唐艷敏

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453007)

數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

唐艷敏

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453007)

數(shù)學(xué)歸納法作為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種十分重要的思想方法常被應(yīng)用于證明某個(gè)給定的數(shù)學(xué)命題在整個(gè)自然數(shù)范圍內(nèi)成立,它主要是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中利用對(duì)事例有限次的假設(shè)，證明來(lái)替代對(duì)事例進(jìn)行的無(wú)限次論證,進(jìn)而使命題能夠得到嚴(yán)格的證明。本文闡述由數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證命題成立的一般步驟,并用具體實(shí)例來(lái)詳細(xì)的闡訴數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,并對(duì)其作用、重要性及應(yīng)用所需注意事項(xiàng)進(jìn)行總結(jié)。

1 用數(shù)學(xué)歸納法證明題目的一般步驟

數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于在實(shí)際的課堂中指導(dǎo)中學(xué)生更加容易的學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)十分有用。它首先通過(guò)直觀的導(dǎo)入方式,使同學(xué)們?cè)诟泄俜矫鎸?duì)它有一個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí),再通過(guò)后期對(duì)他們的指導(dǎo)培養(yǎng),使他們逐漸形成一個(gè)有條理的、完善的數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。在課堂上,通過(guò)具體實(shí)例論證使其獲得與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的感性材料,從而就有了對(duì)其初步的感性認(rèn)識(shí)。在這樣的基礎(chǔ)上,我們就能夠把數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)概念和具體證題步驟更加直觀的呈現(xiàn)在同學(xué)們面前。

1.1 第一數(shù)學(xué)歸納法

如果某一個(gè)命題Fn是和自然數(shù)n有關(guān)系的,若(1)命題Fn在n=1時(shí)成立；(2)假定命題Fn在n=k(k∈N )時(shí)成立,則可以驗(yàn)證出命題Fn對(duì)于k+1也是成立的,那么命題Fn對(duì)于所有自然數(shù)n都是成立的[1]。

1.2 第二數(shù)學(xué)歸納法

如果某一個(gè)命題Fn是和自然數(shù)n有關(guān)系的,若(1) 命題Fn在n=1時(shí)成立；(2)假定當(dāng)1≤n≤k時(shí),Fn都是成立的,則(3)當(dāng)n=k+1時(shí),Fn對(duì)于k+1也是成立的,那么有,對(duì)一切的自然數(shù)n,都有Fn成立[2]。

其實(shí),我們從上面給出的概念很容易看出來(lái)這兩種歸納法其實(shí)是一樣的,它們只是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的不同表示形式,并且這兩種方法基本上是相通的。由兩種方法證題步驟可知,后者顯然能夠得到前者；反過(guò)來(lái),由前者也能夠得出后者。由于,在n=k時(shí),Fn是成立的,且當(dāng)n=k+1時(shí),命題Fn對(duì)于k+1也是成立的,則明顯有1≤n≤k時(shí),Fn也都是成立的。由第一歸納法和第二歸納法的共同特征我們可以概括出數(shù)學(xué)歸納法的基本形式；(1)檢驗(yàn)當(dāng)n取第一個(gè)值的時(shí)候命題成立;(2)假定當(dāng)n=k時(shí)命題正確,可以驗(yàn)證當(dāng)n=k+1時(shí),命題也正確;(3)由前兩步的結(jié)果我們可以判斷出命題取任意的自然數(shù)時(shí)都是成立的。

2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們常常會(huì)用到數(shù)學(xué)歸納法,盡管它在某種程度上有一定的局限性,但它在中學(xué)數(shù)學(xué)中依舊發(fā)揮著不可替代的作用。但是要想真正地掌握、準(zhǔn)確的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法必須抓住數(shù)學(xué)歸納法的核心要義,并能夠深刻理解它的內(nèi)涵,然后能夠靈活多變的應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方法,做到具體情況具體分析。

3 用于解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列問(wèn)題是一類與自然數(shù)密切相關(guān)的問(wèn)題。因而,在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),我們自然而然就會(huì)聯(lián)想到用數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識(shí)來(lái)處理此類問(wèn)題。

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1,即等式成立;

所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立；

HTH〗4 用于證明恒等式問(wèn)題

對(duì)于代數(shù)恒等式的證明也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決,但大多數(shù)學(xué)生在用這個(gè)方法解決問(wèn)題的時(shí)候卻感覺到無(wú)從下手,而這主要是他們沒(méi)有能夠找到明確的證明目標(biāo)。在解決此類恒等式的問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該學(xué)會(huì)分析等式兩邊的特點(diǎn),然后要在第二步中將所需要證明等式轉(zhuǎn)化為能夠與題目中歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相類似的證明形式,同時(shí)要注意在第二步中的式子的轉(zhuǎn)換過(guò)程應(yīng)該盡量詳細(xì),不可以簡(jiǎn)單一筆帶過(guò)[4]。

例2 求證:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N* )

證明: (1)當(dāng)n=1的時(shí)候,等式左=1+1=2,等式右=1×2=2,左=右,所以原式能夠成立；

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,也即有等式

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·5…(2k-1)

那么n=k+1時(shí),

(k+2(k+3…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)

=2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k+1)-1]

所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立。

綜上可以知道,對(duì)于任何n∈N* 都有

(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N* )

成立．

5 用于證明不等式問(wèn)題

在證明不等式的相關(guān)問(wèn)題時(shí)候也可以使用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決,首先應(yīng)該比較n=k和n=k+1這兩個(gè)不等式之間的區(qū)別,然后再?zèng)Q定n=k時(shí)不等式應(yīng)該做怎么樣的變形,一般的情況下,我們只是能夠得出等式的一邊,最后可以利用分析法、比較法、放縮法、綜合法以及不等式之間傳遞性等來(lái)根據(jù)由n=k成立時(shí)的式子再推出n=k+1時(shí)不等式所成立時(shí)的結(jié)果,從而完成證明。不等式的證明與恒等式的證明相比較有很多相似的地方,其最重要的仍然在于第二步[5]。不過(guò)不等式證明的難度會(huì)比較大一些,有的在第一步也不是那么的容易。

當(dāng)n=k+1時(shí)

∴n=k+1時(shí)成立

6 用于證明整除問(wèn)題

用數(shù)學(xué)歸納法解決整除的相關(guān)問(wèn)題,能夠在很大程度上降低我們?cè)诮忸}時(shí)的難度。第一步可以根據(jù)題目中所需要被證明的式子進(jìn)行添項(xiàng)、去項(xiàng)來(lái)變形,從而能夠湊出使原來(lái)的假設(shè)可以成立時(shí)的式子；第二步再來(lái)驗(yàn)證余下的式子也可以被某一個(gè)式子整除,這是我們用這種方法證明整數(shù)的整除類問(wèn)題的一個(gè)重要技巧[6]。

例4 對(duì)于n∈N*,求證：(x+1)n+1+(x+2)2n-1,可被(x2+3x+3)整除。

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=(x+1)2+(x+2)1=x2+3x+3成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)成立,即：(x+1)k+1+(x+2)2k-1=(x2+3x+3)·f(x)

當(dāng)n=k+1時(shí)

(x+1)k+2+(x+2)2k+1

=(x+1)(x+1)k+1+(x2+4x+4)(x+2)2k-1

=(x+1)(x+1)k+1+(x+1)(x+2)2k-1+(x2+3x+3)·(x+2)2k-1

=(x+1)·(x2+3x+3)·f(x)+(x2+3x+3)(x+2)2k-1

=(x2+3x+3)·[(x+1)·f(x)+(x+2)2k-1]

所以n=k+1時(shí)成立。

綜合(1)(2)可以知道,對(duì)一切n∈N*,都有(x+1)n+1+(x+2)2n-1可以被(x2+3x+3)整除。

7 用于證明幾何問(wèn)題

幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一個(gè)相當(dāng)重要的研究方向,同時(shí)幾何問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)又是比較抽象的,所以常常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)進(jìn)行幾何問(wèn)題的相關(guān)證明,這樣就會(huì)降低解決此類問(wèn)題的難度,簡(jiǎn)化它的繁瑣過(guò)程。但是,在處理這種類型的問(wèn)題時(shí)需要注意:解決此類問(wèn)題之前首先應(yīng)該找出規(guī)律,然后再獲取公式,之后才能夠利用這種方法來(lái)論證所要得到的結(jié)果[7]。

例5 在一個(gè)平面上一共有n條直線(n∈N*,n≥2),在這n條直線中，任何兩條直線之間都是不平行的,并且任何三條直線之間都是沒(méi)有公共點(diǎn)的[8]。

(2)在這n條直線中能夠相互構(gòu)成射線或線段的直線有bn=n2條；

證明:(1)① 根據(jù)題意可以知道,當(dāng)n=2時(shí),a2=1,此時(shí)原式成立；

(2)① 當(dāng)n=2時(shí),b2=4,原式成立；

② 假設(shè)n=k時(shí)成立,即bk=k2,

當(dāng)n=k+1時(shí),可以知道第k+1條直線上有k個(gè)交點(diǎn),也就是說(shuō)將第k+1條直線分成k+1個(gè)部分,k個(gè)交點(diǎn)還在原k條線上,即每一點(diǎn)都將所在射線或線段分成兩部分。

所以ak+1=ak+(k+1)+k=k2+2k+1=(k+1)2,即當(dāng)n=k+1時(shí)原式成立。

綜上得知,對(duì)于一切n∈N*,n>1時(shí)都有bn=n2。

8 總結(jié)

本文介紹了數(shù)學(xué)歸納法在解決問(wèn)題時(shí)的一般步驟,以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)列、恒等式、不等式、整除以及幾何問(wèn)題中的具體應(yīng)用。因此針對(duì)大多數(shù)與自然數(shù)相關(guān)的性質(zhì),我們都能夠用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)進(jìn)行證明。但是在運(yùn)用這種方法的時(shí)候我們也要注意一些問(wèn)題: ①利用數(shù)學(xué)歸納法能夠解決一些與自然數(shù)相關(guān)的問(wèn)題,但是并非在我們遇到的所有相關(guān)的此類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)都能夠利用這種方法來(lái)進(jìn)行解決[10]；②利用數(shù)學(xué)歸納法在解決問(wèn)題的時(shí)候,首次所選取的值必須要滿足問(wèn)題中條件所給定的第一個(gè)數(shù)(這個(gè)數(shù)并不一定要求為1)；③雖然數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)解決與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種比較有用的方法,可是利用這種方法我們通常只能夠驗(yàn)證命題是否正確,卻不能夠根據(jù)它來(lái)尋找到更多新命題；

對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法廣泛應(yīng)用和優(yōu)越的性質(zhì)我們還要繼續(xù)的加以探索和研究。從而幫助學(xué)生更加清晰地理解數(shù)學(xué)歸納法,以及有效地運(yùn)用。

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