三種坐標轉(zhuǎn)換模型的比較

宋世澤,鄭勇,王鼎蔚

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001;2.北斗導航應用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,鄭州 450001)

三種坐標轉(zhuǎn)換模型的比較

宋世澤1,2,鄭勇1,2,王鼎蔚1,2

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001;2.北斗導航應用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,鄭州 450001)

本文分別用羅德里格參數(shù)、歐拉角、四元數(shù)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣,進行坐標轉(zhuǎn)換,然后做出比較。文章對三種模型的誤差和效率都作出了實驗分析,結(jié)果表明,在沒有較好的初值情況下,羅德里格和四元數(shù)模型效率較高,但歐拉角和羅德里格模型的精度較高。因此,在沒有初值的情況下,建議優(yōu)先選取羅德里格模型。

羅德里格參數(shù);歐拉角;四元數(shù);坐標轉(zhuǎn)換

0 引 言

在大地測量、攝影測量、和工程測量等應用中,經(jīng)常用到坐標轉(zhuǎn)換,這就需要解算坐標轉(zhuǎn)換模型中的未知參數(shù),其中關(guān)鍵的部分是解算構(gòu)成旋轉(zhuǎn)矩陣的未知參數(shù)。

有多種方法可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣,常用的三種方法為羅德里格參數(shù)、歐拉角和四元數(shù)法。這三種方法都有各自的特點。羅德里格參數(shù)法可以計算出較為精確的初始值,并且最后得到的誤差方程形式較為簡單,因此,比較適合用在相機檢校上,文獻[3-6]均利用羅德里格參數(shù)克服了相機檢校中旋轉(zhuǎn)矩陣的初始值不易獲取的問題。在有些應用領(lǐng)域,由于旋轉(zhuǎn)角直接給出,因此選用歐拉角構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣更為簡單,例如在視頻全站儀測量中,旋轉(zhuǎn)角由全站儀精密測定,文獻[7-12]對此做了詳細闡述。四元數(shù)法具有直觀的物理意義,它是將空間某個基準坐標系繞一個向量僅僅做一次旋轉(zhuǎn)就可旋轉(zhuǎn)到目標坐標系,與羅德里格矩陣一樣,如果知道兩個坐標系下的3個以上公共點,就可以求解較準確的旋轉(zhuǎn)矩陣的初始值,文獻[15-17]給出了詳細闡述。

根據(jù)上述三種模型的各自的特點,應根據(jù)不同的工程應用背景,選擇合適的模型?，F(xiàn)有文獻大多從大角度旋轉(zhuǎn)角初始值不易獲取,而選用羅德里格參數(shù)或者四元數(shù)法,但對于某些旋轉(zhuǎn)角已知的情況,如視頻全站儀,選用歐拉角模型是合適的。因此,單純從初始值是否容易獲取的角度比較三種模型是不合適的。

本文采用同一實測數(shù)據(jù),使用一半數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)進行坐標轉(zhuǎn)換,另一半數(shù)據(jù)作為檢核,對比參數(shù)解算的結(jié)果及各自的精度。

1 三維坐標轉(zhuǎn)換模型

1.1 羅德里格參數(shù)

模型中共有7個參數(shù):3個平移參數(shù),3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個尺度因子。其中,3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣中的9個相關(guān)的元素。通過羅德里格參數(shù)構(gòu)造反對稱矩陣,從而轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)矩陣[2]。

文獻[3]給出了采用羅德里格矩陣進行坐標轉(zhuǎn)換的方法:所有旋轉(zhuǎn)矩陣R,均可由反對稱矩陣Q和單位矩陣I表示,即:

R=(I+Q)(I-Q)-1,

(1)

其中

式中，(a,b,c)即為羅德里格參數(shù),用以構(gòu)造羅德里格矩陣。

Sh+S0=λ·R·SC,

(2)

令

(3)

式(1)變?yōu)?/p>

S=λ·R·SC.

Q矩陣有如下性質(zhì):

(I+Q)(I-Q)=(I-Q)(I+Q),

兩邊同乘以(I-Q)-1得

(I-Q)-1(I+Q)=(I+Q)(I-Q)-1=R,

(4)

代入式(3)得

(I-Q)S=λ·(I+Q)SC,

(5)

將上式展開后整理得

(6)

構(gòu)建誤差方程

(7)

線性化得

(8)

將誤差方程寫成矩陣形式

(9)

未知參數(shù)的改正數(shù)為

(10)

單位權(quán)中誤差

(11)

未知參數(shù)的精度估計公式為

(12)

1.2 歐拉角

模型中共有7個參數(shù):3個平移參數(shù),3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個尺度因子。其中,3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)就是三個歐拉角,可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣中的9個方向余弦。

記

R中的各個元素是由三個歐拉角φ、ω、κ構(gòu)成的方向余弦,本文選擇的旋轉(zhuǎn)軸順序為[4]

1) 繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)(逆著Y軸正方向看)φ角;

2) 繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)(逆著X軸正方向看)ω角;

3) 繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)(逆著Z軸正方向看)κ角;

R與三個歐拉角φ、ω、κ的關(guān)系式為

a1=cosφcosκ-sinφsinωsinκ,

a2=-cosφsinκ-sinφsinωcosκ,

a3=-sinφcosω,

b1=cosωsinκ,

b2=cosωcosκ,

b3=-sinω,

c1=sinφcosκ+cosφsinωsinκ,

c2=-sinφsinκ+cosφsinωcosκ,

c3=cosφcosω.

同式(2)、式(3),坐標轉(zhuǎn)換公式為

S=λ·R·SC

將誤差方程線性化后得

(13)

參數(shù)估計、精度估計以及單位權(quán)中誤差公式為1.1節(jié)式(10)～式(12)。

1.3 四元數(shù)

模型中共有8個參數(shù):3個平移參數(shù),4個相關(guān)的旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個尺度因子,其中,4個旋轉(zhuǎn)參數(shù)就是四元數(shù)。

由四元數(shù)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣為[5-6]

將上式代入式(3)并構(gòu)建誤差方程

(14)

參數(shù)估計、精度估計以由式(10)、式(12),單位權(quán)中誤差公式為

(15)

2 數(shù)據(jù)處理

2.1 參數(shù)解算

本文的數(shù)據(jù)由徠卡TS50i圖像全站儀測得的370顆模擬星點,測量時間分別于2015年9月12日和2015年1月19日,采用雙讀數(shù)雙照準,角度互差小于5″,距離互差小于0.1mm．采用其中185顆星點作為公共點進行坐標轉(zhuǎn)換,另外185顆星點作檢核。表1示出了三種模型的解算的參數(shù)結(jié)果，圖1、圖2、圖3分別對應三種模型的三維坐標殘差圖。

表1 三種模型得到的尺度因子和平移參數(shù)

圖1 羅德里格參數(shù)模型殘差圖

圖2 歐拉角模型殘差圖

圖3 四元數(shù)模型殘差圖

2.2 誤差分析

本文主要討論坐標轉(zhuǎn)換模型帶來的偶然誤差和系統(tǒng)誤差。

由于坐標轉(zhuǎn)換模型使用的是相同的數(shù)據(jù),因此殘差的離散度可以說明模型帶來的偶然誤差的大小。

將殘差帶入下式:

(16)

得到三種模型的三維坐標均方根誤差是一樣的:

m(x)=0.54mm; m(y)=0. 57mm;

m(z)=0. 50mm.

這說明三種模型引起的偶然誤差是一致的,這個結(jié)論和模型對應的殘差圖1～圖3是一致的。

此外,模型還有可能引起系統(tǒng)誤差,精度評價公式為

(17)

計算結(jié)果如表2所示

表2 三種模型對應的精度結(jié)果

從表2可以看出,羅德里格和歐拉角轉(zhuǎn)換模型轉(zhuǎn)換精度相等,說明這兩種模型不會引起系統(tǒng)誤差。很明顯,四元數(shù)模型含有系統(tǒng)誤差。

將圖3和圖1，圖2做比較,可以看出四元數(shù)模型x、y、z方向上的殘差有一個系統(tǒng)誤差。這與表2得出的結(jié)論是一致的。

2.3 效率分析

三種模型都需要經(jīng)過迭代才能計算出精確的結(jié)果,表3給出了三種模型各自的迭代次數(shù)。

表3 三種模型的迭代次數(shù)

表3說明,羅德里格模型效率較高,四元數(shù)次之,歐拉角最低。這主要是由初值的精確程度決定的,羅德里格和四元數(shù)模型都能得到較為精確的初始值。

3 結(jié)束語

綜上分析，從解算精度分析,歐拉角和羅德里格模型精度較高,帶來偶然誤差和系統(tǒng)誤差較小,而四元數(shù)模型帶來系統(tǒng)誤差較大,這主要是由于參數(shù)之間的相關(guān)性引起的; 從效率上分析,在初始值不能事先給出的情況下,由于羅德里格容易獲得較為準確的初值,因此效率較高。

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The Comparison of Three Kinds of Coordinate Transformation Model

SONG Shize1，2,ZHENG Yong1，2,WANG Dingwei1，2

(1.InstituteofNavigationandAerospaceTarget,UniversityofInformationEngineering,Zhengzhou450001,China;2.BeidouNavigationTechnologyCollaborativeInnovationCenterofHenan,Zhengzhou450001,China)

This paper structures rotation matrix for coordinate transformation,respectively with rodrigo parameters, Euler angle, quaternion. And then make a comparison, the experimental results show that the precision of the three kinds of transformation model is consistent. Among them, the euler Angle model is simple to understand, but not simple to obtain relatively accurate initial value; because of more parameters, Quaternion model unfavorablely leads to convergence; Rodrigo parameter model can overcome the disadvantages of the two models above.

Rodrigo parameters; Euler angle; Quaternions; coordinate transformation

2016-09-10

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.06.022

P228.4

1008-9268(2016)06-0110-05

宋世澤(1988-),男,河南焦作人,碩士生,從事大地測量、天文測量等應用。

鄭勇(1963-),男,福建長樂人,教授,博導,從事大地測量、天文測量等。

王鼎蔚(1993-),男,河南許昌人,碩士生,從事大地測量、天文測量等。

聯(lián)系人：宋世澤 E-mail: 1598697583@qq.com