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數(shù)列中的存在性問題

施磊靜

(江蘇省如皋市第一中學(xué)，226500)

根據(jù)目前高考說明,數(shù)列這一章節(jié)等差數(shù)列和等比數(shù)列都是C級要求,所以數(shù)列的解答題在每次高考試題中都會(huì)出現(xiàn). 數(shù)列中的存在性問題,因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性,在考查學(xué)生分析問題、解決問題能力方面,具有很好的甄別功能,因此備受命題人青睞.本文就有解型和無解型兩類問題例說如下.

一、有解型問題

數(shù)列中的存在性問題其實(shí)是數(shù)學(xué)探究中的一種形式,而數(shù)列具有它的特殊性,就是尋求整數(shù)解問題.對有解型問題，整數(shù)解可以通過枚舉,關(guān)鍵是利用值域要找到枚舉的范圍.

(1)若b1,b2,b8成等比數(shù)列,試求m的值;

(2)是否存在m,使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列?若存在,請指出符合題意的m的個(gè)數(shù);若不存在,請說明理由.

解(1)∵Sn=n2,

∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.

又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,適合上式,

∴an=2n-1(n∈N*)，

由b22=b1b8,得

解得m=0(舍)或m=9,所以m=9.

(2)假設(shè)存在m,使得b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列,即2b4=b1+bt,則

所以當(dāng)m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36時(shí),分別存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8適合題意,即存在這樣m,且符合題意的m共有9個(gè).

評注本題屬于值域法中的約數(shù)型,這是有解問題中比較簡單的一種類型.本題關(guān)鍵是要找到枚舉的范圍,所以我們把具有整數(shù)特征字母表示出來,若分式較復(fù)雜,可以先簡化分子,然后通過兩邊都是整數(shù)得到枚舉的范圍.

分析假設(shè)存在正整數(shù)m,n(1

評注本題的解題關(guān)鍵依然是尋求枚舉的范圍,和上一題有區(qū)別,我們把此題簡稱為值域法中的范圍型.通過解不等式來確定枚舉范圍從而解決問題.

二、無解型問題

例3數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

Sn=2an-3n(n∈N*).

(1)若數(shù)列{an+c}成等比數(shù)列,求常數(shù)c的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

(3)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請說明理由.

解(1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3 (n+1)，兩式相減，得an+1=2an+3,

∴c=3時(shí){an+3}成等比數(shù)列.

(2)S1=2a1-3?a1=3,由(1)知,an+3=(a1+3)·2n-1,an=3·2n-3,n∈N*.

(3)設(shè)存在s,p,r∈N*,且s

2 (3·2p-3)=(3·2s-3)+(3·2r-3)，

∴2p+1=2s+2r，

∴2p-s+1=1+2r-s.

∵s,p,r∈N且s

∴2p-s+1、2r-s為偶數(shù),1+2r-s為奇數(shù),

故2p-s+1=1+2r-s不可能成立,

故不存在滿足條件的三項(xiàng).

評注本題第(3)問三個(gè)變量,通過兩邊同除以2s將三個(gè)變量轉(zhuǎn)變?yōu)榱藘蓚€(gè)整體,而且使式子有較明顯的特征：一邊是奇數(shù)一邊是偶數(shù),從而得到不存在滿足條件的三項(xiàng),本題也告訴我們化繁為簡的重要性.

例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

Sn=2n2-1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)是否存在正整數(shù)p，q(p>1且q>1)使a1，ap，aq成等比數(shù)列?若存在,求出所有這樣的等比數(shù)列;若不存在,請說明理由.

解(1)∵Sn=2n2-1,

∴a1=S1=1.

當(dāng)n≥2時(shí),

an=Sn-Sn-1=4n-2，

又a1=1不滿足上式，

(2)假設(shè)存在正整數(shù)p、q(p>1且q>1)使a1、ap、aq成等比數(shù)列,則

∴(4p-2)2=1×(4q-2)，

∵p,q均為大于1的正整數(shù),

∴左邊是正數(shù),而右邊是分?jǐn)?shù),此等式不可能成立，∴假設(shè)錯(cuò)誤,故不存在正整數(shù)p、q(p>1且q>1)使a1，ap，aq成等比數(shù)列.

若存在三項(xiàng)am,an,ap,使數(shù)列am,an,ap是等差數(shù)列,則

2an=am+ap,

化簡得

3n(2×3p-n-3p-m-1)

=1+3p-m-2×3n-m.

(*)

因?yàn)閙,n,p∈N*,m0,所以(*)式不可能成立.

故數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)am,an,ap,使數(shù)列am,an,ap是等差數(shù)列.

2×3m+p+2×3n=3n+p+3p+3m+3m+n.

兩邊同除3n，得

2×3m+p-n+2=3p+3p-n+3m-n+3m.

∵m

∴上式左邊為整數(shù)，右邊為分?jǐn)?shù)，等式不可能成立.

故數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)am,an,ap,使數(shù)列am,an,ap是等差數(shù)列.

評注此題要求較高,解法1是通過求出了兩邊等式的最值,是從正負(fù)數(shù)角度挖出了矛盾；解法2從整數(shù)與分?jǐn)?shù)的角度尋找矛盾，彰顯了數(shù)學(xué)思維的靈活性.

上面這幾個(gè)題型都是我們高中數(shù)列中存在性問題的最常見題型,也是高考考查重點(diǎn).存在性問題一般可以從約數(shù),范圍角度確定枚舉范圍；而不存在問題主要是尋找矛盾,我們往往可以從推理的結(jié)論與題目條件公理定理找矛盾,也可以利用奇數(shù)與偶數(shù),整數(shù)與分?jǐn)?shù),有理數(shù)與無理數(shù),正數(shù)與負(fù)數(shù)來尋求矛盾.重要的是我們必須通過解題教會(huì)學(xué)生思維,讓學(xué)生從各種題型中辨析中提煉解題思想,從而提高學(xué)生的解題能力.