多孔板等效彈性常數(shù)的均勻化預(yù)測及實驗研究

楊　昆，晉艷娟，李盛靜，崔小朝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

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多孔板等效彈性常數(shù)的均勻化預(yù)測及實驗研究

楊昆，晉艷娟，李盛靜，崔小朝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

摘要：基于均勻化方法，對多孔板的宏觀等效彈性常數(shù)進行預(yù)測，得到了面內(nèi)的彈性模量、泊松比和剪切模量。然后通過拉伸實驗的方法，對多孔板進行拉伸性能測試，得到了應(yīng)力應(yīng)變曲線，并將實驗得到的彈性模量與均勻化方法計算得到的彈性模量進行比較。結(jié)果表明，均勻化方法計算得到的等效彈性模量與實驗得到的結(jié)果相吻合，驗證了均勻化方法預(yù)測多孔板彈性常數(shù)的可行性。

關(guān)鍵詞：均勻化方法；多孔板；等效彈性常數(shù)；實驗研究

多孔板類結(jié)構(gòu)在各類核電設(shè)備、換熱設(shè)備中應(yīng)用十分廣泛，其特點是在結(jié)構(gòu)中周期性分布著許多小孔，這些小孔的尺寸與整體的多孔板的尺寸相比小得多。在對周期性分布小孔的多孔板結(jié)構(gòu)進行有限元分析時，將圓孔多孔板當量化成均質(zhì)實心板是一種有效的方法[1]。這種均質(zhì)的實體板，即當量板，必須具有與實際開孔板等效的彈性常數(shù)。文獻[1]總結(jié)了當量板彈性常數(shù)的求解方法，給出了常見圓孔板有效彈性常數(shù)工程設(shè)計公式[2]，但多數(shù)是通過實驗方法得到的。對于圓孔多孔板，由于其研究方法、建立的模型不同，得到的結(jié)果也存在差異。

均勻化理論(homogenization)于20世紀70年代由法國科學(xué)家提出[3-4]。一直以來，該方法被認為是復(fù)合材料、混凝土材料當量性能的常用手段之一。該理論也可應(yīng)用于計算多孔板的宏觀等效彈性常數(shù)[5-7]。因此，本文基于均勻化方法對圓孔多孔板的等效彈性常數(shù)進行預(yù)測，得到圓孔板的等效彈性模量，然后通過實驗方法測得面內(nèi)彈性模量，將計算結(jié)果與實驗結(jié)果進行比較，證明均勻化方法的正確性。

1均勻化方法及其有限元列式

均勻化方法是一種用于分析周期性微觀結(jié)構(gòu)材料性能并且經(jīng)過嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法。它由材料的微觀結(jié)構(gòu)“胞元”出發(fā)，將胞元均勻化方法引入到宏觀和微觀尺度中，采用攝動技術(shù)建立了宏細觀之間的聯(lián)系，由一個細觀單胞進而得到整體材料的宏觀性能。因此，周期性微觀結(jié)構(gòu)在周期性邊界條件下等效彈性常數(shù)的計算表達式為：

(1)

由于周期性結(jié)構(gòu)材料為橫觀各向同性，彈性系數(shù)矩陣為對稱矩陣[Cijmn]，且Cijmn用緊縮形式Dij表示，則有：

[Cijmn]=D=[d1,d2,d3,d4,d5,d6]

(2)

同時定義：

(3)

(4)

代表單元體為橫觀各向同性材料，微分ε(χmn)可表示為:

利用有限單元離散代表單元體，選取四面體單元作為離散單元，對于任意單元，利用相應(yīng)的插值函數(shù)分別對χkl，ε(χkl)，v，ε(v)進行插值:

(5)

(6)

根據(jù)式(2)-(6)，方程(1)可分別化為：

(7)

(8)

(9)

則方程(7)可化為：

(10)

節(jié)點虛位移u可以任意取值，方程(10)簡化為：

(11)

2多孔板的彈性常數(shù)預(yù)測

2.1　多孔板有限元模型的建立

正四邊形和正三角形的排列方式在多孔板結(jié)構(gòu)的實際運用中較為常見，如圖1所示。根據(jù)購買的如圖1(b)所示的排列方式的圓孔多孔板建立有限元分析模型，如圖2所示，具體模型尺寸見表1.根據(jù)單胞排列的對稱性和單胞的周期性邊界條件的要求，圖中陰影部分即為1/4單胞有限元分析的計算區(qū)域。

圖1　多孔板開孔的分布規(guī)律

圖2　有限元分析模型

模型(相對密度)a(mm)b(mm)厚度(mm)r(mm)模型1(51.9%)19110.44模型2(65.0%)1480.42.5

利用Abaqus有限元軟件建立單胞的實體及有限元模型，其單元類型采用四面體單元。在有限元分析模型的建立過程中，首先建立單胞模型的1/4并對其劃分網(wǎng)格，然后再將網(wǎng)格部件進行對稱復(fù)制操作，從而保證所有節(jié)點位置的完全對應(yīng)。多孔材料的彈性常數(shù)為：E=32.46 GPa，v=0.25.

2.2　周期性邊界條件的確定

對細觀單胞進行有限元求解時，需要滿足周期性邊界條件。采用建立點對點的約束方程、施加頂點零位移自由度的方式來實現(xiàn)周期性邊界條件在Abaqus軟件中的加載。若用u，v和w分別表示等效位移χ在y1、y2和y3三個方向的位移分量，那么周期性邊界條件如式(12)所示。

(12)

2.3　計算結(jié)果

將有限元計算的結(jié)果，運行均勻化方法計算宏觀彈性矩陣的程序，得到多孔板的彈性張量CH(單位：GPa).進而得到多孔板面內(nèi)的宏觀彈性常數(shù)見表2.

表2　多孔板的宏觀彈性常數(shù)

由表2可知，隨著相對密度的增大，面內(nèi)的彈性模量越大，剪切模量也越大，即隨著相對密度的增大，面內(nèi)的彈性模量和剪切模量都呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢。

3多孔板材料性能的實驗研究

3.1　試驗試樣及實驗裝置

選擇孔徑大小不同的兩種的圓孔多孔板進行試驗，試樣1長寬為：110 mm×19 mm ，孔半徑為4 mm，試樣2的長寬為：80 mm×14 mm，孔半徑為2.5 mm.實驗裝置采用XWW-20A型電子萬能材料實驗機。

3.2　多孔板拉伸實驗

試驗選擇兩組孔徑大小不同的試件。夾好試件后，采用位移控制在多孔板y方向緩慢加載直至多孔板斷裂。實驗完成后，圓孔半徑為4 mm的圓孔多孔板的一組應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

圖3　圓孔直徑8 mm多孔板的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

相對密度(孔徑)彈性模量均勻化方法實驗結(jié)果51.9%(r=4mm)14.90GPa13.26GPa65.0%(r=2.5mm)17.05GPa15.87GPa

通過多次試驗求平均的方法，得到不同孔徑的多孔板的彈性模量，孔半徑為4 mm的多孔板的彈性模量為13.26 GPa，孔半徑為2.5 mm的多孔板的彈性模量為15.87 GPa.由模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)平均值(表3)的比較發(fā)現(xiàn)均勻化方法的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)基本吻合。結(jié)果表明，均勻化方法可以用于預(yù)測圓孔多孔板的等效彈性模量。

4結(jié)論

利用均勻化方法對圓孔多孔板的等效彈性性能進行預(yù)測，得到了多孔板的等效彈性常數(shù)，其面內(nèi)等效彈性模量的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合，說明均勻化方法預(yù)測圓孔多孔板等效彈性模量的正確性。隨著相對密度的增大，彈性模量和剪切模量逐漸增大。

參考文獻：

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Homogenization Predication of Equivalent Elastic Modulus for Perforated Plates and Experimental Research

YANG Kun，JIN Yan-juan，LI Sheng-jing，CUI Xiao-chao

(School of Applied Sciences，Taiyuan University of Science and Technology， Taiyuan 030024，China)

Abstract：The equivalent elastic modulus of perforated plates can be predicted based on homogenization theory，and the in-plane elastic modulus，Poisson′s ratio and shear modulus can be achieved.Then the tensile property of perforated plates can be tested with tensile experiment method， and the stress-strain curves were got.The elastic modulus obtained by experiment method is compared with that calculated by homogenization method.The results show that the elastic modulus calculated by homogenization theory is consistent with that obtained by experiment，and it is verified to be feasible to predict elastic modulus of perforated plates with homogenization method.

Key words：homogenization method，perforated plates，equivalent elastic constant，experimental research

中圖分類號：TB383

文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-2057.2016.01.017

文章編號：1673-2057(2016)01-0077-04

作者簡介：楊昆(1993-)，男，主要研究方向為工程問題的數(shù)值解法；通訊作者：晉艷娟，博士，講師，E-mail：jinyanjuan2003@163.com

基金項目：山西省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目(2014261)；校級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目(xj2014019)；山西省基礎(chǔ)研究項目(2015011002，2015021021)

收稿日期：2015-04-17