霍子偉

摘 要： 含參數(shù)問題是綜合性很強(qiáng)的問題，是近年高考綜合題的熱點(diǎn)考點(diǎn)，解決這類問題需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力.本文主要論述如何利用圖形計(jì)算器探究關(guān)于求參數(shù)范圍的問題.

關(guān)鍵詞： 參數(shù) 圖形計(jì)算器 數(shù)形結(jié)合 化歸思想

1.引言

Casio圖形計(jì)算器擁有代數(shù)運(yùn)算、圖像、統(tǒng)計(jì)、編程及幾何等功能，當(dāng)中的計(jì)算矩陣、統(tǒng)計(jì)、電子教案、數(shù)據(jù)表格等14個(gè)模塊全面覆蓋高中數(shù)學(xué)教材，滿足各種數(shù)學(xué)教學(xué)需要，同時(shí)它還能與電腦相連，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的同步投影.

2.函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的取值范圍

通過圖形計(jì)算器，用新的視覺縱觀高考題目.

例1：（2013高考數(shù)學(xué)廣東理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1） e■-kx■（k∈R）.

（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)k∈（■，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M.

解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，輸入函數(shù)y=（x-1）e■-x■，按Ly，分別選擇y，e，得出函數(shù)的極大值與極小值.得出f（x）的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（0.69314，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，0.69314）.其中0.69314約為ln 2.

（2）探究一：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設(shè)為R.函數(shù)動(dòng)態(tài)圖像如下圖所示：

動(dòng)態(tài)分析：雖然可以看到函數(shù)f（x）在定義域R上的圖像隨參數(shù)k值變化的趨勢，但由于定義域（-∞，+∞）是開區(qū)間，在圖像上不能確定閉區(qū)間[0，k]上的最大值.

探究二：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設(shè)為[0，k].函數(shù)動(dòng)態(tài)圖像如下圖所示：

動(dòng)態(tài)分析：隨著參數(shù)k的變化，函數(shù)f（x）圖像在變動(dòng)，與此同時(shí)函數(shù)的定義域也在變動(dòng).圖像看似毛毛蟲在爬動(dòng)，圖像形象具體，但是由于k的變化既影響函數(shù)的單調(diào)性，又影響著定義域的范圍，因此仍然無法得出函數(shù)的最大值M.

探究三：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，由于k∈（■，1]，其最大值為1，因此將定義域調(diào)節(jié)為[0，1].函數(shù)動(dòng)態(tài)圖像如下圖所示：

動(dòng)態(tài)分析：可觀察到在確定區(qū)間[0，1]上，函數(shù)f（x）呈現(xiàn)一定的下降與上升的趨勢，這種趨勢引領(lǐng)我們先研究函數(shù)f（x）在確定的閉區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，并以此作為本題的切入點(diǎn)，再通過比較定義域端點(diǎn)k值與極小值ln 2k的大小進(jìn)一步求解，體現(xiàn)從宏觀到微觀的解題思路.具體證明過程如下：

證明：f′（x）=e■+（x-1）e■-2kx=xe■-2kx=x（e■-2k），

令f′（x）=0，得x■=0，x■=ln（2k）∈（0，ln 2]？哿[0，1]，

下面比較ln 2k與k的大小.

令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=■-1=■>0，所以g（k）在（■，1]上遞增，

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-lne<0，從而ln（2k）

所以當(dāng)x∈（0，ln（2k））時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（ln（2k），+∞）時(shí)，f′（x）>0，

所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1）e■-k■}.

令h（k）=（k-1）e■-k■+1則h′（k）=k（e■-3k），

令φ（k）=e■-3k，則φ′（k）=e■-3

所以φ（k）在（■，1]上遞減，而φ（■）·φ（1）=（■-■）（e-3）<0，

所以存在x■∈（■，1]使得φ（x■）=0，且當(dāng)k∈（■，x■）時(shí)，φ（k）>0，

當(dāng)k∈（x■，1）時(shí)，φ（k）<0，所以φ（k）在（■，x■）上單調(diào)遞增，在（x■，1）上單調(diào)遞減.

因?yàn)閔（■）=-■■+■>0，h（1）=0，

所以h（k）≥0在（■，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取得“=”.

綜上，函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M=（k-1）e■-k■.

3.結(jié)語

含參數(shù)問題是綜合性很強(qiáng)的問題，是近年高考綜合題的熱點(diǎn)考點(diǎn).參數(shù)問題廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的函數(shù)解析式、數(shù)列的通項(xiàng)公式、含參數(shù)的方程或不等式、含參數(shù)的曲線方程和曲線的參數(shù)方程等方面.“君子生非異也，善假于物也”.若能掌握好圖形計(jì)算器這門“利器”，學(xué)生便能在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行自主操作、觀察、研究、分析、發(fā)現(xiàn)、猜想，深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與現(xiàn)代信息的有效整合.

參考文獻(xiàn)：

[1]唐德緒.TI圖形計(jì)算器支持下的高中數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)研究[D].云南師范大學(xué)，2006.

[2]鄧軍民.利用TI圖形計(jì)算器探索參數(shù)范圍的求解問題[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012（1-2）：1-2.