接BD，由DE=BE=1，CD=2，∠CDE=∠BED=90°，得∠BDC=45°.在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°=2，所以BC=.又AC=，AB=2，得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC.又BC∩CD=C，從而AC⊥平面BCDE.

點評：學生只會從“形”的方面去尋找“線線”垂直，容易忽略從“數(shù)”的角度來判定線線垂直，該題拓展了對線線垂直的判定視野、打破了思維定式，有利于學生思維能力的發(fā)展和提升.

…

今天這節(jié)課，同學們學習了線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，掌握了線面垂直證明方法，要抓住“一、二、三”，即一個“關(guān)鍵核心”，兩個“尋找視角”，三個“作用導(dǎo)向”.線面垂直的關(guān)鍵是垂直關(guān)系.線面尋找的視角方法是：（1）“形”的視角有：兩條直線垂直（相交垂直、異面垂直），菱形的對角線、正方形和矩形中的垂直，直角三角形中的垂直等等；（2）“數(shù)”的視角有：勾股定理的逆定理和向量法判斷垂直.線面垂直的作用導(dǎo)向是：垂直平面內(nèi)的所有直線（證明線線垂直）、過垂線可以作出垂面（證明面面垂直）和為后續(xù)的空間距離、空間角的計算實質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化為線面垂直作為橋梁與解三角形來解決做好鋪墊.

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運用，尤其要注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.

五、教學感悟

教材是許多專家智慧的結(jié)晶，經(jīng)歷多次實踐、修改、再實踐和再修改日臻成熟.備課時認真研究教材，包括章頭言或章頭圖、閱讀材料、“觀察”“探究”和“思考”欄目、例題、習題、以及教材空白處的補充知識等成為教學的重要資源，揣測教材編排的真正用意，結(jié)合學生適時取舍為教學服務(wù)，真正做到“用教材教”.

1.講究邏輯，提升能力

數(shù)學思維能力是數(shù)學學習的核心，邏輯思維能力更是數(shù)學思維的根本.數(shù)學教學的本質(zhì)就是培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和理性精神.數(shù)學活動（直觀感知、具體操作、審題解題等）是為了更好地思考數(shù)學概念、理解數(shù)學概念.教學設(shè)計更要注意數(shù)學問題情境的創(chuàng)設(shè)，一定要基于學生的最近發(fā)展區(qū)，從學生的認知起點，符合學生認知的邏輯發(fā)展規(guī)律.

2.創(chuàng)設(shè)情境，強化思考

教師要能夠立足于學生的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)數(shù)學問題情境，才能夠促使學生積極思考，進一步深層次的思考、概括、歸納并提出好的數(shù)學問題（適時點撥學生，順勢引導(dǎo)學生從數(shù)學內(nèi)部提出數(shù)學問題），問題的提出是自然的，學生面對從生活實例中提出的數(shù)學問題，就會積極尋找解決問題的方法、策略，數(shù)學活動的情境有利于學生理解、思考數(shù)學概念，這樣有利于學生后續(xù)的數(shù)學學習，促進了學生的數(shù)學探究，發(fā)展了學生的思維能力.

認知心理學認為，數(shù)學學習是一種主體參與與情境而持續(xù)建構(gòu)的過程，學習是學生作為主體的親歷親為的數(shù)學活動，教師是引導(dǎo)者、促進者的角色.課堂教學是以數(shù)學思想方法為終極目標.簡單地說，數(shù)學思想方法是一種數(shù)學學習的意識和操作策略，常常用于對數(shù)學問題的認識與甄別、分析與處理，其中數(shù)學思想或隱或現(xiàn)地指導(dǎo)著數(shù)學思維活動.

3.厘清思路，促進思維

厘清數(shù)學思路，才能夠更好地解決“教什么”和“怎樣教”的問題，才能夠更好地關(guān)注“教什么”，讓數(shù)學概念的本質(zhì)、形成過程、數(shù)學思想方法及數(shù)學知識結(jié)構(gòu)在課堂教學中，得到充分的凸現(xiàn)和親歷.數(shù)學思維是生動的、活潑的數(shù)學策略創(chuàng)造和數(shù)學操作方式，合情推理（直覺、歸納、類比聯(lián)想等）和演繹推理（推理有據(jù)、邏輯嚴謹?shù)龋┦撬季S的兩種表現(xiàn)方法.數(shù)學概念是從直觀到形式的歸納、概括等過程，需要教師讓學生充分體驗概念的形成過程.

在新課程改革下，從數(shù)學學科特點出發(fā)，要能夠?qū)滩牡膬?nèi)容、編排的順序和教學方法進行適當?shù)恼{(diào)整，多思考創(chuàng)設(shè)怎樣的情境讓數(shù)學理解在學生的心靈深處發(fā)生，恰當?shù)刈プW生，形成“憤”和“悱”的情境，讓學生很自然“厘清”數(shù)學整體思路，設(shè)計出富有個性化特色的教學方案，讓學生掌握數(shù)學知識的同時“講究”數(shù)學邏輯結(jié)構(gòu)，積極營造數(shù)學思考的氛圍，學會數(shù)學地思考，在思考中提升思維能力，進一步激發(fā)學生積極動腦，提升學生發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力，讓學生不斷地增強自信和增長智慧.

認真“備課”“理清”思路，“講究”邏輯培養(yǎng)能力是一種教的態(tài)度，更是一種學的態(tài)度.數(shù)學概念的教與學是一種經(jīng)歷、體驗，更是一種數(shù)學理解的感悟、升華！

1.宮前長.讓位學生思考踐行新課理念［J］.中學教研（數(shù)學），2012（3）.

2.宮前長.新課程古典概型教學：困惑、解惑與感悟［J］.中學數(shù)學（上），2014（5）.Y