☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)　梅　磊

關(guān)于冪函數(shù)教學(xué)的思考

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)梅磊

冪函數(shù)這部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可謂是波折較多，傳統(tǒng)教材對(duì)這一塊要求較高，但過(guò)渡教材刪除了這一部分內(nèi)容，新課標(biāo)教材又重新增加了這一節(jié)內(nèi)容，而上海高中數(shù)學(xué)教材一直有這一部分內(nèi)容.單從這個(gè)變化過(guò)程也體現(xiàn)了冪函數(shù)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位是不可或缺的，也是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)不可替代的.

《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂本）》要求：使學(xué)生掌握冪函數(shù)的概念及其圖像、性質(zhì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》建議：通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，的圖像，了解它們的變化情況.利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異.結(jié)合實(shí)例體會(huì)不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》指出：知道冪函數(shù)的概念，以及所研究的冪函數(shù)的冪指數(shù)以簡(jiǎn)單的冪函數(shù)為例，研究它們的性質(zhì)，體驗(yàn)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程和方法.

新課標(biāo)教材只講5個(gè)具體冪函數(shù)性質(zhì)，給人一種只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林的感覺(jué)，使得本來(lái)可以整理成的體系支離破碎，給學(xué)生以盲人摸象的感覺(jué)，不利于學(xué)生的知識(shí)體系、方法體系的形成和發(fā)展，而且嚴(yán)重缺乏“數(shù)學(xué)味”.

新課程改革實(shí)施后，有些內(nèi)容作了一些形式上的淡化，其目的是便于學(xué)生的理解和掌握.但學(xué)生若沒(méi)有弄清內(nèi)涵，反而影響了其對(duì)基本內(nèi)容的理解，所以淡化形式不能淡化內(nèi)涵.

人教A版教材在必修1第二章小結(jié)中提出：討論一類函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)際上就是探究這類函數(shù)有哪些共同的特征.你能根據(jù)這樣的思想，結(jié)合函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，的圖像，討論一下冪函數(shù)y=xα（α∈R）的基本性質(zhì)嗎？

筆者認(rèn)為僅結(jié)合函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，的圖像，不易得出冪函數(shù)y=xα（α∈R）的基本性質(zhì).

而函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，只含上述5種情況.

好在是人教A版教材有下列兩道習(xí)題，又增加了兩種情況：

第二章復(fù)習(xí)參考題A組第10題：已知冪函數(shù)y=f（x）的圖像過(guò)點(diǎn)試求出此函數(shù)的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調(diào)性.（隱含冪函數(shù)

既便如此，仍然不易得出冪函數(shù)y=xα（α∈R）的基本性質(zhì)，筆者認(rèn)為最好再補(bǔ)充人教B版教材的一道例題和兩道習(xí)題.

因此本人通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)直板PBL連接件進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，提出了一種新型PBL連接件——波形PBL連接件，如圖2所示.同時(shí)本文僅對(duì)貫穿鋼筋在波形PBL連接件中的影響進(jìn)行研究.

特別要指出的是人教B版教材§3.3冪函數(shù)例2是一個(gè)很好的例題，先分析函數(shù)的定義域和奇偶性，再作出其圖像，最后得到單調(diào)性.

人教A版教材試圖強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)，先作圖，再觀察，再總結(jié).這不適合我們平時(shí)所講的函數(shù)研究的方法，如果學(xué)生對(duì)所給函數(shù)一無(wú)所知，他們?cè)趺疵椟c(diǎn)作圖呢？顯然是通過(guò)函數(shù)解析式特點(diǎn)，定義域、單調(diào)性、奇偶性等代數(shù)方法解決一些性質(zhì)作研究，為描點(diǎn)作圖作準(zhǔn)備，再描點(diǎn)作圖，從圖像上更直觀、更全面地了解和把握函數(shù)性質(zhì)，因此函數(shù)圖像及各方面性質(zhì)本是一個(gè)相互促進(jìn)、互動(dòng)的過(guò)程，尤其面對(duì)一個(gè)新函數(shù)，應(yīng)當(dāng)先了解諸如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題后，再來(lái)作其圖像進(jìn)一步研究.

在補(bǔ)充了上述例題和習(xí)題后，我們就可以得出冪函數(shù)y=xα（α∈Q）的基本性質(zhì).

首先通過(guò)學(xué)生的討論明確冪函數(shù)的概念，形如y=xα（α∈R）的函數(shù)，稱為冪函數(shù).高中階段我們只學(xué)習(xí)α為有理數(shù)的情況.

然后是冪函數(shù)圖像的教學(xué)，應(yīng)該通過(guò)冪函數(shù)的概念明確所有的冪函數(shù)在第一象限均有圖像，我們的重中之重是了解冪函數(shù)在第一象限的圖像，然后根據(jù)奇偶性判定在其他象限的情況，如奇函數(shù)除第一象限外再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱在第三象限找，偶函數(shù)再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱在第二象限找，非奇非偶的就只有第一象限了，另外所有冪函數(shù)在第四象限均無(wú)圖像.找好分界點(diǎn)，有利于了解冪函數(shù)y=xα（α∈Q）在第一象限內(nèi)的基本性質(zhì)：

（1）當(dāng)α<0時(shí)，這一類冪函數(shù)的代表是y=x－1，它的圖像在第一象限是單調(diào)遞減且下凸的；

（2）當(dāng)α=0時(shí)，這個(gè)冪函數(shù)就是y=x0，它的圖像是一條水平的直線（去掉與y軸的交點(diǎn)），在第一象限就是水平射線；

（4）當(dāng)α=1時(shí)，這個(gè)冪函數(shù)就是我們熟悉的y=x，一條遞增的直線，也就是第一、三象限的角平分線，它的圖像在第一象限是遞增直線；

（5）當(dāng)α>1時(shí)，這一類冪函數(shù)的代表是y=x2，我們所熟悉的拋物線，它在第一象限是遞增且下凸的.

了解了這五類冪函數(shù)的圖像在第一象限的情況，也就了解了所有冪函數(shù)的圖像在第一象限的情況，再根據(jù)奇偶性即可判斷有關(guān)冪函數(shù)的圖像在其他象限的情況.

再如，研究函數(shù)y=x3的圖像，首先明確它的冪指數(shù)是屬于第五類，在第一象限是下凸的（根據(jù)課本結(jié)論過(guò)原點(diǎn)及（1，1）），很容易畫(huà)出其在第一象限的草圖，再根據(jù)所學(xué)冪的知識(shí)判斷它為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，把圖像在第三象限的部分補(bǔ)全就可以了.

當(dāng)然若函數(shù)非奇非偶，那么其圖像也就只有第一象限了.

講了這些，學(xué)生很容易自己了解這個(gè)程序，拿到一個(gè)冪函數(shù)后，首先根據(jù)分類找到第一象限的情況，然后判斷奇偶性，把圖像補(bǔ)全.此外，讓學(xué)生多畫(huà)幾個(gè)冪函數(shù)的圖像也不難發(fā)現(xiàn)隨著冪指數(shù)的變化，冪函數(shù)的圖像在第一象限是有規(guī)律的.

實(shí)際上，冪函數(shù)只要突破了圖像這一關(guān)，性質(zhì)也就自然很簡(jiǎn)單了，因?yàn)楫?huà)圖像的過(guò)程已經(jīng)分析了一些性質(zhì)，其他性質(zhì)通過(guò)圖像也不難得到.

以上筆者對(duì)冪函數(shù)教學(xué)作了一些思考和探討.筆者的思考也許是幼稚的，認(rèn)識(shí)也許是膚淺的，但總可以拋磚引玉，供方家批評(píng)指正.

1.中華人民共和國(guó)教育部.全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂本）［M］.北京：人民教育出版社，1990.

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3.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

4.劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)A版·數(shù)學(xué)1（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

5.高存明.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)B(niǎo)版·數(shù)學(xué)1（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

6.上海市教育委員會(huì).上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）［M］.上海：上海教育出版社，2004.

7.袁震東.高級(jí)中學(xué)課本（試用本）·數(shù)學(xué)·高中一年級(jí)第一學(xué)期［M］.上海：上海教育出版社，2006.

8.雒金水.概念引入自然性質(zhì)研究清楚——對(duì)一節(jié)《冪函數(shù)》課的幾點(diǎn)拙見(jiàn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（6）.

9.楊春波.11張圖教你看透冪函數(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（12）.