唐艷

（深圳技師學(xué)院 國際商務(wù)系，廣東 深圳 518000）

需求對價(jià)格敏感情況下的庫存控制與定價(jià)研究

唐艷

（深圳技師學(xué)院 國際商務(wù)系，廣東 深圳 518000）

用價(jià)格來引導(dǎo)需求是當(dāng)前較多企業(yè)的經(jīng)營策略，庫存管理和定價(jià)成為該策略中的重要問題，在借鑒已有研究的基礎(chǔ)上對該問題進(jìn)行了理論研究。在單品種、需求函數(shù)為價(jià)格的二階可導(dǎo)遞減凹函數(shù)、可提前訂貨的假設(shè)下建立了動態(tài)規(guī)劃模型，從理論上證明了在假設(shè)前提下最優(yōu)定價(jià)策略的存在性以及在該價(jià)格策略下的補(bǔ)庫策略。

庫存控制；定價(jià)；需求隨價(jià)格可變

1 引言

庫存控制是企業(yè)經(jīng)營的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，過高的庫存可能導(dǎo)致產(chǎn)品的積壓，過低的庫存又可能導(dǎo)致缺貨，而傳統(tǒng)的EOQ模型適合在假設(shè)需求穩(wěn)定的情況下進(jìn)行該問題的研究。但是，商業(yè)環(huán)境在不斷變化，特別在當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)購物環(huán)境大背景下，網(wǎng)商為了刺激需求，相互之間的價(jià)格戰(zhàn)是家常便飯，京東商場、淘寶、天貓每年的雙十一的血拼讓人記憶猶新，價(jià)格戰(zhàn)顯然是為了刺激需求，這也反映出價(jià)格的變化對需求有著明顯的影響，在這種情況下需求不再是穩(wěn)定的，而是可以通過價(jià)格進(jìn)行調(diào)節(jié)，這便使得企業(yè)面臨價(jià)格引導(dǎo)需求情況下的庫存控制問題。同時(shí)，可以提前訂貨也是大部分企業(yè)能夠做到的，而現(xiàn)在的問題是如何定價(jià)以引導(dǎo)需求才能使企業(yè)在綜合考慮庫存控制情況下使得企業(yè)整體收益最大。本文試圖通過建立數(shù)學(xué)模型來從理論上探討這樣一個(gè)問題：在結(jié)合已有的理論分析基礎(chǔ)上，在需求為價(jià)格敏感且允許顧客提前訂貨的情況下，企業(yè)該如何做好庫存控制以及是否存在最優(yōu)定價(jià)，使企業(yè)整體利潤最大化。

2 文獻(xiàn)綜述

Whitin在1955年對價(jià)格引導(dǎo)需求情況下的單周期庫存管理問題進(jìn)行了研究，其研究在EOQ模型的基礎(chǔ)上假設(shè)需求為價(jià)格的單調(diào)遞減線性函數(shù)，在該假設(shè)情況下得到了最優(yōu)價(jià)格以及在該價(jià)格下的最優(yōu)訂貨量，Whitin同時(shí)還研究了需求為價(jià)格可變并帶有一定隨機(jī)性的庫存管理問題，在假設(shè)需求為價(jià)格的線性函數(shù)的情況下引入服從U(0，2)的隨機(jī)變量并得出了相應(yīng)的結(jié)論。Howard Kunreuther和Jean Francois Richard在1971年也對需求為價(jià)格函數(shù)的單周期庫存管理問題進(jìn)行了研究，其研究得到的結(jié)論是在價(jià)格影響需求的假設(shè)下，企業(yè)將價(jià)格與庫存綜合考慮進(jìn)行決策將獲得更高的利潤。Wagner和Whitin在1958年對該問題的多周期問題進(jìn)行了研究，通過建立動態(tài)規(guī)劃模型討論了需求為價(jià)格函數(shù)情況下的定價(jià)及庫存控制問題。Bhattacharjee和Ramesh在2000年也對該問題進(jìn)行了研究，并研究了該問題的啟發(fā)式算法。Federgruen和Heching在2002年研究了需求隨價(jià)格可變并帶有一定隨機(jī)性情況下的庫存管理問題，假設(shè)可延遲交付、庫存費(fèi)用或缺貨費(fèi)用為凸函數(shù)、單周期庫存費(fèi)用為價(jià)格和庫存水平的聯(lián)合凹函數(shù)。假設(shè)需求為價(jià)格的函數(shù)，但允許顧客提前訂貨并通過遠(yuǎn)期定價(jià)來增加需求的確定性，該假設(shè)更接近于當(dāng)前的交易環(huán)境，Sumit Kunnumkal和Huseyin Topaloglu在2008年對該問題進(jìn)行了研究。

3 模型建立及相關(guān)結(jié)論的證明

3.1 模型假設(shè)

（1）經(jīng)銷商只經(jīng)營一種貨物，允許顧客提前訂貨，每周期進(jìn)行庫存盤點(diǎn)并在周期初決策下一周期的訂貨量以及未來若干周期的價(jià)格。

（2）需求為價(jià)格的函數(shù)，該函數(shù)滿足：單調(diào)遞減、二階可導(dǎo)凹函數(shù)，需求函數(shù)受到的外界隨機(jī)擾動期望值為零。

（3）庫存費(fèi)用及缺貨費(fèi)用為每周期末庫存的凸函數(shù)。

3.2 模型建立及相關(guān)結(jié)論與證明

設(shè)在第t周期初，需要確定未來N周期的價(jià)格，設(shè)訂購在s周期交付貨物的價(jià)格為在該價(jià)格下，設(shè)需求函數(shù)為根據(jù)假設(shè)2，xt(pt,s)為二階可導(dǎo)凹函數(shù)，且Eε=0。

選取該院療養(yǎng)的2 000例糖尿病療養(yǎng)員作為研究對象，其中男1 325例，女 675例，年齡 40～78歲，平均(59.73±8.49)歲，病程 3～20 年，平均(11.65±3.86)歲；以同期在我院接受健康體檢的500名健康人群作為健康對照組，其中男316名，女184名，年齡41～80歲，平均(60.36±8.72)歲；兩組受檢者在性別分布、年齡等一般資料方面差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P＞0.05)，具有可比性。

在第t周期初已知的s周期的總需求為：Ds,t=在確定價(jià)格為pt,s后，又會產(chǎn)生新的需求

設(shè)供應(yīng)商訂貨提前期為L，當(dāng)前庫存為it，延期交貨量為Yt，補(bǔ)貨量為Bt，在t到t+L周期內(nèi)，補(bǔ)庫前的總庫存為補(bǔ)庫后庫存為It，則：

在t到t+L周期內(nèi)的需求為補(bǔ)庫前庫存為補(bǔ)庫后庫存為It=I1t+Bt=

在t周期初，提前期外各周期需求為向量：設(shè)N＞L+1。

在t周期初，需要做出的決策是：當(dāng)前周期的補(bǔ)貨量Bt以及s周期交付所對應(yīng)的訂貨價(jià)格pt,s（其中s=t,t+1,…,t+N）。所面對的狀態(tài)變量是和Dt。狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

在第t周期，庫存費(fèi)用或缺貨費(fèi)用設(shè)為Ht(It,pt)=其中ht為凸函數(shù)且也既有同時(shí)假設(shè)費(fèi)用函數(shù)為多項(xiàng)式有界函數(shù)。即：存在整數(shù)α，使得：

設(shè)每次訂貨的固定費(fèi)用為Gt，單位訂貨費(fèi)用為Ct，由此，可以計(jì)算在周期t內(nèi)的收益函數(shù)為

證明如下：

以下建立動態(tài)規(guī)劃模型：

設(shè)在t階段狀態(tài)變量為從t階段到T階段的最大期望收益為則可得動態(tài)規(guī)劃模型為：

對該動態(tài)規(guī)劃模型，可證明如下結(jié)論：

（2）對?t，有且存在最大值點(diǎn)。

采用歸納法來證明。證明如下：

對（1）的證明：t=T時(shí)，有由結(jié)論一，Kt為關(guān)于It和pt的聯(lián)合凹函數(shù)，所以為關(guān)于的單調(diào)遞減凹函數(shù)。假設(shè)在t周期結(jié)論成立，則在t-1周期時(shí)，由其中為關(guān)于和的聯(lián)合凹函數(shù)，由假設(shè)為關(guān)于的單調(diào)遞減凹函數(shù)為關(guān)于和的聯(lián)合凸函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以為關(guān)于和的聯(lián)合凹函數(shù)，再回到前述等式，容易知道原結(jié)論成立。

對（2）的證明：t=T時(shí)，有由假設(shè)費(fèi)用函數(shù)為多項(xiàng)式有界函數(shù)。即：存在整數(shù)α，使得：由前述證明，KT為凹函數(shù)，且所以KT存在最大值點(diǎn)，設(shè)為由有

設(shè)在t周期結(jié)論成立，即存在最大值點(diǎn)且Zt和Kt都為關(guān)于IT和有界。則在t-1周期，由（1）有即存在常數(shù)U＞0,使得因?yàn)楣视校?/p>

即有：

由此，可以得出如下結(jié)論：

在t周期初，在需求為Dt的狀態(tài)下，存在最大值點(diǎn)當(dāng)補(bǔ)庫至當(dāng)無需補(bǔ)庫。具體證明如下：

對周期t，由為凹函數(shù)且存在最大值點(diǎn)則對任意需求Dt，由為凹函數(shù)，且故存在最大值點(diǎn)，記為：所以，當(dāng)時(shí)為最優(yōu)決策，即補(bǔ)充庫存至且最優(yōu)定價(jià)為當(dāng)時(shí)，最優(yōu)策略為不補(bǔ)庫，即

4 結(jié)束語

針對需求對價(jià)格敏感的庫存控制與定價(jià)問題，本文建立了動態(tài)規(guī)劃模型來進(jìn)行研究，在假設(shè)前提下證明了最優(yōu)價(jià)格策略的存在性以及相應(yīng)的補(bǔ)貨策略。當(dāng)然，相關(guān)討論還可以繼續(xù)深入，比如本文沒有考慮固定費(fèi)用，也相當(dāng)于假設(shè)固定費(fèi)用為零，固定費(fèi)用可以在后續(xù)研究中加入，本文中的一些假設(shè)也可以進(jìn)一步放寬，從而更進(jìn)一步的符合實(shí)際情況。這些都可以在后續(xù)研究中繼續(xù)討論。

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Study on Inventory Control and Pricing with Price-sensitive Demand

Tang Yan
(Department of International Business,Shenzhen Institute of Technology,Shenzhen 518000,China)

In this paper,based on previous studies,we analyzed theoretically the inventory management and pricing in enterprise operation strategy,built the dynamic programming model on the premises of single product,the demand being a secondary derivable decreasing concave function of price,and advance order allowed,and proved theoretically the existence of an optimal pricing strategy against such premises as well as the corresponding replenishment strategy for it.

inventory control;pricing;demand varying with price

O227;F253

A

1005-152X(2016)12-0101-03

10.3969/j.issn.1005-152X.2016.12.024

2016-10-24

唐艷（1983-），女，華東交通大學(xué)物流工程碩士，深圳技師學(xué)院講師，研究方向：供應(yīng)鏈管理、物流與營銷專業(yè)教學(xué)。